بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل دستگاه معادلات فازي با اعداد غير خطي
چکيده
در بررسي مدل ها و کاربرد هاي علوم رياضي در مهندسي، عموماً فرض بر دقيق بودن داده ها اسـت ولـي در جهان واقعي بيشتر داده ها نادقيق و به صورت فازي مي باشند. دستگاه معادلات فازي نقش مهمي را در علـوم مختلف مانند مهندسي، فيزيک و آمار ايفا مي کنند.
در اين مقاله ، حل دستگاه هاي فازي را زماني که اعداد فازي غير خطي باشند با روش هاي فريـدمن و روشـي بر پايه ي تئوري بازه ها را بررسي مي کنيم و کارائي اين دو روش را به همـراه مثـال عـددي مـورد بحـث و بررسي قرار مي دهيم .
واژه هاي کليدي
عدد فازي غير خطي، دستگاه معادلات فازي،جواب جبري فازي.
١- مقدمه
دستگاه هاي خطي در بسياري از مسـائل علـوم و مهندسـي پديدار مي شود. در ايـن دسـتگاه هـا داده هـاي دقيـق عددي ممکن است غيـر واقعـي باشـند، امـا داده هـاي نامطمئن مي توانند جنبه هاي بيشتري از مسـايل جهـان واقعي را در نظر گيرند. يک راه طبيعي بـراي توصـيف داده هاي نامطمئن اسـتفاده از داده هـاي بـازه اي و بـه ويژه داده هاي فازي است . بنابراين حـل دسـتگاه هـاي خطي فازي با فرضيات مختلف در دو دهه اخير بسـيار مورد توجه پژوهشگران بوده است . يک مدل کلي براي حل دستگاه هاي خطي فازي که در آن مـاتريس ضرايب قطعي و سـتون سـمت راسـت آن يـک بـردار دلخـــواه فـــازي اســـت ، ابتدادتوســـط فريـــدمن و همکارانش [٣] مطرح شد. برپايه اين روش ، روش هاي عددي مختلفي براي حـل دسـتگاه هـاي خطـي فـازي توسط اله ويرانلو، سلحشور، عبـاس بنـدي بکـار بـرده شد. در ٢٠١١ اله ويرانلو و همکارانش [٢] با يک مثـال نقض نشان دادند که روش مطرح شده توسـط فريـدمن همواره جواب فـازي نـدارد و بـراين اسـاس در سـال ٢٠١٢ يک روش جديد براي حل دسـتگاه هـاي خطـي فازي بر پايه ي تئوري بـازه هـا [١] مطـرح کردنـد. در اين مقاله ما سعي داريم روش هاي مطرح شـده توسـط فريدمن [٣] و اله ويرانلـو [١] رابـا اعـداد فـازي غيـر خطي بکار ببريم و در مورد کارائي اين روش ها بحـث کنيم .
در اين مقاله ابتدا مفـاهيم عـدد فـازي غيرخطـي و دسـتگاه فازي خطي بررسي مي شـود و سـپس در بخـش هـاي بعدي الگوريتم هاي روش فريـدمن و روشـي بـر پايـه تئوري بازه ها معرفي و به مقايسه ي اين الگـوريتم هـا زماني که اعدادفازي بکار برده شـده در دسـتگاه خطـي فازي، اعداد فازي غير خطي باشند مي پـردازيم و آن را با مثال عددي نشان مي دهيم .
٢- عدد فازي غير خطي و دستگاه خطي فازي
در اين بخش ابتدا تعاريف را بـراي بيـان مفهـوم اعـداد فازي غير خطي ارائه شده ، سـپس دسـتگاه خطـي فـازي را معرفي مي کنيم .
تعريف ١ : يک عدد فازي يک تابع مانند است که :
الف - پيوسته است .
ب - اعداد حقيقي وجود دارند به قسمي کـه
1- . روي يکنـــوا صـــعودي و روي يکنوا نزولي است .
II. براي
ج - خارج بازه
تعريف ٢ : يک عدد فازي × در فرم پارامتري به صورت از تــــابع هـــاي است که داراي شرايط مي باشد:
I. يکنــوا صــعودي و از ســمت چــپ در پيوسته است .
II يکنوا نزولي و از سمت چپ در پيوسته است .
III.
نکتــه : يــک عــدد قطعــي α مــي توانــد بــه صــورت نشان داده مي شود.
تعريف ٣ : در تعريف (٢) اگـر توابـع تـوابعي غير خطي باشند آنگاه عدد فازي را عدد فـازي غيـر خطـي مي ناميم .
بـــراي دو عـــدد فـــازي دلخـــواه و عدد حقيقي باشد جمع وشوضد:رب اسکالر اعداد فازي به صورت زيـر نشـان داده مـي شود:
تعريف ٤:دستگاه
که در آن ماتريس ضـرايب يـک مـاتريس قطعي اعداد فازي هسـتند، دسـتگاه خطي فازي (FLS) ناميده مي شود.
٣- دو روش حل دستگاه خطي فازي (FLS)
در اين بخش روش هاي فريدمن و اله ويرانلو را براي حـل دستگاه FLS معرفي مي کنيم و سـپس بـه مقايسـه ايـن دو روش وقتي که عدد هاي بردار فـازي سـمت راسـت ، عـدد فازي غير خطي باشد مي پردازيم .
