بخشی از مقاله
چکیده
برآورد ضرایب هارمونیک کروی تابع پتانسیل ثقل زمین به مشاهدات متراکم و پردازش سنگین و زمانبر آنها برای رسیدن به دقت مطلوب نیازمند است. اینگونه مسائل عموما بدوضع بوده و حل آنها به پایدارسازی نیز نیاز دارد. با توجه به قابلیت تنک پذیری سیگنال پتانسیل ثقل زمین وتئوری نمونهبرداری فشرده - - CS، این امکان وجود دارد که با مشاهداتی با نرخ کمتر از نرخ نایکوئیست، ضرایب هارمونیک کروی به صورت تنک برای رسیدن به پتانسیل ثقل زمین قابل برآورد باشند.
برای رسیدن به این مهم، استفاده از توابع پایهی مناسب برای همگرایی به پتانسیل دقیق و طراحی بهینهی شبکهی مشاهدات بسیار حائز اهمیت است. با توجه به همگرایی برخی توابع پایهی دیگر - به جز هارمونیکهای کروی - به تابع پتانسیل، میتوان با استفاده از الگوریتمهای موجود در تقریب تنک یک سیگنال، ضرایب این توابع پایهی جاگزین را به صورت تنک برای رسیدن به پتانسیل دقیق در هر نقطه به دست آورد.
در این صورت نیازی به تأمین نرخ نایکوئیست برای مشاهدات نخواهد بود و سرعت پردازش مشاهدات نیز به طور قابل توجهی افزایش مییابد. الزم به ذکر است با توجه به ویژگی های سیگنال پتانسیل ثقل زمین، عدم تأمین نرخ نایکوئیست برای مشاهدات، در برآورد تنک ضرایب و بازسازی سیگنال، اعوجاج دوم ایجاد نکرده و به محاسبه - درونیابی - دقیق پتانسیل نیز برای هر نقطه قابل انجام است.
مشاهدات مورد استفاده، مشتقات شعاعی پتانسیل ثقل زمین بر روی گرید بهینهی ریوتر بوده و از توابع اسپالین پواسون و مشتقات آن به عنوان توابع پایه برای بازیابی سیگنال پتانسیل استفاده شده است. در روش انجامشده از الگوریتم پیگیری انطباقی قائم پایدار، برای برآورد تنک ضرایب مجهول استفاده شد که در نهایت با کاهش 45 درصدی مشاهدات نسبت روشی که برای تقریب پتانسیل از توابع پایه هارمونیک کروی مبتنی بر نرخ نایکوئیست استفاده میکند، ضرایب توابع پایهی تقریب زنندهی پتانسیل از درجهی 5 تا 80 محاسبه شد.
-1 مقدمه
در سالهای اخیر استفاده از تقریب تنک در زمینههای گوناگون مهندسی بسیار مورد توجه و مطالعه بوده است. دلیل اشتیاق روزافزون مهندسان به استفاده از این روش، داشتن مزایایی از قبیل بازسازی سیگنالها با نمونه-برداری کمتر از نرخ نایکوئیست ضمن حفظ دقت بازسازی سیگنال، سرعت بخشیدن به انجام محاسبات، کم کردن فضای ذخیرهسازی اطالعات، درونیابی دادهها و ... است.
بازسازی سیگنال پتانسیل، با استفاده از تعیین ضرایب هارمونیکهای کروی نیازمند نمونهبرداری متراکم و یکنواخت در کل کرهی زمین است؛ به عالوه اینکه برآورد این ضرایب یک مسألهی بدوضع معکوس مهندسی است و برای رسیدن به پاسخی معتبر به پایدارسازی نیاز است.
