بخشی از مقاله
چکیده
ما در این مقاله ، یک هامیلتونی جدید دو مده ي 32 پارامتره را معرفی می کنیم ، که می توان یه ازاي قرار دادن پارامتر هاي گوناگون در این هامیلتونی ، گروهی از هامیلتونی هاي یک مده تا دو مده ي مربوط به یک سیستم دو ترازي و ویژه مقادیر انرژي آن گروه را بدست آورد .
مقدمه
ما به توصیف سیستم هاي دو ترازه در دو بعد می پردازیم . براي توصیف این سیستم نیاز به یک هامیلتونی بر پایه ي دو مد هستیم.براي حل این نوع هامیلتونی از جبر لی2 وگرفته و با
استفاده کرده و سپس آن را در تقریب در نظر1,1استفاده از عملگر هاي جبر لی ، جواب متناظر آن را بدست میآوریم.در مطالعه سیستم هاي دو ترازه ، می توان سیستم را در فضاي دو بعدي به صورت زیر نمایش داد .[1]که در آن هامیلتونی زیر ، همان قسمت اول هامیلتونی جینز-کامینگز در دو مد است . [1] - 2 - در رابطه ي - 1 - ،ماتریس هاي معمولی پائولیو عملگر هاي فناي, , بوزونی ، و نیز عملگر هايخلق ,بوزونی می باشند .به همین نحو هاي, ثابتفیزیکی ما است . در واقع رابطه ي - - 1 یک,هامیلتونی,,جامعی میباشد که با تغییر پارامتر ها می توانیم هامیلتونی هاي دیگري رابدست بیاوریم . براي حل هامیلتونی پایه ي - 1 - دو مده ،نیاز بهتعریف عملگر هاي زیر می باشیم :
حل جبري هامیلتونی تعمیم یافته دو مده:حال می خواهیم به حل هامیلتونی رابطه ي - 1 - بپردازیم .لذا بااستفاده از رابطه ي ویژه مقداري زیر داریم :ویژه مقدار این هامیلتونی می باشد,
که تابع موج و .با قرار دادن رابطه ي - 1 - در معادله بالا، خواهیم داشت : که در.0محاسبه بالا ما از نمایش ماتریسیهمچنین وو تفاده کردیم این معادلات جفت شده می توانند با روش هاي مختلفی حل گردند که در این جا از روش زیر استفاده می کنیم .در مرحله اول ، سب را بر به صورت زیر می نویسیم . - 6 - و با, قرار دادن رابطه ي - 6 - در معادله ي - 5 - و حذفدو از معادله ي بالا داریم : حال اگر عملگر هاي.0 وو و را به ترتیب در رابطه ي ضرب نمائیم ، تحت این عمل یک فرکانس بسته به آن عملگر به رابطه ي می اضافه گردد . و عملگر به فرکانس بالاتر یا پایین تر منتقل می شود . که می توان این فرآیند را به صورت رابطه ي زیر بیان نمود .
فرکانس براي, عملگر هاي وبراي یک مد است و فرکانس براي عملگر هاي و براي مدي دیگر می باشد. حال براي آن که حالت کلی را بدست بیاوریم فرض می کنیم که باشد . آن گاه با قرار دادن در رابطه ي - 6 - خواهیم داشت: [2]همان طوري که قبلا گفته شد با تغییر دادن هر یک از این پارامترها ، می توان هامیلتونی هاي جدیديمهمترینرابدست آورد .که نوع از این هامیلتونی ها ،دیراك ،جانمیتلر و جینز- کامینگز باشد..مدل جینز- کامینگز یک مده :هامیلتونی جینز- کامینگز در یک مد بدون در نظر گرفتن تقریب RWA به صورت زیر نوشته می شود .و در تقریب RWA نیز به صورت زیر می باشد . - 11 - حال اگر بخواهیم این هامیلتونی بالا را در فضاينمایشدو بعدي دهیم ، باید یک اتم دو ترازي در محیطی کاواکی با دو مدکوانتیده برهمکنش کندلذا ، خواهیم داشت :
حال اگر در هامیلتونی تعمیم یافته ي - - 9، ثابت هاي زیر را قراردهیم . هامیلتونی جینز- کامینگز RWA بدست می آید و لذا معادله ي - 9 - را به صورت زیر بازنویسی می کنیم . بنابراین حل معادله بالا ازجبر لینمایش و یک مد به صورت زیر می باشد. براي هاي آن استفاده می کنیم ، که مولد هاي جبر1 ,1 آن گاه با قرار دادن عملگر هاي. جبري بالا در معادله شتي - - 14خواهیم : حال با در نظر گرفتن شرط. و قراردادن دررابطه ي بالا می توانیم ویژه مقادیر هامیلتونیرا, جینز- کامینگز بدست بیاوریم .[3]و با قرار دادن 0، رابطه بالا منجر به ویژه مقادیرنوسانگر هارمونیک ساده می شود .بنابراین همچونمی روش بالا توان به ازاي صدق دادن پارامترهاي مزبور در هامیلتونی پایه - - 9هامیلتونی هاي دیراك ، جان تلر، کوانتوم دات ، را بدست آورد .مانند:
هامیلتونی و ویژه مقدار انرژي دیراك:می توان همانند مدل جینز – کامینگز یک مده ، به ازاي قرار دادنپارامتر هاي مزبور در رابطه ي - - 9 ، هامیلتونی و ویژه مقدار انرژيدیراك بدست می آید .توصیف هامیلتونی تعمیم یافته ي دو مده و فوتونه با استفاده از تقریب :همان طور که مشاهده شد فرمالیسم کلی هامیلتونی دو مده در رابطه ي - 12 - بیان شده است ، .حال اگر تقریب را دررابطه ي - 12 - اعمال نمائیم ، آن گاه هامیلتونی مدل رومن بدست می آید . که هامیلتونی آن به صورت زیر خواهد بود. [3]حال براي سیستم. دو ترازه دو مده ، در حالتی که از تقریب استفاده شود ، هامیلتونی تعمیم یافته ي خطی وفوتونه را به صورت زیر معرفی می کنیم .که هر هامیلتونی دو مده از آن بدست می آید. [4]
