بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله ارتعاشات غیرخطی یک پاندول با کابل غیرخطی جمع شونده و بازشونده روی دو بستر استوانهای بررسی شده است، که ریسمان الاستیک خطی میتواند با یک فنر خطی شبیه سازی شود. این پاندول دارای فنرخطی کاربردهای زیادی اعم از سیستمهای ناوبری کشتی، شتابسنج و ... میباشد. معادله دیفرانسیل غیرخطی حرکت پاندول با استفاده از روش مقیاسهای چندگانه بصورت تحلیلی حل شد. همچنین فرکانسهای طبیعی غیرخطی با استفاده از روش نیمه تحلیلی پرتربیشنٌ تعیین شده و با مقایسه نتایج تحلیلی و عددی با نتایج پژوهشهای پیشین تطابق خوبی بدست آمد. در این بررسی تاثیر پارامترهایی نظیردامنه ارتعاشات بالا، شعاع سیلندرها و سختی فنر بر رفتار ارتعاشی این پاندول خطی بررسی شده است. نتایج نشان داد، با افزایش شعاع سیلندر فرکانس طبیعی افزایش یافته و با افزایش مقدار جابجائی اولیه به یک مقدار خاص، فرکانسهای طبیعی نیز افزایش یافته و با کاهش مقدار جابجائی اولیه فرکانس طبیعی کاهش مییابد. با توجه به نتایج میتوان دریافت با افزایش سختی فنر، فرکانس طبیعی سیستم افزایش می یابد.
مقدمه
یک پاندول خطی می تواند به عنوان یک سیستم ارتعاشی به کار رود، بیشتر کاربردهای این سیستم میتواند در سیستم اندازهگیری زمان، تجهیزات لرزهنگاری، شتابسنجها و غیره باشد. این سیستم پاندول فنری خطی، عملکرد متناسب و سازگار با تغییر سختی فنر و طول پاندول، خواهد داشت. بسیاری از محققین معادله حاکم بر رفتار ارتعاشی این سیستم را با استفاده از شرایط اولیه و شرایط دینامیکی بررسی کرده اند. بلاتو ٍ سیستم یک پاندول که نقطه نگهدارنده آن دارای حرکت افقی در راستای یک راهنما می باشد به عنوان یک سیستم ارتعاشی غیرایدهآل را مورد بررسی قرار داد. در این سیستم استفاده از یک مکانیزم خاص، حرکت چرخشی به حرکت انتقالی تبدیل میشد. کای و همکارانَ ارتعاشات پاندول با ولتاژ تغذیه متغیر توسط یک الکتروموتور را مورد بررسی قرار داده و ارتعاشات غیرخطی پاندول را با تغییرات تدریجی پارامترهای طراحی تعیین کردند. آنها با استفاده از روش مقیاسهای چندگانه و روش میتروپولسکی- بوگولیوبوف و کریلفُ معادلات حاکم بر مسئله را بدست آوردند. همچنین معادلات حرکت برای پاندول با طول متغییر، تعیین و با دو روش دیگر مقایسه شد و نشان دادند روش مقیاسهای چندگانه معادل روش KBM برای تقریب مرتبه اول میباشد .[2]
عیسی و سیدِ کاهش ارتعاشات یک سیستم پاندول- فنر سه درجه آزادی را با تحریک هارمونیک را مورد بررسی قرار داده و همچنین این سیستم را با درنظر گرفتن اثرات جاذب تنظیم شده، ارتعاشات عرضی و کنترل فعال رفتار سیستم در نزدیک اولین فرکانس تشدید را مورد تحلیل قرار دادند .[3] آمور و آرانداّ روش لینستد- پوینکرْ با استفاده از بسط دلتای خطی اصلاح کرده و حل تقریبی برای مسائل غیرخطی را بهبود دادند. آنها روش خود را برای تحلیل مسائل دارای پاندول غیرخطی و همچنین برای تمامی مسائل ارتعاشی با تحریک هارمونیک عمومی بکار بردند .