بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش ابتدا، به شبیهسازی عددی قطرهی ساکن نیوتنی غوطهور در یک سیال غیرنیوتنی در حالت دوبعدی پرداخته میشود. تمام شرایط مرزی به صورت پریودیک اعمال میگردد و از مدل قانون توانی برای توصیف رفتار غیرنیوتنی سیال بیرونی استفاده میشود. در بخش دوم نیز به شبیهسازی عددی یک قطرهی نیوتنی در یک سیال قانون توانی تحت جریان برشی پرداخته میشود و شرایط مرزی در راستای افق نیز به صورت پریودیک اعمال میگردد.
معادلات حاکم بر مسأله شامل معادلات پیوستگی و مومنتوم میباشد. در این پژوهش از روش سطح تراز برای ردیابی سطح مشترک و از روش سیال مجازی برای اعمال ناپیوستگیها در سطح مشترک استفاده میگردد. در بخش اول پژوهش، اختلاف فشار شبیهسازی شده، با اختلاف فشار تئوری، برای شاخصهای توانی مختلف، مقایسه شد و نتایج قابل قبولی بدست آمد. در بخش دوم نیز تأثیر عدد مویینگی1 بر تغییر شکل قطره مطالعه و بررسی شد و مشاهده شد که با افزایش عدد مویینگی، نیروی اینرسی بر نیروی کشش سطحی که تمایل به حفظ شکل اولیهی قطره دارد، غلبه میکند و تغییر شکل قطره نیز افزایش مییابد.
1 مقدمه
فهم رفتار دینامیکیقطره شامل تغییر شکل و شکست قطره در انواع اسپریها، صنایع غذایی، افشانهها و ... کاربردهای صنعتی زیادی دارد. همچنین از آنجایی که ویژگیهای زیست و شیمی میکرو ذرات به صورت موثری تحت تأثیر اندازه و ساختار هستند، کنترل دقیق اندازه و شکل یک قطره در طول تغییر شکل، شکست و مهاجرت آن بسیار مهم میباشد. بنابراین در پژوهش-های زیادی به مطالعه و بررسی تغییر شکل قطره پرداخته شده است.
در سال 1934 تیلور[1]2 برای اولین بار تغییر شکل قطره را به صورت آزمایشگاهی، عددی و تحلیلی مورد مطالعه و بررسی قرار داد و نشان داد که تغییر شکل قطره تحت تأثیر دو پارامتر بی بعد عدد مویینگی و نسبت لزجت میباشد. عدد مویینگی نسبت نیروهای لزج را به تنش سطحی نشان میدهد و نسبت لزجت نیز نسبت ضریب لزجت قطره به سیال بیرون میباشد. پس از پژوهش انجام شده توسط تیلور[1]، کارهای زیادی در زمینهی تغییر شکل قطره انجام شد که اکثر آنها به شبیهسازی و مطالعهی سیستمهای نیوتنی پرداختند. در حالیکه در بسیاری از کاربردهای صنعتی مانند مخلوطهای پلیمری، رفتارهای غیرنیوتنی مواد، مانند رقیق شوندگی و الاستیسته وجود دارد.
به طور کلی برای توصیف رفتار غیرنیوتنی سیالات مدلهای مختلفی ارائه شده است. از جملهی این مدلها مدل قانون توانی، مدل پلاستیک بینگهام و... میباشد. مدل قانون توانی، به خوبی رفتار رقیق شوندگی و غلیظ شوندگی سیالات را توصیف میکند.
در سال 1994 دلابی3 و همکاران[2] تغییر شکل یک قطره را در که در یک مخلوط پلیمری غوطهور شده بود، به صورت آزمایشگاهی مورد مطالعه و بررسی قرار دادند. آنها اثر نسبت لزجت را در اعداد مویینگی بالا بررسی کردند و دریافتند که در اعداد مویینگی بالا هرگاه لزجت قطره بزرگتر از لزجت سیال پلیمری باشد تغییر شکل کمتری مشاهده خواهد شد و هر گاه لزجت قطره نسبت به لزجت سیال بیرونی کمتر باشد تغییر شکل بیشتری مشاهده خواهد شد.
