بخشی از مقاله
چکیده. در این مقاله سعی داریم یک روش عددی برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری فردهلم غیرخطی ارائه کنیم. بدین منظور، با استفاده موجک برنولی، ماتریس عملیاتی مبتنی بر این موجک را برای عملگر انتگرال گیری مرتبه کسری بدست می آوریم. سپس با استفاده از ماتریس عملیاتی به دست آمده، معادله انتگرال-دیفرانسیل کسری فردهلم غیرخطی تبدیل به یک دستگاه معادلات خطی خواهد شد که به سادگی با روش های عددی قابل حل است. یک مثال عددی به منظور آزمودن کارایی روش پیشنهادی و مقایسه آن با سایر روشها در بخش آخر آورده شده است.
١. مقدمه
عمده ی تحقیقات در زمینه ی معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری به مطالعه روش های تحلیلی و عددی حل این گونه معادلات مربوط می شود ]١.[ با توجه به عدم کارایی روش های جداسازی متغیرها و قواعد ضرب، یافتن روش های عددی دقیق برای حل این گونه معادلات بسیار الزامی است ]٢.[ تاکنون هیچ روش کلی برای حل این نوع معادلات ارائه نشده است. بسیاری از پژوهشگران که در زمینه ی معادلات دیفرانسیل کسری یا معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری به مطالعه پرداخته اند، تاکنون روش های مختلفی برای محاسبه ی جواب این نوع معادلات ارائه کرده اند.
از جمله این روش ها می توان روش تبدیل دیفرانسیلی ]٣[، تحلیل هموتوپی ]۴[، تجزیه ادومیان ] ۵[، تکرار وردشی ]۶[، اختلال هموتوپی ]۶[ و هم مکانی ]٧[ را نام برد. اما به کارگیری روش های مبتنی بر موجک ها برای حل معادلات دیفرانسیل کسری اخیراً در بسیاری از مقالات دیده می شود. اکثر محققین از روش های مبتنی بر موجک ها برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل کسری استفاده کرده اند. در ادامه سعی داریم پس از معرفی یک خانواده از موجک ها، به تحلیل روش به کارگیری این نوع موجک در حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری بپردازیم.
٢. پیش نیازها و نمادها
٢. ١. حساب کسری. در این بخش برخی تعاریف و مفاهیم نظریه حساب کسری ]٨[ که در ادامه ی مقاله با آن ها سروکار داریم را بیان خواهیم کرد. تعاریف بسیاری برای انتگرال گیری کسری و مشتق کسری وجود دارد. در میان این تعاریف، تعریف ریمان-لیوویل برای انتگرال کسری و تعریف کاپوتو برای مشتق کسری کاربرد بیشتری دارد.
٣. ماتریس عملیاتی انتگرال گیری کسری
در این بخش، ماتریس عملیاتی موجک برنولی برای انتگرالگیری کسری را با استفاده از تبدیل کردن این موجک ها به چندجملهای های برنولی محاسبه می کنیم. سپس ماتریس عملیاتی برنولی برای انتگرال گیری کسری و در نهایت ماتریس عملیاتی موجک برنولی برای انتگرال گیری کسری را بدست می آوریم.