٣-١- الگوريتم فريدمن
تعريف ٥ : بردار فازي مفـروض اسـت بـــا
، جـــواب دستگاه است اگر
در روشي که توسط فريدمن و همکارانش [٣] مطرح شـده است ابتدا دستگاه خطـي فـازي را بـه دسـتگاه خطي قطعي زير تبديل مي کنيم :
که در آن
به صورت زير تعريف مي شود:
و هايي که با تعريف بالا تعيين نمـي شـود برابـر صـفر قرار مي دهيم .
در اين روش با محاسبه × از حل معادله (٣) با فرض اينکـه نامنفرد باشد جواب فازي معادله اصـلي (١) بـه صـورت زير تعريف مي شود.
تعريف ٦: فرض کنيد
يک جواب منحصربفرد دستگاه خطي قطعـي باشد. بردار فازي که در آن جـــواب فـــازي اســت . اگــر همــه اعداد فازي باشند آنگاه ××××× و ××××× و × را جـواب قوي فـازي مـي نـاميم در غيـر ايـن صـورت × را جـواب ضعيف فازي مي ناميم .
٣-٢- الگوريتمي بر پايه ي تئوري بازه ها
×××در اين قسمت الگوريتمي بر پايه ي تئوري بازه هـا، کـه يک جواب جبري فازي براي دستگاه معادلات فـازي ارائـه مي کند، را که توسط اله ويرانلو پيشنهاد شده اسـت معرفـي مي کنيم .
تعريـف ٧ : بـردار فـازي جـواب جبري از دستگاه خطي فازي (١) مي ناميم اگر
که در آن ، ترانهاده ي ماتريس ×را نشان مي دهد.
تعريف ٨ :فرض کنيد يک ماتريس حقيقي باشد. ماتريس × را کاملاً نامنفرد مي گوييم هرگاه ماتريس هاي هر دو نامنفرد باشند. که در آن نشان دهنده ي قدر مطلق است .
با فرض اينکه ماتريس ضرايب دستگاه خطـي فـازي کـاملاً نامنفرد باشد گام هاي الگوريتم روش اله ويرانلو به صورت
زير است :
الگوريتمي بر پايه اي تئوري بازه ها
گام ١ : قرار دهيد و همچنين
بـا توجـه بـه معـادلات زيـر، بـراي هـر را بدست آوريد.
گام ٢ : را با توجه به معادله زيـر محاسبه کنيد:
که در آن
گام ٣ : دستگاه خطـي قطعـي کـه در آن است را حل کـرده و بـردار جـواب زيرا (بد١)س بت ـه آوصريـدو.رت زيـر نشان داده مي شود:
در گـام چهـارم اگـر ×××××هـاي بدسـت آمـده در شـرايط تعريف (٢) صـدق کننـد آنگـاه دسـتگاه خطـي فـازي (١) جواب جبري فازي منحصربفرد دارد.
٤- مقايسه عددي الگوريتم ها
در اين بخش با چند مثال وجود جواب فازي را براي دو الگوريتمي که در بخش ٣ ذکر شد را بررسي مي کنيم . در پژوهش هايي که قبلاً صورت گرفته است وجود جواب فازي را براي اين دو الگوريتم زماني که اعداد فازي خطي( مثلثي، ذوزنقه اي) بودند نشان داده شده است . اما الگوريتم فريدمن زماني که اعداد فازي سمت راست اعداد فازي خطي دو ضابطه اي باشند همواره جواب فازي ارائه نمي کند که اين توسط اله ويرانلو و همکارانش در[٢]با يک مثال نشان داده شد، که اين سبب شد که اله ويرانلو و همکارانش الگوريتمي بر پايه ي تئوري بازه ها مطرح کنند.
که اين روش نيز براي زماني که اعداد فازي خطي دو ضابطه اي باشند نيز جواب فازي ندارد. در ادامه با چند مثال زماني که اعداد فازي بکار برده شده در سمت راست غير خطي باشند، در مورد وجود جواب فازيبراي اين دو الگوريتم بحث مي کنيم .
مثال ١ : دستگاه زير را در نظر بگيريد
حل با الگوريتم فريدمن
ماتريس توسعه يافته هست
جواب معادله به صورت زير است :
که اعداد فازي پس مطابق با تعريف (٦) يک جواب قوي فازي براي دستگاه است .
حل با الگوريتمي برپايه ي تئوري بازه ها ماتريس ضرايب دستگاه کاملاً نامنفرد است پس مطابق با معادلات گام ١ الگوريتم داريم :
همچنين با توجه به معادلات گام ٢ بدست مي آید:
و بنابراين با توجه به معادله گام ٤ جواب دستگاه به صورت همانطور که در شکل (١) مي بي جواب جبري فازي براي دستگاه است .
نکته : در اين مقاله در شکل ها، خطوط ستاره دار نشان دهنده اي تابع سمت راست عدد فازي است و همچنين و را به ترتيب با رنگ هاي آبي و صورتي نشان داده ايم .
