مقاله حل برخی از معادلات دیفرانسیل به کمک ترکیبی از الگوریتم های تکاملی و شبکه های عصبی مصنوعی

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

حل برخي از معادلات ديفرانسيل به کمک ترکيبي از الگوريتم هاي تکاملي و شبکه هاي عصبي مصنوعي

چکيده
در اين مقاله يک روش جديد براي حل معادلات ديفرانسيل معمولي و جزئي به کمک شبکه عصبي بـر مبنـاي شـمائي از الگـوريتم تکاملي ارائه شده است . روش ارائه شده به صورت تناوبي از يک رويه محلي براي بهينه سازي استفاده مي کند. معادلات ديفرانسيلي که توسط اين روش حل مي شوند از شرايط مرزي دريکله P استفاده مي کنند.
کلمات کليدي
معادلات ديفرانسيل ، شبکه هاي عصبي ، الگوريتم هاي تکاملي ، الگوريتم هاي ژنتيک
١- مقدمه
مسائل بسياري مي توانند با استفاده از معادلات ديفرانسيل مدل بنـدي شوند از قبيل مسائل شيمي ̨فيزيـک ̨مسـائل اقتصـادي و... بـه خـاطر اهميت فراوان معادلات ديفرانسيل روش هاي زيادي براي حل اين نـوع دستگاهها ابداع شده مثل روش هاي رانگ کوتا، پيش گـويي کننـده - تصحصح کننده ٣، تابع برمبناي شعاعي ، شبکه هـاي عصـبي مصـنوعي و.... [١,٢] در اين مقاله يک روش براي حـل معـادلات ديفرانسـيل بـا استفاده از شبکه عصبي بازخور معرفي مي شود که از تکامـل گرامـري (يک نوع الگوريتم ژنتيک )[٣] و يک رويه بهينه سازي محلـي اسـتفاده مي کند. در اين روش نيـازي نيسـت کـه کـاربر اطلاعـات مربـوط بـه توپولوژي شبکه را وارد کند. با استفاده از مکانيزم هـاي مـوازي سـازي الگوريتم موازي اين روش را به آساني مي تواند نوشت . الگوريتم تکاملي استفاده شده در اين مقاله از يک تابع جريمه (که براي شـرايط اوليـه و شرايط مرزي معادلات ديفرانسيل استفاده مي شود) استفاده مي کند.
0T در تکامل گرامري از يک گرامر مستقل از متن هم براي توپولوژي شبکه و هم براي پارامترهاي (بردار ورودي ̨ بردار وزن ها̨ بردار باياس ) T٠شبکه استفاده مي شود که جزئيات کامل در متن مقاله بيان مي شـود.
به عبارتي ترکيب يک گرامر مسـتقل از مـتن و يـک الگـوريتم ژنتيـک بعنوان تکامل گرامري شناخته مي شود.
٢- توصيف روش
T٠ابتدا توصيف مختصري از الگوريتم تکامل گرامري ارائه مي دهيم سپس به توصيف روش مي پردازيم .
T٠ ٢,١- تکامل گرامري
تکامل گرامري يک الگوريتم تکاملي است که مـي توانـد کـدي در هـر زبان برنامه نويسي را توليد کند. الگـوريتم از يـک گرامـر BNF ويـک تابع مناسبت ٥[٤] مناسب اسـتفاده مـي کنـد.کروموزوم هـا در تکامـل گرامري برخلاف برنامه نويسي ژنتيک کلاسيک از يـک درخـت پـارس استفاده نمي کنند بلکه از بردارهـائي بـا مقـادير صـحيح اسـتفاده مـي کنند. هر عدد صحيح بيانگر يک قاعـده توليـد در گرامـر BNF اسـت .
الگوريتم از يک سمبل شروع آغاز مي شود و يک رشته را با جايگـذاري سمبل هاي غير پاياني از سمت راست با قواعد توليد توليـد مـي کنـد. انتخاب در دو مرحله زير انجام مي شود:[٥]

١. T٠يک عنصر از بردار کروموزوم مي خوانيم (با مقدار V).
٢. و يک قانون طبق فرمول شماره ١ انتخاب مي کنيم .
0Tجائيکه NR تعداد قواعد آن سمبل غير پاياني انتخاب شده است . ايـن روند جاگذاري ادامه مي يابد تا اينکـه يـا بـه پايـان عناصـر کرومـوزوم برسيم يا برنامه به اتمام برسد. اگر به پايان کروموزوم رسيديم يـا تمـام کروموزوم را رد مي کنيم يا از اولين عنصر کروموزوم شروع مي کنيم .
در رويکرد ما حداکثر دو بار اين کار اتفاق مـي افتـد. بـه عنـوان مثـال شکل ١و جدول ١ را مشاهده کنيد. S سمبل شروع گرامر اسـت . فـرض کنيد کروموزوم را داريـم . نتيجـه تابع در اين مثال به صورت فرمول شماره ٢ است
.0T
٢,٢- توصيف الگوريتم
روش پيشنهاد شده مبتني بر الگـوريتم تکـاملي يـک فراينـد احتمـالي است . کارائي شبکه عصـبي در حـل معـادلات ديفرانسـيل بسـتگي بـه توانائي الگـوريتم تکـاملي همـراه بـا تـابع جريمـه دارد. مراحـل اصـلي الگوريتم بصورت زير است :

 T٠تعداد کروموزوم ها ماکزيمم تعداد توليدات مجاز نرخ تعویض نرخ تغيير يک عدد مثبت کوچک پارامتر صحيح G تعيين مي کند چگونه رويه محلي مرتبا بکار برده شود و پارامتر صحيح M تعيين مي کند چگونه در گروه کروموزوم ها رويه بهينه سازي محلي بکار برده شود.