بنابراین، نمونه-برداری دادهها با حجم باال و پردازش آنها برای برآورد ضرایب هارمونیکهای کروی نیازمند صرف هزینه و زمان زیادی است. بعضی سیگنالها از قبیل سیگنال پتانسیل و مشتقات آن قابلیت تبدیل به یک بردار تنک را دارا هستند به طوری که هیچ اطالعاتی از بین نرود و یا حداکثر اطالعات سیگنال حفظ شود. منظور از یک بردار تنک، برداری است که دارای تعدادی مؤلفهی صفر است.
امکان برآورد تنک یک سیگنال، باعث میشود تا بتوان تحت شرایطی خاص برای بازسازی سیگنال از نمونهبرداری با نرخ کمتر از نایکوئیست استفاده کرد. در نتیجه میتوان تعداد مشاهدات و سرعت پردازش آن-ها را برای رسیدن به دقت مورد نظر به شدت کاهش داد.
قبل از تعریف تقریب تنک باید مفهوم ترم تنک بیان گردد. ترم تنک مربوط به یک ویژگی قابل اندازهگیری یک بردار میشود. این ترم با حداقل مؤلفهها، بیشترین اطالعات یک سیگنال یا بردار n بعدی را در یک زمینهی خاص در اختیار قرار میدهد به طوری که تعدادی از مؤلفههای بردار تنک برابر با صفر است. آنچه اهمیت دارد پیدا کردن تنک ترین جواب ممکن با بیشترین اطالعات و دقت مورد نظر است. در واقع هدف اصلی در این تحقیق یافتن برداری تنک به عنوان ضرایب توابع پایهی تقریب زنندهی سیگنال پتانسیل و مشتقات آن است. این تقریب ضرایب با استفاده از الگوریتمهای تکرار شونده میسر است که در قسمت روش حل مسأله به آن خواهیم پرداخت.
ارزیابی میزان تنک بودن با استفاده ازُنرم صفر یک بردار صورت میگیرد. در ریاضیات نرم های مختلفی برای یک بردار تعریف میشود که هرکدام در کاربرد خاص مورد استفاده قرار میگیرند.[1] مثال نرم 2 که همان طول اقلیدسی یک بردار است پرکاربردترینُ نرم هاست.
نرم صفر یک بردار n بعدی X برابر است با:
به بیان ساده تر، نرم صفر برابر با تعداد مؤلفههای غیر صفر یک بردار است. بردار a را تنکتر از بردار b گویند، در صورتی که نرم صفر آن کمتر باشد. شکل زیر نشاندهنده ی گویهای واحد نرمهای مختلف است:
شکل - a - .1، - b - ، - c - و - d - به ترتیب گوی های واحد نرم صفر، یک، دو و p در فضای دو بعدی هستند . - 0>p>1 -
ما به دنبال بهترین تقریب تنک برای سیگنال پتانسیل و یا مشتقات آن هستیم، به بیان دیگر در مسألهی Ax=b، b سیگنال پتانسیل ویا مشتقات آن است، A ماتریس طرح شامل بردارهای پایه و x ضرایب بردارهای پایه هستند که به صورت تنک برآورد میشوند. بردار ضرایب x به گونهای برآورد میشود که کمترین نرم صفر را ضمن حفظ دقت دارا باشد. در ریاضیات انجام محاسبات مبتنی بر نرم صفر جزو مسائل بسیار سخت1 محسوب میشود و برای حل آنها از روشهای دیگری استفاده میشود که از نرمهای جایگزین نرم صفر بهره میبرند. روش استفاده شده در این تحقیق - پیگیری انطباقی قائم پایدار - ، ضمن برآورد تنک بردار x، از پایدارسازی نیز برای حل مسأله بهره میبرد.