در سال 1998 واسیلیوس4 و همکاران[3] تغییر شکل و شکست یک قطرهی ویسکوالاستیک را در یک سیال نیوتنی به صورت آزمایشگاهی بررسی کردند. آنها دریافتند که تغییر شکل یک قطرهی ویسکوالاستیک در یک سیال نیوتنی نسبت به تغییر شکل قطره-ی نیوتنی غوطهوردر سیال نیوتنی کمتر میباشد. در سال 2007 آگاروال5 و سارکار[4]6 تغییر شکل و شکست یک قطرهی ویسکوالاستیک را در یک سیال نیوتنی با استفاده از روش ردیابی جبهه به صورت عددی شبیهسازی کردند. آنها برای توصیف رفتار ویسکوالاستیک قطره از مدل بقایی Oldroyd-B استفاده کردند. آنها مشاهده کردند که همانند کارهای گذشته با افزایش لزجت قطره، تمایل آن به تغییر شکل نیز کمتر خواهد شد.
پس از آن در سال 2010 بوفارگیون[5]7 اثر رقیق شوندگی بالا را در یک سیال غوطهور شده در یک مخلوط پلیمری مطالعه و بررسی کرد و مشاهده کرد که قطرهی غیرنیوتنی تغییر شکل کمتری نسبت به قطرهی نیوتنی دارد. در سال 2015 شی8 و تانگ[6]9 تغییر شکل یک قطرهی نیوتنی تزریق شده در یک سیال قانون توانی در یک محفظهی T شکل را به صورت تحلیلی و عددی بررسی کردند.
آنها از روش شبکهی بولتزمن استفاده کردند و دریافتند که اندازهی قطره با افزایش ثابت قانون توانی - - n کاهش مییابد. در سال 2015 فاولوکیس10 و نیر[7]11 تغییر شکل و تجزیهی یک قطرهی باریک شده12 قانون توانی را در یک مایع نیوتنی به صورت تئوری مورد مطالعه و بررسی قرار دارند. آنها مسالهی خود را با سه پارامتر عدد مویینگی، نسبت لزجت و شاخص قانون توانی کنترل می-کردند. آنها به سه نتیجهی مهم دست یافتند اول آنکه قطرهی باریک شده فقط برای < 1 وجود دارد و بعد از آن قطره شکسته میشود.
دوم آنکه در عدد مویینگی یکسان قطرهی نیوتنی در مقایسه با قطره-ی رقیق شوندهی برشی کشیدگی بیشتری خواهد داشت و سوم آنکه در نسبت لزجت یکسان تجزیهی قطرهی رقیق شونده برشی از تجزیهی سیال نیوتنی دشوارتر خواهد بود. در سال 2017 وانگ13و همکاران[8] تغییر شکل و تجزیهی یک قطره را در جریان برشی با استفاده از مدل قانون توانی شبیه سازی کردند. آنها ابتدا به شبیهسازی یک قطرهی نیوتنی ساکن غوطهور در یک سیال قانون توانی ساکن پرداختند و با استفاده از روابط میان فشار و تنش سطحی به مقایسهی میان تنش سطحی بدست آمده با تنش سطحی واقعی سیال پرداختند.
در مرحله-ی بعدی آنها تغییر شکل و تجزیهی یک قطره را در جریان برشی مطالعه و بررسی کردند. آنها اثر سه پارامتر مهم را بر تغییر شکل قطره بررسی کردند. اولی اثر ثابت قانون توانی - - n بود که نشان داد که تغییر شکل قطرهی نیوتنی با افزایش ثابت قانون توانی برای سیال بیرون، به صورت قابل توجهی افزایش مییابد. دومین پارامتری که وانگ و همکاران بررسی کردند، عدد مویینگی بود که مطالعات آنها نشان داد که افزایش عدد مویینگی باعث افزایش تغییر شکل قطره میشود. آنها نهایتا اثر نسبت لزجت را یر تغییر شکل قطره برای سه نمونههی رقیق شونده، غلیظ شونده و نیوتنی بررسی کردند و دریافتند که در نسبت لزجت یکسان تغییر شکل قطره برای سیال غلیظ شونده بیشتر از سیال نیوتنی و برای سیال نیوتنی بیشتر از سیال رقیق شونده است.
