بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مطالعه عددي جابجایی آزاد سیال غیر نیوتنی مدل پاورلا روي سطح قائم با شرط مرزي دیریشله
چکیده
در این مقاله جابجایی آزاد سیالات نیوتنی و غیر نیوتنی مدل پاورلا بر روي یک سطح عمودي با شرایط مرزي دیریشله (شارحرارتی ثابت) مورد تجزیه وتحلیل قرارگرفته است و لایه مرزي آرام هیدرودینامیکی وحرارتی که متاثراز تغییرات پارامتر بی بعد σ، می باشد براي سیالات نیوتنی وغیرنیوتنی(شبه پلاستیک و اتساعی)،موردمطالعه و بررسی قرارگرفته است. معادلات دیفرانسیلی غیر خطی کوپل شده مرتبه بالابراي سیالات موردنظرفرمولبندي وسپس معادلات مذکور به روش خطی سازي وتکرار با کدنویسی به زبان فرترن حل شده اند. .نتایج حاصل، براي مقادیر مختلف شاخص رفتاري جریان n و پارامتر بی بعدσ بدست امده وبه صورت نمودارهاي سرعت بی بعد ودماي بی بعدبرحسب متغیر تشابهی η وهمچنین گرادیان سرعت بی بعد ودماي بی بعد روي دیواره برحسب σ نشان داده شده است .
واژه هاي کلیدي : سیالات غیر نیوتنی-جابجایی آزاد- لایه مرزي آرام-شار حرارتی ثابت.
-1مقدمه
از آنجا که انتقال حرارت به طریق جابجایی آزاد در بسیاري از پدیده هاي فیزیکی رخ می دهد و درصنعت نیز در بسیاري از موارد با سیالات غیر نیوتنی سرو کار داریم،لذا بررسیهاي متعددي در این زمینه صورت گرفته است.تعدادي از محققین بحث انتقال حرارت به طریق جابجایی آزاد براي سیال غیر نیوتنی را بر روي یک سطح عمودي موج دار در یک ماده متخلخل مورد مطالعه قرار دادندکه تحلیل لایه مرزي در آن براي سیال غیر نیوتنی بدست آمده است.[1] همچنین جریان آرام دریک سیال بینگهام پلاستیک (Bingham plastic) در لوله دایره اي با شرایط مرزي شار حرارتی ثابت دردیواره مطالعه شده است.[2]در سالهاي اخیر نیز جابجایی آزاد براي سیال غیر نیوتنی پاورلا((power-law با تنش تسلیم وبدون تنش تسلیم حول یک جسم متقارن دو بعدي با شکل دلخواه برروي ماده متخلخل براساس تقریب لایه مرزي تجزیه وتحلیل شده است .[3] همچنین تجزیه وتحلیل از ترکیب جابجایی آزادو اجباري براي سیال غیر نیوتنی در جریانهاي خارجی توسط محققینی دیگرصورت گرفته است.[4]جابجایی ترکیبی درطول یک صفحه نیمه بی نهایت توسط ویلکز((wilks انجام شده است.[5]اثر جابجایی آزاد روي لایه مرزي جریان آرام براي سیال غیر نیوتنی پاورلا براي اجسام با هندسه هاي مختلف به صورت تئوريت حلیل شده است.[6] افرادي نیزحل تشابهی جریان جابجایی آزاد سیال غیر نیوتنی را با بکارگیري روشهاي تئوري بدست آورده اند.[7]
معادلات لایه مرزي در شکل کلی براي سیالات غیرنیوتنی شبه پلاستیک(Pseudo (Plasticوتساعی((Dilatant توسط برکوسکی ( ( Berkowski بررسی شده است.[8]انتقال حرارت به طریق جابجایی آزاد براي سیال غیر نیوتنی پاورلا دریک صفحه عمودي نیز توسط محققینی موردتجزیه وتحلیل قرار گرفته است.[9]شلیختینگ (Schlichting) معادلات کامل لایه مرزي جابجایی آرام را براي سیالات نیوتنی تحلیل وبررسی نمود[10] ونشان داد وقتی نسبت((Gr/Re2 کوچکتر از یک باشد ،جریان تنها از نوع جابجایی اجباري است و وقتی مقدار((Gr/Re2 بسیار بزرگتر از یک باشد جریان جابجایی آزاد است. همچنین لایه مرزي آرام براي سیالات نیوتنی در جابجایی آزاد واجباري به منظور بدست آوردن مقادیر موضعی ومتوسط ضرایب انتقال حرارت جابجایی به طور مجزا مورد مطالعه قرارگرفت.[11]در این مقاله نیز اثر جابجایی آزاد سیال غیر نیوتنی پاورلا بر روي یک سطح عمودي با شرایط مرزي دیریشله مطالعه و بررسی شده است ونتایج آن، با آنچه براي سیال نیوتنی به دست آمده وهمچنین با نتایج دیگر محققین مقایسه شده است .براي سیالات غیر نیوتنی ، لایه مرزي آرام هیدرودینامیکی وحرارتی متاثر ازدو پارامتر مهم می باشد:شاخص رفتاري جریان n و پارامتر بی بعد σ .شاخص رفتاري جریان ،طبیعت سیال را مشخص می کند. بطوریکه در سیال شبه پلاستیک n 1 ،در سیال نیوتنی 1 n ودر سیال اتساعی n 1 می باشد.در برنامه نوشته شده در این مقاله براي حل معادلات دیفرانسیلی غیرخطی کوپل شده که بر انتقال حرارت به روش جابجایی آزاد حاکم هستند،از روش خطی سازي وتکرار استفاده نموده ایم.حل عددي براي مقادیر مختلف شاخص رفتاري جریان (n) وپارامتر بی بعد((σ واثر آنها برروي پروفیل سرعت ودما بدست آمده وآنگاه سرعت بی بعد ودرجه حرارت بی بعد برحسب متغیر تشابهی((η وهمچنین گرادیان سرعت و دماي بی بعد روي دیواره برحسب σ رسم شده است و درپایان نتایج مورد تجزیه وتحلیل قرار گرفته اند.
