بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، با روش شبیهسازی عددی، شیشههای اسپینی یک بعدی در حالت پایه - دمای صفر - را با وارد کردن همبستگی در سیستم، مورد بحث قرار میدهیم. ابتدا به وسیلهی الگوریتمهای متروپلیس و خوشهبندی Swendsen-Wang شبیهسازی صورت میگیرد، پس از به دست نیامدن نتایج منطبق با تئوری، معادلات بازگشتی حل تحلیلی شیشههای اسپینی در دمای صفر را بررسی میکنیم و با استفاده از توابع توزیع گوناگون برای ضرایب جفتشدگی، برخی از متغیرهای آماری در سیستم های مغناطیسی، مانند مغناطش، را به دست میآوریم و مورد تحلیل قرار میدهیم.
مقدمه
به طور کلی سیستمهای مغناطیسی را میتوان به دو گروه مغناطیسهای خالص و مغناطیسهای بینظم تقسیم بندی کرد. این بینظمی به شکلهای مختلف میتواند وجود داشته باشد، ازجمله ناخالصیها و بینظمیهای ساختاری شبکه - جایگیری اتمها - . آسانترین مدل مغناطیسهای خالص شامل اسپینهای آیزینگ میباشد که فقط مقادیر 1 S i و 1 S i را میتوانند داشته باشند و از هامیلتونی آیزینگ برای بررسی این سیستمها استفاده میکنیم:در این هامیلتونی، J ضریب جفت شدگی و h میدان مغناطیسی خارجی است که در مغناطیسهای خالص، در کل سیستم ثابت هستند. عبارت اولهامیلتونی ، مربوط به برهمکنشهای تبادلی و عبارت دوم، مربوط به تاثیر میدان مغناطیسی خارجی روی اسپین ها است. اما اکثر مغناطیسهای بینظم، مواد ناخالصی هستند که در آنها، گونههای مختلف یونهای مغناطیسی و غیر مغناطیسی در هم آمیخته شده اند. اثر کیفی این ناخالصی به این صورت است که فعل و انفعالات تبادلی بین جفت اسپینها، از یک جفت به جفت دیگر، به طور تصادفی متفاوت میباشد.
در یک مورد ایدهآل برهمکنشها برای جفتهای مختلف، کاملا غیر همبسته هستند. در یک حالت، ضرایب جفت شدگی متفاوت و مثبت هستند؛ که در این سیستم، اسپینها در حالت پایه، هم جهت میباشند. اتفاق جالبتر زمانی میافتد که توزیع ضرایب جفت شدگی هم مثبت و هم منفی باشند. این رقابت بین برهمکنشها، ارضاء همزمان عبارت هامیلتونی را غیرممکن میکند. به این حالت واماندگی میگویند. یافتن حالت پایه ی سیستمهای وامانده، مسئلهی چالش بر انگیز و مهمی است. به چنین سیستمهایی شیشههای اسپینی میگویند.[1] یکی از سادهترین راههایی که برای توصیف شیشههای اسپینی وجود دارد استفاده از هامیلتونی آیزینگ است - مدل شیشهی اسپینی آیزینگ - :
ابتدا توسط شبیهسازی عددی در حالت سادهتر، رفتار شیشههای اسپینی در حالت پایه، بدون وجود همبستگی را مورد بررسی میدهیم، سپس همبستگی را وارد مسئله میکنیم. شبیهسازی عددی زنجیرهی شیشه اسپینی در حالت پایه به وسیله شبیهسازی منتکارلو با الگوریتم متروپلیس: زنجیره ای از شیشههای اسپینی در حالت پایه، با توزیع گسستهای برای ضرایب جفتشدگی که فقط مقادیر +1 و -1 را می توانند داشته باشند - معادله - 3 را درنظر میگیریم. در الگوریتم متروپلیس، در هر قدم منت کارلو، یکی از اسپینها وارون میشود و اگر این تغییر جهت، باعث منفی شدن اختلاف انرژی - - E شود، پذیرفته خواهد شد، در غیر این صورت با احتمال تابع بولتزمن این وارونگی باقی میماند. هدف ما محاسبهی مغناطش بر واحد اسپین در میدانهای مغناطیسی مختلف است: که N تعداد کل اسپینها در زنجیره است. همانطور که در شکل 1 مشاهده میشود نتایج شبیهسازی با این روش، با نتایج حل تحلیلی زنجیره شیشههای اسپینی سازگار نیست.
علت این عدم سازگاری این است که در حالت پایه، تابع بولتزمن تقریبا برابر صفر است و وارونگی اسپین فقط منوط به منفی شدن E میشود. در روش فوق، اختلاف انرژی برای تغییر تک اسپینها مورد بررسی قرار میگیرد، این در صورتی است که اثر میدان مغناطیسی در وارون کردن خوشههایی از اسپینهای همجهت، در نظر گرفته نمیشود. در حالت پایه، یک میدان مغناطیسی خاص، قادر به وارون کردن خوشههایی با تعداد معینی اسپین میشود و هرچه قدر تعداد اسپینهای خوشه بیشتر باشد، میدان ضعیفتری برای وارونگی آنها نیاز است، برای همین پلهها در نمودار مغناطش بر حسب میدان مغناطیسی در میدانهای گسسته اتفاق میافتد - در هست. - [3]
یافتن روشی مناسب برای شبیهسازی عددی شیشه های اسپینی:
که n عدد صحیح مثبت با توجه به علت شکست روش فوق، یکی از روشهای خوشهبندی به نام الگوریتم Swendsen-Wang امتحان شد، اما باز هم نتایج با حل تحلیلی همخوانی نداشت. علت این است که در یک قدم منتکارلو، تنها یک خوشه وارون می شود، در صورتی که در حالت پایه با اعمال میدان مغناطیسی، در واقع اتفاقات پیچیدهتری رخ می دهد، با اعمال میدان، لزوما یک نوع خوشه - خوشه هایی با تعداد اسپین و جهتگیری اسپینی یکسان - وارون نمی شود و وارونگیهایی هم در بین خوشهها اتفاق میافتد که در معکوس شدن اسپینهای یک نوع خوشه، نسبت به یک میدان مغناطیسی خاص، موثر است. پس باید الگوریتمی یافت، تا مجموعهی خوشهها را مدنظر قرار دهد. با وجود دلایل مطرح شده، نهایتا بهینهترین روشی که برای شبیهسازی شیشههای اسپینی در حالت پایه یافت شد، استفاده از معادلات بازگشتی حل تحلیلی شیشههای اسپینی در دمای صفر، بود.[2]
معادلات بازگشتی برای انرژی حالت پایه زنجیره آیزینگ همان طور که گفته شد، هامیلتونی آیزینگ شیشه ی اسپینی یک بعدی به صورت زیر است:
