بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله سیستم ولاسف- پواسون یک بعدی با استفاده از روش نیمه لاگرانژی روبه عقب به صورت عددی حل شده است. موازیسازی کد BSL توسط دستورالعمل های OpenMp انجام شده است. از کد موازی BSL برای مطالعه پدیده ناپایداری دوجریانی استفادهنموده ایم. برای پدیده ذکر شده تحول زمانی انرژی الکتریکی و اولین سه مد فوریه میدان الکتریکی مورد بررسی قرار گرفت و نمودارتسریع - - speedup ایده آل - امدال و گوستاوسون- بارسیس - و تسریع حقیقی با یکدیگر مورد مقایسه قرار گرفتند.
واژههای کلیدی: سیستم ولاسف- پواسون، روش نیمه لاگرانژی رو به عقب، درون یابی اسپیلاین مکعبی، ناپایداری دوجریانی،OpenMp
01مقدمه
امروزه شبیه سازی عددی معادله ولاسف که به صورت خودسازگار با معادله پواسون جفت شده است ابزاری اساسی برای مطالعه تئوریک پلاسمای بدون برخورد فضایی و آزمایشگاهی است. ماهیت غیرخطی سیستم ولاسف- پواسون یافتن پاسخ تحلیلی را مشکل می سازد. در سال های اخیر روش های مختلفی برای حل عددی سیستم ولاسف- پواسون به کارگرفته شده اند [2] که در اینجا به استفاده از روش نیمه لاگرانژی روبه عقب 1] - Backward Semi-Lagrangian - ،[3 روی آورده ایم.02روش تحقیق سیستم ولاسف- پواسون یک بعدی - بهنجار شده - به صورت زیر تعریف می شوداین سیستم نشانگر تحول سیستمی از ذرات تحت تأثیر میدان الکترواستاتیکی خود سازگار - که پاسخ معادله پواسون است - می باشد. تعداد نقاط فضای فاز در جهت مکان وسرعت را به ترتیب با N x و N v نشان می دهیم.
از خواص این سیستم ناوردایی تابع توزیعدر امتداد منحنی های مشخصه معادله ولاسف است، که به صورت زیر تعریف می شونددر اینجا از روش BSL برای حل سیستم - 1-2 - استفاده می کنیم. هدف این روش بهره گیری از هر دو رهیافت اویلری و لاگرانژی است. در این روش شبکه فضای فاز در زمان ثابت نگه داشته می شود - رهیافت اویلری - و معادله ولاسف در امتداد منحنی های مشخصه اش - رهیافت لاگرانژی - با استفاده از خاصیت ناوردایی تابع توزیع در امتداد این منحنی ها انتگرال گیری می شود. اینروش با استفاده از شبکه یکنواخت توصیف نسبتاً دقیقی از فضای فاز ارائه می دهد و به علت استفاده از خاصیت ناوردایی تابع توزیع در امتداد مشخصه ها فاقد محدودیت های مرسوم اندازه گام است. برای حل سیستم - 1-2 - با استفاده از روش BSL ابتدا شبکه
فضای فاز را می سازیم و فرض می کنیم ذرات در زمان t t nروی نقاط شبکه فضای فاز قرار دارند - v j xi ,V n1 . - X n 1مقدار تابع توزیع در زمان t nروی نقاط شبکه معلوم است، هدف یافتن مقدار تابع توزیع روی نقاط شبکه در زمان t t n است.از سوی دیگر ذرات از زمان t n تا زمان tt n مشخصه ها را دنبال می کنند در نتیجه برای یافتن - t f - xi , v j , t nابتدانیازمند یافتن نقطه شروع مشخصه ها وسپس درون یابی هستیم. شکل - 1 - بیانگر راه برد روش BSL است.برای یافتن نقاط شروع مشخصه ها - - X n ,V n از روش پیش بینی- تصحیح [3] - prediction-correction - استفاده می کنیم.سپس با استفاده از درون یابی اسپیلاین مکعبی 3]،[6 مقدار تابع توزیع در نقاط شروع مشخصه ها - - - f - X n ,V n را به دستمی آوریم.
