بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، با روش شبیهسازی عددی، شیشههای اسپینی دو بعدی در حالت پایه - دمای صفر - ، مورد بحث قرار میگیرد.برای شبیه سازی عددی، از معادلات بازگشتی حل تحلیلی شیشههای اسپینی در دمای صفر استفاده شده است. که در ابتدا معادلات بازگشتی انرژی برای زنجیرهی شیشه اسپینی بررسی شده، سپس معادلات به دو بعد تعمیم یافته است و با استفاده از توابع توزیع گوناگون برای ضرایب جفتشدگی، برخی از متغیرهای آماری در سیستم های مغناطیسی، مانند مغناطش، به دست آمده و مورد تحلیل قرار میگیرد.
مقدمه
به طور کلی سیستمهای مغناطیسی را میتوان به دو گروه مغناطیسهای خالص و مغناطیسهای بینظم تقسیم بندی کرد. این بینظمی به شکلهای مختلف میتواند وجود داشته باشد، ازجمله ناخالصیها و بینظمیهای ساختاری شبکه - جایگیری اتمها - . آسانترین مدل مغناطیسهای خالص شامل اسپینهای آیزینگ میباشد که فقط مقادیر = +1و = −1 را میتوانند داشته باشند و از هامیلتونی آیزینگ برای بررسی این سیستمها استفاده میشود:
در این هامیلتونی، J ضریب جفت شدگی و h میدان مغناطیسی خارجی است که در مغناطیسهای خالص، در کل سیستم ثابت هستند. عبارت اول هامیلتونی، مربوط به برهمکنشهای تبادلی و عبارت دوم، مربوط به تاثیر میدان مغناطیسی خارجی روی اسپین ها است.
اکثر مغناطیسهای بینظم، مواد ناخالصی هستند که در آنها، گونههای مختلف یونهای مغناطیسی و غیر مغناطیسی در هم آمیخته شده اند. اثر کیفی این ناخالصی به این صورت است که فعل و انفعالات تبادلی بین جفت اسپینها، از یک جفت به جفت دیگر، به طور تصادفی متفاوت میباشد. در یک مورد ایدهآل برهمکنشها برای جفتهای مختلف، کاملا غیر همبسته هستند.
در یک حالت، ضرایب جفت شدگی متفاوت و مثبت هستند؛ که در این سیستم، اسپینها در حالت پایه، هم جهت میباشند. اتفاق جالبتر زمانی میافتد که توزیع ضرایب جفت شدگی هم مثبت و هم منفی باشند. این رقابت بین برهمکنشها، ارضاء همزمان عبارت هامیلتونی را غیرممکن میکند. به این حالت واماندگی میگویند. یافتن حالت پایه ی سیستمهای وامانده، مسئلهی چالش بر انگیز و مهمی است. به چنین سیستمهایی شیشههای اسپینی میگویند.
برای توصیف شیشههای اسپینی سادهترین مدل، استفاده از هامیلتونی آیزینگ، با ضرایب جفتشدگی تصادفی است - مدل شیشهی اسپینی آیزینگ - :
معادلات بازگشتی انرژی حالت پایه برای شبکه دو بعدی شیشهی اسپینی
برای تشکیل شبکهی دو بعدی، ابتدا مجموعهای از زنجیرههای ضرایب جفتشدگی با تابع توزیع دلخواه - ضرایب جفت شدگی افقی - - - ℎ، کنار هم قرار میگیرند [3] ، سپس ضرایب جفت شدگی جدیدی - آنها هم با تابع توزیع دلخواه - ایجاد و بین زنجیرههای افقی در شبکه جای میگیرند که ضرایب جفتشدگی عمودی - - نامیده میشوند
معادلات بازگشتی انرژی حالت پایه به ساختار اسپینی ستون نهایی شبکه بستگی دارد - همانگونه که در زنجیره به اسپین نهایی زنجیره بستگی دارد [3] - .چون در این مقاله اسپین های آیزینگ بررسی میشوند که دو مقدار +1 و -1 را میتوانند داشته باشند، بنابراین اگر فرض کنیم که ابعاد شبکهی اسپینی L x W باشد، در نتیجه 2 ساختار متفاوت اسپینی برای ستون نهایی شبکه و در نتیجه 2 معادلهی بازگشتی برای حالت پایه وجود خواهد داشت. میتوان انرژی حالت پایه بر واحد اسپین در حد ترمودینامیکی را، از میانگین گیری این معادلات بازگشتی به طریقی که گفته خواهد شد، به دست میآورد.
شکل :1 ایجاد شبکه ی دوبعدی از طریق کنار هم قرار دادن زنجیرههای ضرایب جفت شدگی
طبق هامیلتونی آیزینگ برای شیشههای اسپینی و همچنین مطالبی که در بالا گفته شد، میتوان معادلات بازگشتی را در دو بعد به این صورت نوشت:
در معادلهی فوق اندیسهای که i=1,2,3,…, 2 ، نشان دهندهی ساختارهای اسپینی متفاوت در ستونی از شبکه میباشند. بیان کنندهی انرژی های حالت پایه در شبکهی L x W اسپینی، با توجه به ساختار اسپینی ستون نهایی آن - ستون L ام - هست. با توجه به معادلهی 11، طوری یافت میشود که +1 را به حداقل برساند. حال انرژی حالت پایه در حد ترمودینامیکی به این صورت محاسبه میشود:
هم اکنون از طریق معادلات 5، مغناطش و پذیرفتاری مغناطیسی به دست خواهد آمد.
