بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله معادلات حاکم بر حرکت سیالات نیوتنی با استفاده از روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش حل شده است. از مزایای استفاده از روش بدون شبکه، قابلیت انعطاف پذیری آن در گسسسته سازی حوزه هایی با مرزهای پیچیده است. در پژوهش حاضر، از روش تراکم پذیری مصنوعی برای حل معادلات ناویراستوکس استفاده شده و معادله انتقال حرارت در هر گام زمانی بر اساس سرعتهای به دست آمده در همان گام، به روز رسانی شده است. جهت صحت سنجی روش فوق، نتایج حاصل از حل مساله جریان در حفره ای مربعی شکل، به کار گرفته شده و برای محاسبه توزیع حرارتی در اعداد رینلدز مختلف مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. سپس مسایل دیگری با در نظر گرفتن شرایط مرزی مختلف در مساله مورد نظر به ازای اعداد پراندتل مختلف مورد بررسی واقع گردید. از مزایای روش فوق، می توان به عدم نیاز به انتگرالگیری در آن و نقطه محور بون جوابها اشاره نمود. همچنین در مقاله حاضر، از رهیافت ماتریسی برای فرمولبندی معادلات حاکم استفاده شده که می تواند راهگشای محققین در مطالعات آتی با این روش باشد.
واژگان کلیدی: سیالات نیوتنی، روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش، معادلات ناویراستوکس، معادلات انتقال حرارت
مقدمه
معادلات انتقال حرارت در سیال یکی از معادلات مهم در علم مکانیک سیالات یه شمار می رود که پژوهشهای متعددی در زمینه تحلیل این معادلات در حالت دوبعدی انجام گرفته است. برخی مطالعات بر پایه روشهای تحلیلی و گروهی نیزبرمبنای روشهای عددی و ترسیمی انجام شده اند. روشهای تحلیلی شامل حل دقیق معادلات دیفرانسیل بوده و به علت پیچیدگی ریاضیات مساله، عموما محدود به اشکال هندسی ساده با شرایط مرزی نه چندان پیچیده می شود. در روشهای عددی و ترسیمی با استفاده از معادلات دیفرانسیل، دما به صورت تقریبی در هر نقطه محاسبه می شود و امکان تطبیق مسایل با هندسه مشکل و شرایط مرزی پیچیده نیز وجود دارد.
بنابر این این می توان مسایل پیچیده توزیع حرارت را با روشهای عددی و ترسیمی مورد بررسی قرار داد. در پژوهش حاضر، از روش عددی بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش جهت محاسبه معادلات حاکم بر حرکت سیالات نیوتنی استفاده شده است. روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش، کاملاً بدون شبکه بوده و بدون نیاز به انتگرالگیری، ماتریسهایی مثبت معین تولید میکند که شرایط را برای حل موثر تکراری فراهم میسازد. در این روش، گسسته سازی حوزه مکانی تنها با استفاده از یک سری نقاط پراکنده صورت میگیرد که همین امر باعث کاهش هزینههای گسسته سازی در مسائلی با مرزهای پیچیده میشود.
در مراجع Liu ,2002 - - - Belytschko et al, 2014 مرور کاملی بر روشهای بدون شبکه و سیر تکاملی آنها شده است. افشار و لشکربلوک از نقاط همپوش به همراه فرآیند حداقل مربعات استفاده کرده و روش حداقل مربعات گسسته همپوش را ارائه دادند Afshar et al,2008 - بدین ترتیب با استفاده از نقاط همپوش حل مسئله با دقت بالاتری صورت میگرفت بدون آنکه هزینهی محاسباتی چندان افزایش یابد. افشار و لشکربلوک همچنین روشی را برای جابجایی تطبیقی نقاط در حل مسائل یک بعدی ارائه دادند که بعدا این روش توسط فیروزجایی و افشار برای حل مسائل دو بعدی تعمیم داده شد - - Firoozjaee et al, 2010 - . - Firoozjaee et al, 2012
افشار و همکاران از روش حداقل مربعات گسسته همپوش در حل مسائل الاستیک صفحهای نیز استفاده کردند - - Afshar et al, 2012 آنها همچنین یک فرآیند غنی سازی چند مرحلهای نقاط را با استفاده از دیاگرامهای ورونئی ارائه دادند. تحقیقات در زمینه روشهای بدون شبکه و همینطور در روش حداقل مربعات گسسته همپوش همچنان ادامه دارد و کاربردهای متعددی از آن برای آینده متصور است. در ادامه جهت صحت سنجی روش فوق، معادلات حاکم بر حرکت سیالات نیوتنی شامل معادلات پیوستگی، مومنتوم در جهات x وy و نیز معادله انتقال حرارت در حفره ای مربعی شکل به صورت بی بعد نوشته شد و در انتها نمودارهای توزیع پارامتر دما به ازای اعداد رینلدز و پراندتل مختلف ترسیم و مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت.
مشخصات کلی
یک حفره مربعی شکل به ابعاد واحد که دو وجه آن تحت تاثیر تغییرات دمایی قرار داده می شود، در نظر بگیرید. محور طولی حفره را x و محور عمود بر آن را y مینامیم. در این حالت، معادلات حاکم بر حرکت سیال در جهات x وy نو.شته می شود.
معادلات حاکم
معادلات حاکم بر حرکت سیال در جهات x وy همان معادلات پیوستگی و مومنتوم به همراه معادله انتقال حرارت می باشد که به صورت زیر در نظر گرفته می شود.جهت بی بعد سازی پارامترها از معادلات مختلفی استفاده شده است، به عنوان نمونهh*/u* برای پارامتر زمان، u*2 برای پارامتر فشار و m - u*/h* - n-1 برای میزان لزجت و معادله - T-Ti - / - Tw-Ti - نیز در مورد پارامتر دما به کار برده شد.
روش تحقیق
فرمولبندی روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش
گام اول در حل یک مسئله با محیطی پیوسته با استفاده ازهرروش عددی، گسسته سازی میباشد. درروش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش در ابتدا حوزهی مسئله و مرزهای آن توسط نقاط گرهی گسستهسازی میشوند. نقاط همپوش نیز به صورت کاملا دلخواه در حوزهی مسئله و در مرزها قرار میگیرند. در شکل - 1 - یک حوزهی فرضی به همراه چیدمان نقاط گرهی و همپوش آورده شده است. باید توجه داشت که در هر نقطه گرهی حتما یک نقطه همپوش نیز باید قرار گیرد. نقاط همپوش تنها برای محاسبه مقادیر مجهولات مسئله مورد استفاده قرار می گیرد و هزینه محاسباتی را چندان افزایش نمی دهد