در این پژوهش به شبیهسازی عددی قطرهی نیوتنی غوطه ور در یک سیال غیرنیوتنی در جریان برشی پرداخته میشود و اثر عدد مویینگی روی رفتا هیدرودینامیکی قطره بررسی میگردد.
2 معادلات حاکم
2.1 معادلات جریان برای سیالات تراکم ناپذیر معادلات اصلی حاکم بر مساله، معادلهی
بقای جرم و معادلهی بقای مومنتوم میباشند. این معادلات به ترتیب به صورت زیر بیان میشوند:
2.2 شرایط پرش در سطح مشترک کمیتهای فیزیکی مانند سرعت و فشار در سطح مشترک میان دو
سیال دارای ناپیوستگی و به اصطلاح پرش میشوند. بنابراین برای محاسبهی کمیتها در سطح مشترک از روش سیال مجازی استفاده میشود. در این روش ابتدا ناحیهی محاسباتی به دو ناحیهی Ω+ و Ω− تقسیم میشود سپس پرش یک کمیت مانند A به صورت زیر به دست میآید:
که در آن + مقدار کمیت A در ناحیهی مثبت محاسباتی و − مقدار آن کمیت در ناحیه منفی محاسبات میباشد. با اعمال معادلهی مومنتوم در سطح مشترک شرایط پرش به صورت زیر به دست میآید:
3 روشهای عددی
برای گسسته سازی معادلات حاکم از روش تفاصل محدود بر روی شبکهی جابجا شده استفاده میشود. جملات پخش با استفاده از تقریب مرکزی مرتبهی دو گسستهسازی میشوند. جملات جابجایی نیز با استفاده از روش وینو با دقت مرتبهی پنج[9] گسسته سازی میشوند و برای گسسته سازی جملات زمانی از روش رانگ کوتای مرتبهی سه[9] استفاده میشود. همچنین برای حل معادلات جریان از روش تصویرسازی[10] استفاده میشود. برای محاسبهی کمیتها در سطح مشترک از روش سیال مجازی14 و برای بدست آوردن موقعیت سطح مشترک از روش سطح تراز15 استفاده شده است.
1 . 3 روش تصویرسازی در این پژوهش برای حل معادلات جریان از روش تصویر-سازی16استفاده میشود و با تعریف یک میدان سرعت میانی فرضی - ∗ = - ∗, ∗ معادلهی مومنتوم به دو بخش مجزا تقسیم میشود.
2.3 روش سطح تراز
روش سطح تراز برای اولین بار توسط دو ریاضیدان آمریکایی به نامهای اوشر و ساتیان [11] به کار برده شد. این روش یک روش اویلری است و برای تعیین موقعیت دقیق سطح مشترک استفاده میشود. در این روش از یک تابع اسکالر مانند استفاده میشود. این تابع یک تابع فاصله علامتدار است که فضای محاسباتی را به سه ناحیه تقسیم میکند. این تابع در ناحیه درون قطره مقدار منفی، در ناحیهی بیرون قطره مقدار مثبت و روی سطح مشترک مقدار صفر را دارد. مکان ریاضی سطح مشترک با استفاده از رابطهی زیر بیان میشود:
به علت خطاهای عددی، تابع سطح تراز در طول زمان بعد از حرکت سطح مشترک از حالت تابع فاصله خارج میشود. برای رفع این مشکل از معادلهی مقداردهی مجدد تابع سطح تراز استفاده میشود که به صورت زیر است:
که در آن زمان مجازی، 0 مقدار قبل از اصلاح و S - ϕ0 - تابع علامت میرا است که به صورت زیر تعریف میشود:
باحل معادلهی مقداردهی مجدد تا حالت دائم، شرط تابع فاصله برای تابع سطح تراز به دست میآید و اغلب با چند تکرار، حل پایای معادلهی مقداردهی مجدد به دست میآید.
3 . 3 روش سیال مجازی
در این پژوهش به منظور اعمال شرایط پرش بر روی سطح مشترک از روش سیال مجازی استفاده میشود.