[4] برخی دیگر از محققین از روش چاوس َ در مسائل ارتعاشی استفاده کردند. برای مثال ایدو ُ، پاندول دارای حرکت غیرمیرا را بصورت پارامتریک با استفاده از حلهای چااوتیکًٌ بررسی کرده و با استفاده از روش عددی شوتینگٌٌ معادلات دیفرانسیل حاکم بر مسئله را حل کردند. حلهای بدست آمده با درنظر گرفتن اثرات چااوتیک اطلاعات بیشتری در مورد رفتار ارتعاشی سیستم می دهد .[5] آمد و بکٌ پاسخ چااوتیک پاندول فنری تحریک شده هارمونیک و متحرک در مسیر دایروی را با استفاده از روش مقیاسهای چندگانه مورد بررسی قرار دادند و همچنین کنترل دینامیکی این نوع سیستمها و به طور خاص پاندولهای معکوس را مطالعه کردند .[6] آن و همکارانٍ کاهش ارتعاشات برای پاندول معکوس پایدار با جاذب ارتعاشی دینامیکی یک سیستم پاندول- فنر- جرم تحلیل کرده و نشان دادند DNA روی یک پاندول معکوس نسبت به DNA روی یک پاندول معمولی موثرتر می باشد .[8]
اوسیویچَ پایداری موقعیت تعادل بالایی یک پاندول را بررسی کرد و این نوع پاندول را که نقطه آزاد آن دارای ارتعاشات تصادفی سریع با دامنه پایین میباشد را مورد تحلیل قرار داد .[9] مظاهری و همکارانُ ارتعاشات غیرخطی پاندول جمع و باز شونده خطی روی دو استوانه را بررسی کرده و همچنین اثر دامنه ارتعاشات بالا و شعاع سیلندرها به فرکانس سیستم تخمین زدند .[10] در این پژوهش، ارتعاشات غیرخطی یک سیستم پاندول ساده محدود شده با دو سیلندر قرار گرفته در محل آویزان شدن پاندول، بررسی شده است - شکل. - 1 زمانیکه پاندول شروع به نوسان می کند، طول آن به علت جمع شدن پاندول روی سیلندرها تغییر مییابد. به این نکته باید توجه کرد که سطح موجداری که ریسمان پاندول روی آن جمع و باز می شود باعث تقویت ارتعاشات پاندول می شود.
بدنه اصلی مقاله
معادله حرکت پاندول دارای فنر خطی باز و جمع شونده روی دوسیلندر در نقطه آویزان شدن پاندول تعیین شده است. طبق شکل- - 1 - ، این سیستم دارای دو درجه آزادی دارد که با دو مختصات تعمیم یافته u,θ بیان می شود. با توجه به نتایج تغییر طول ریسمان، ارتعاشات دامنه کوچک پاندول و سختی فنر میزان فرکانس طبیعی در دو امتداد u,θ تغییر خواهد کرد. سیستم نشان داده شده در شکل - 1 - یک سیتم کنسرواتیوِ بوده و بنابراین با استفاده از فرضیه پایا بودن انرژی میتوان معادله حاکمبر سیستم را تعیین کرد. انرژی جنبشی سیستم به شکل زیر نوشته می شود. با نوشتن اصل بقای انرژی حول و نقطه تعادل، که در امتداد شعاعی - - r و در امتداد مماسی برابر - θ - میباشد. بنابراین متغیر جدیدی به نام u برای امتداد شعاعی تعریف میشود: درنهایت با استفاده از روابط 4 - و - 3 و سادهسازی روابط و فرض cos - |θ| - =cos - θ - معادله حرکت در امتدادهای u,θ میتواند به شکل زیر نوشته شود: با جایگزاری روابط - - 9,10,11 در روابط - 6,8 - و صرفنظر از ترمهای مرتبه 2 و بالاتر در رابطه - 9 - و ترمهای مرتبه 5 و مراتب بالاتر در روابط 11 - و - 11 معادلات حرکت ممکن است به فرم زیر ساده شوند.
و Ai یک تابع مختلط مجهول برحسب ترمهای زمانی T1 , T2 میباشد. با جایگذاری θ و u1 در سمت راست عبارات 21 - و - 24 در عبارات - 23b - و - 23a - حل خصوصی این معادله بدست میآید. یک حل خصوصی از این معادلات دارای ترم سکولارٌ بوده که شامل ضرایب 01 0 , 02 0 میباشد. بدلیل اینکه حل باید دارای رفتار تناوبی و با افزایش زمان مقادیر محدودی داشته باشد، ترم سکولار باید صفر شود [9]