در ادامه برخی از الگوریتمهای استفاده شده در مباحث مربوط به ثقلسنجی در این بخش به طور خالصه ارائه میگردند:
-1-1 روش پیگیری انطباقی قائم - OMP - 2 در برآورد آنومالی جاذبه با استفاده از ثقلسنجی هوایی
طبق تحقیق یانگ و همکاران [2]، به کارگیری حسگری فشرده با استفاده از الگوریتم OMP منجر به کاهش
هزینه و نرخ نمونهبرداری تا 14% شد، ضمن اینکه دقت مورد نظر در برآورد سیگنال حاصل گردید. ایدهی جالب این تحقیق، استفاده از ماتریس تبدیل در برآورد سیگنال غیر تنک از سیگنال تنک محاسبه شده است و در واقع سیگنال تنک دارای یک بسط بر حسب سیگنال اصلی در نظر گرفته شده است.
-2-1 روش پیگیری انطباقی قائم پایدار - SOMP - 3
این روش تا کنون در کاربردهایی مثل برآورد تنک ضرایب هارمونیک کروی[3] و همچنین تعیین ضرایب توابع پایهی شعاعی در مدلسازی محلی میدان ثقل [4]، استفاده شده که نتایج قابل توجهی از نظر دقت و سطح تنکی سیگنال مجهول ارائه داده است. دلیل کارایی باالی این روش، پایدارسازی مسألهی بدوضع، ضمن حل آن است، همچنین سطح تنکی بهینه در آن قابل دستیابی است. شایان ذکر است که نرخ نمونهبرداری - تعداد مشاهدات - در این روش میتواند حتی تقریبا برابر با مجهوالت باشد.
-3-1 روش پیگیری انطباقی تابعی منتظم - RFMP - 1
در این روش قابلیت تلفیق چند نوع مشاهده برای برآورد میدان ثقل وجود دارد. دلیل نامگذاری تابعی برای آن، به دست آمدن سیگنال مجهول در هر مرحله به صورت تابعی از مرحلهی قبل است. برای این روش اثباتهای ریاضی قوی در مورد همگرایی به جواب مورد نظر در فضای هیلبرت وجود دارد.
همچنین فیشر و میشل [6] نشان دادند که این روش در مقایسه با روش ویولت و اسپالین میتواند عملکرد بهتری داشته باشد، چرا که در استفاده از روش اسپالین به کارگیری تعداد باالی توابع پایه موجب ناپایداری عددی مسأله میشود و روش ویولت قابلیت انعطاف پایینی در استفاده از انواع مختلف دادهها در حل مسأله از خود نشان میدهد.
-2 دادههای مورد استفاده و شبکهی نقاط
دادههای مورد استفاده، مشتق شعاعی پتانسیل تصویر شده روی یک کره به شعاع 6809637 متر - در حدود ارتفاع ماهوارههای گریس - هستند که آرایش آنها روی کره بر مبنای گرید ریوتر است. مشاهدات ردیابی ماهواره به ماهواره - SST - 2 - نظیر مشاهدات ماهوارهی گریس - نیز از جنس مشتقات پتانسیل هستند بنابراین از این روش میتوان در مسائل ردیابی ماهواره به ماهواره نیز استفاده نمود.
مشاهدات استفاده شده در این تحقیق از درجهی 5 تا 80 هستند و تعداد دادههای مورد استفاده 13188 مشتق شعاعی پتانسیل است. مزیت گرید ریوتر نسبت به گرید منظم است این است که در گرید ریوتر فواصل طولی نقاط در هر مدار ثابت میماند، این در حالی است که در گرید منظم تراکم نقاط در نزدیکی قطبها بیشتر میشود. با استفاده از گرید ریوتر همواره از تراکم یکسان نقاط در همه جا برخوردار خواهیم بود و این موضوع، ناپایداری عددی مسأله را کاهش میدهد. شکل زیر تفاوت این دو گرید را به خوبی نشان میدهد:
شکل :2 مقایسه گرید منظم و گرید ریوتر در تراکم نقاط، گرید سمت راست ریوتر و گرید سمت چپ منظم است.
-3 روش حل مسأله
در این تحقیق به دنبال حل بهینهی Ax=b هستیم به گونهای که برای برآورد x به حداقل مشاهدات نیاز باشد.