 S0=
S را مقدار دهي اوليه مي کنيم . هر کروموزوم به يک شبکه عصبي با استفاده از رويه شرح داده شده در بخش ٢,٣ نگاشت مي شود.

 تابع مناسبت را براي هر کروموزوم محاسبه کنيد. محاسبه تابع
مناسبت در بخش ٢,٤ توضيح داده مي شود.

 عمليات ژنتيک تعويض و تغيير را براي جمعيت کروموزوم انجام دهيد.

T0iters=iters+1 
0T اگر0iters mod G= آنگاه :

0T براي M...1=i چهار مرحله زير را انجام دهيد:

. T٠به طور تصادفي يک کروموزوم Ri را از جمعيت ژنتيک انتخاب کنيد.

. T٠با رويه تکامل گرامري شبکه عصبي مربوطه را بسازيد.

. T٠شبکه را با رويه بهينه سازي محلي آموزش دهيد.
. کروموزوم اصلاح شده را به جمعيت ژنتيک برگردانيد.
ملي کامپيوتر
ي و فرهنگي سازمان سما ا سنندج ، ٦و٧ آذر ١٣٩٢
 اکر بهترين کروموزوم مقدار تابع مناسبت اش کمتر از حد آستانه اي از قبل تعريف شده (ԑ) دارد.
٢,٣- ساخت شبکه عصبي
هر کروموزوم در جمعيت ژنتيک يک بردار از اعداد صحيح است کـه بـا يک رويه نگاشت تکامل گرامري به يک شبکه عصبي مصنوعي بـازخور تبديل مي شود[٦].که اين شبکه عصبي داراي يک لايه مخفـي و يـک خروجي است . خروجي اين شبکه مجموعي از توابع سيگموئيد مختلـف است که به صورت فرمول شماره ٣ فرمول بندي مي شود.
که ثابت d بعد ماتريس ورودي است . پارامتر H تعداد بخش هاي لايه مخفي شبکه عصبي است . و تابع تابع سيگموئيد است که بـه صورت فرمول شماره ٤ تعريف مي شود.
۲,۴- ساخت تابع مناسبت
در اين بخش از مقاله طريقه پيدا کردن تابع مناسبت را براي دو نوع از معادلات ديفرانسيل شرح مي دهيم :
8 معادلات ديفرانسيل معمولي
معادله ديفرانسيل معمولي زير را در نظر بگيريد:

که داراي شرايط اوليه اي به فرم زير است :

که است .
مراحل ساخت تابع مناسبت براي هر کروموزوم داده شده g به صـورت زير است :

١. فاصــله [a,b] را بــه T نقطــه هــم فاصــله تقسيم کنيد.
٢. شبکه عصبي را با استفاده از تکامل گرامري بسازيد.
٣. خطاي آموزش شبکه را با استفاده از فرمول شماره ٥ بدسـت بياوريد.
٤. مقدارجريمه را با استفاده از فرمول شماره ٦ بدست بياوريد.
که λ يک عدد مثبت است .
٥. مقدار نهـائي تـابع مناسـبت را بـه صـورت فرمـول شـماره ٧ محاسبه کنيد.

معادلات ديفرانسيل جزئي ٩

معادله ديفرانسيل جزئي دو متغيره زير را با شـرايط مـرزي دريکلـه در نظر بگيريد:

با و شرايط مرزي داده شده زير:

مراحل ساخت تابع مناسبت براي هرکروموزوم داده شده g بـه صـورت زير است :

١. شبکه را به T نقطـه هـم فاصـله تقسيم کنيد.
٢. فاصله [a,b] را به B نقطه هم فاصـله تقسيم کنيد.

٣. فاصله [c,d] را به B نقطه هم فاصـله تقسيم کنيد.
٤. شبکه عصبي را با استفاده ازتکامـل گرامـري بسازيد.

٥. خطاي آموزش شبکه را با استفاده از فرمـول شماره ٨ بدست بياوريد.
٦. کميـــت هـــاي جريمـــه را بـــه کمـــک فرمولهـــاي شـــــــماره ١١،١٢،٩،١٠ محاســـــــبه کنيـــــــد.
که λ يک عدد مثبت است .
٦. مقدار نهائي تابع مناسـبت را بـه صـورت فرمـول شـماره ١٣ محاسبه کنيد.