برای انجام درون یابی اسپیلاین مکعبی تابع توزیع را روی پایه های بی- اسپیلاین مکعبی تصویر می کنیم.در رابطه - 3-2 - s بیانگر توابع پایه بی- اسپیلاین مکعبی - بهنجار شده - است که به صورت زیر تعریف می شوندپس از محاسبه f - X n ,V n , t n - توسط درون یابی اسپیلاین مکعبی، از خاصیت ناوردایی تابع توزیع در امتداد مشخصه ها استفاده می کنیم که طبق آن - f - X n ,V n , t n t - f - X n 1xi ,V n v j , t n است. پس از محاسبه زمان سابروتین های مختلف کد BSL به این نتیجه رسیدیم که پر هزینه ترین بخش کد درون یابی اسپیلاین مکعبی است بنابراین سابروتین درون یابی اسپیلاین مکعبی را برای موازی سازی انتخاب نمودیم. برای موازی سازی کد[4] از دستورالعمل های OpenMp استفاده نموده ایم.
.3 نتایج حاصل از کد موازی BSL و تفسیر آنها
برای بررسی صحت کد از آن برای بررسی پدیده ناپایداری دوجریانی [5] استفاده نمودیم. کد موازی BSL به زبان C++ نوشته شده و روی کامپیوترهای حافظه مشترک 8 هسته ای، متشکل از 2 زنون 4 هسته ای 3545 با کش 4 MB2و سرعت 2,66GH، جمعاً 8 شاخه - پروسسور - اجرا شده است. در این پدیده دو جریان از ذرات باردار با سرعت های مخالف بایکدیگر مواجه می شوند. زمانی که سیستم مختل می شود، دامنه اختلال الکتریکی به علت شرایط نامساعد انرژی جنبشی الکترون ها افزایش می یابد. افزایش این اختلال تا حدی است که می تواند جریان الکترون های آزاد را به دام بیاندازد. تابع توزیع اولیه مربوط به ناپایداری دوجریانی به صورت زیر است شرایط اولیه زیر را برای شبیه سازی مسئله ناپایداری دوجریانی در نظر گرفته ایم. که M بیانگر تعداد ذرات موجود در ناحیه شبیه سازی است، بیانگر دامنه اختلال الکتریکی و k بیانگر عدد موج است.شکل - 2 - نشان دهنده تحول زمانی انرژی الکتریکی و اولین سه مد فوریه میدان الکتریکی - در مقیاس لوگاریتمی - است.
مد دیگر نیز به صورت نمایی رشد می کنند و سپس نوسان می کنند اما همواره پایین تر از اولین مد باقی می مانند. از سوی دیگرانرژی الکتریکی از t 8.5 p1 تا t 18 p1 به سرعت رشد می کند و سپس با دوره تناوب T 18 p1 نوسان می کند. برای موازی سازی مدل اجرای اساسی و ساده ای وجود دارد که تفاوت میان سیستم های کامپیوتری را در نظر نمی گیرد به این مدلاجرا تسریع می گویند. تسریع حقیقی برابر است با نسبت زمان اجرای برنامه به صورت سری به زمان اجرای برنامه به صورت موازی. شکل - 3 - نشانگر تسریع ایده آل و تسریع حقیقی برای کد موازی BSL است.در شکل - 3 - همانگونه که طبق قوانین امدال و گوستاوسون- بارسیس پیش بینی می شود، تسریع قوانین فوق با افزایش تعداد پروسسورها افزایش می یابد. از سوی دیگر نمودار تسریع آنها بر هم منطبق است و همواره بیشتر از تسریع حقیقی هستند. با توجه به این شکل 8 پروسسور برای مسئله بهینه نیست و اگر تعداد پروسسور بیشتری در اختیار داشتیم تسریع بازهم افزایش می یافت.