نتایج به دست آمده از طریق شبیهسازی عددی به روش معادلات بازگشتی:
از طریق این روش میتوان مغناطش و پذیرفتاری را بر حسب میدانهای مغناطیسی مختلف و برای توابع توزیع گوناگون ضرایب جفت-شدگی - چه پیوسته و چه ناپیوسته - ، بررسی کرد. اما مسئلهی قابل توجه بررسی مغناطش بر حسب مقدار متوسط ضرایب جفتشدگی در شبکه - - 0، و تحقیق مقدار متوسط بحرانی - 0 - ، میباشد. مقدار متوسط ضرایب جفتشدگی بحرانی، 0 ای است که در آن شبکهی اسپینی، از حالت شیشهی اسپینی به حالت فرومغناطیسی گذار پیدا کند و سیستم مغناطیده شود.
نمودار مغناطش بر حسب مقدار متوسط ضرایب جفتشدگی با تابع توزیع گاوسی - معادلهی - 6 که واریانس توزیع برابر یک میباشد، در میدان مغناطیسی ضعیف ℎ = 10−5 ، برای شبکههایی با عرضهای 1 تا 10 و طول بی نهایت، در شکل 2 مشاهده میشود.
همانگونه که مشهود است، در عرضهای 8 ، 9 و 10 نمودارهای حاصل از شبیهسازی بسیار به هم نزدیک هستند و میتوان انتظار داشت، برای عرضهای بالاتر شبکهی دو بعدی، در همین میدان مغناطیسی، رفتار مغناطش بر حسب 0 تقریبا به همین شکل باشد.
زمانی که میدان مغناطیسی کاهش پیدا کند، رفتار مغناطش بر حسب 0 تغییر خواهد کرد. همانطور که در شکل 3 میتوان دید، برای شبکهی دو بعدی با عرض 4، رفتار مغناطش بر حسب 0 در میدانهای مغناطیسیℎ = 10−5،ℎ = 10−6 وℎ = 10−7 با هم مقایسه شدهاند، با مشاهده ی روند تغییر رفتار مغناطش با کاهش میدان مغناطیسی، و همچنین به دلیل اینکه تابع توزیع گاوسی ایدهآل، از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت ادامه دارد، میتوان استدلال کرد که در میدان مغناطیسی صفر مطلق، وقتی ضرایب جفتشدگی منفی در شبکه وجود داشته باشد - هرچند تعداد آنها نسبت به ضرایب جفتشدگی مثبت بسیار ناچیز باشد - خوشههای اسپینیای تشکیل خواهد شد، که جهت آنها مخالف یکدیگر هستند و به همین دلیل در کل، مغناطش صفر خواهد بود و مشخص میشود که مغناطش برای تعیین 0 مناسب نیست.
همچنین دلیل اینکه در شکل2 برای عرضهای گوناگون، مغناطش در 0 های متفاوتی برابر یک میشود، این مسئله هست که در توزیع گاوسی، حد مشخصی برای ضرایب جفتشدگی منفی، که مربوط به پادفرومغناطیسها هستند، وجود ندارد، به همین دلیل اگر بجای توزیع گاوسی، نمودار مغناطش بر حسب مقدار میانگین ضرایب جفتشدگی با توزیع یکنواخت و طول بازه ی 2 - که هم برای مقادیر مثبت و هم منفی محدود هستند - ، در میدان مغناطیسی ℎ = 10−5 ، برای شبکه هایی با عرضهای 2 تا 5 مشاهده شود - شکل - 4، مشخص میشود که یک شدن مغناطش برای تمام عرضها در یک مقدار متوسط خاص اتفاق میافتد، به دلیل اینکه توزیع یکنواخت بین دو مقدار محدود است، و همانطور که مشخص است، در میدانهای بسیار کوچک و همچنین میدان صفر، زمانی مغناطش یک میشود که دیگر هیچ ضریب جفتشدگی منفیای در شبکه وجود نداشته باشد.
شکل:2 نمودار مغناطش بر حسب مقدار متوسط ضرایب جفتشدگی با تابع توزیع گاوسی و واریانس توزیع 1، برای شبکههایی با عرضهای 1 تا 10 در میدان مغناطیسی ℎ = 10−5
شکل:2 نمودار مغناطش برحسب مقدار متوسط ضرایب جفتشدگی با تابع توزیع گاوسی، برای شبکهی دو بعدی با عرض 4 و طول بینهایت در میدانهای مغناطیسیℎ = 10−5،ℎ = 10−6 وℎ = 10−7
شکل::3 نمودار مغناطش بر حسب مقدار متوسط ضرایب جفتشدگی با تابع توزیع یکنواخت برای شبکههایی با عرضهای 2 تا 5 در میدان مغناطیسی ℎ = 10−5