فرمول بندي مساله
درانتقال حرارت جابجایی آزاد براي سیال غیر نیوتنی روي یک صفحه عمودي با شارحرارتی ثابت فرض می شودکه سیال در طول صفحه غیرقابل تراکم،آرام ودر رژیم پایدار باشد. بادر نظر گرفتن مدل سیال بدون تنش تسلیم((ostwald-de-waele یا مدل پاورلا براي سیال غیر نیوتنی می توان نوشت:
با صرفنظر ازپخش ویسکوز ، معادلات حاکم بر جریان به صورت زیر در می آیند:
معادله پیوستگی :
معادله مومنتوم:
معادله انرژی:
شرایط مرزي حاکم بر معادلات بالا به صورت زیر می باشد:
براي تحلیل ابعادي متغیر تشابهی به صورت زیر تعریف می شود:[9]
با استفاده از تابع جریان مناسب وتوابع سرعت زیر ، معادلات دیفرانسیلی جزیی بالا به معادلات دیفرانسیلی معمولی تبدیل می شوند:
نتایج به صورت معادلات دیفرانسیلی معمولی غیر خطی کوپل شده با شرایط مرزي جدید به صورت زیر در می آیند:
که درآن
وشرایط مرزي به صورت زیر می باشند:
معادلات (9) و((10 بیانگر یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه بالا براي جابجایی آزاد سیال غیر نیوتنی روي یک صفحه عمودي با شارحرارتی ثابت می باشند. معادلات بالا بیان می کند که طبیعت لایه مرزي هیدرودینامیکی وحرارتی متاثر از دو پارامتر مهم می باشد:-1 متغیر رفتار جریان n و-2 متغیر تشابهی بی بعد . وقتی (سیال نیوتنی) ، معادلات (9) و((10به صورت زیر در می آیند:
براي سیال نیوتنی ، همان عدد پرانتل است وشرایط مرزي به همان صورت معادله (11) باقی می ماند.
حل عددي مساله
براي بدست آوردن جواب معادلات (9) و((10 که شرایط مرزي (11) را ارضا کند، از حل عددي استفاده شده است . حل عددي معادلات بالا براي مقادیر مختلف براي سیال شبه پلاستیک ، نیوتنی و اتساعی ،بدست می آید. قابل ذکر است که براي حل معادلات (9) و((10روش خطی سازي بکار می رود.. بدین منظور معادلات((9 و((10 را به صورت زیر می نویسیم:
شرایط مرزي به صورت معادلات (11)می باشد. معادلات (12) و((13 معادلات دیفرانسیلی معمولی غیر خطی کوپل شده می باشند. با تعریف متغیرهاي جدید ،می توان نوشت:
با استفاده از این معادلات جدید ، دو معادله دیفرانسیلی مرتبه بالا (12) و((13 به پنج معادله دیفرانسیلی مرتبه اول (14) وشرایط مرزي((11 به صورت شرایط مرزي((15 تبدیل می شوند.
معادله 14 به فرم زیر می باشد:
به منظور خطی سازي معادلات (14)، بسط سري تیلور را براي معادلا ت دیفرانسیلی (14) بکار می بریم. درنتیجه معادلات به فرم ماتریسی زیر در می آیند:
که در آن اجزاي ماتریس برابراند با
اجزاي ماتریس به صورت زیر به دست می آیند:
که در آن :
ضرایب بستگی به مقادیر اولیه دارند .بنابراین با داشتن شرایط اولیه سه متغیر y2 و y3 و y4وحدس دو متغیر y1 و y5 در ومشخص شدن ، حل معادله (16) ، مقادیر را به همرادارد.[12]این مقادیر جایگزین مقادیر قبلی شده و این روش تکرار ادامه می یابد تا جواب مساله بدست آید.در واقع یکی ازروشهاي حل این معادله به این صورت است که ابتدا مقدار y1 و y5 را حدس می زنیم وبا توجه به اینکه سه شرط مرزي دیگر یعنی y2 و y3 و y4 مشخص می باشند، با این حدس اولیه حل را شروع کرده
