بخشی از مقاله
خلاصه
تحلیل رفتار محیطهای متخلخل در بسیاری از مسائل مهندسی اهمیت فراوانی دارد . معادلات حاکم بر رفتار دینامیکی محیطهای متخلخل اشباع شامل معادلات ساختار، بقای جرم و اندازه حرکت میباشد که برای نخستینبار توسط بیوت ارائه گردید. در این مقاله از فرمول بندی بر حسب جابهجایی فاز جامد و فشار سیال حفرهای در حوزه لاپلاس استفاده میگردد. برای حل معادلات از روش توابع نمایی پایه به شکل بدون شبکه محلی استفاده شده است. در این روش تقریب جواب معادلات حاکم توسط یک سری از توابع نمایی پایه صورت میگیرد. عدم نیاز به انتگرالگیری ، باعث کاهش چشمگیر هزینه محاسبات در این روش شده و همچنین بینیازی از المانبندی دامنه حل از مزایای این روش است.
کلمات کلیدی: محیط متخلخل، تئوری بیوت، انتشار امواج، فضای لاپلاس، توابع نمایی پایه
1. مقدمه
محیطهای متخلخل اشباع همچون، خاک، سنگ و دیگر مواد را میتوان به عنوان یک محیط دوفازه، تشکیل شده از یک اسکلت جامد شکل پذیر و سیالی که حفرات موجود در اسکلت جامد را پر میکند در نظر گرفت. آنالیز دینامیکی محیطهای متخلخل اشباع در مسائل عملی و زمینه هایی مانند تحلیل و طراحی سازهها و ماشینآلاتی که بر روی بستر های متخلخل قراردارند - اثر اندرکنش خاک و سازه - ، تحلیل سازههای دریایی، تحلیل اثر انتشار امواج در زمین به واسطه بارگذاری زلزله و یا انفجار، مطالعه پدیده روانگرایی و... دارای اهمیت زیادی است. اگرچه ممکن است بعضی از این مسائل به عنوان تحلیل شبهاستاتیکی ویا دینامیکی محیط پیوسته یک فازی مدل شوند، ولی در بسیاری از این مسائل نمیتوان از طبیعت ذاتی محیط دوفازی صرفنظر نمود.
اولین و سادهترین بیان ریاضی مربوط به محیط های متخلخل اشباع توسط ترزاقی ارائه شد.[1] در روابط ترزاقی، جریان سیال حفرهای از فرایند تغییر شکل اسکلت جامد، جدا و غیردرگیر فرض شده است. پس از آن بیوت تئوری تغییر شکل محیط متخلخل اشباع را در حالت شبه استاتیک بیان و از آن برای حل مسائل تحکیم پیها استفاده نمود.[2] درتئوری او تغییرشکلها خطی فرض شدند. بیوت در سال 1955 میلادی معادلات حاکم بر انتشار موج در محیط های متخلخل اشباع را ارائه کرد[3]، و به دنبال آن در سال 1962 با افزودن آثار ویسکوالاستیسیته و ناهمسانگردی محیط به تئوری انتشار موج در محیط متخلخل آنرا گسترش داد.[4]
حل تحلیلی معادلات حاکم بر انتشار موج تنها در حالت های ساده امکانپذیر است. از اینرو استفاده از روشهای عددی راه گریزناپذیر حل این معادلات است. از جمله این روشها میتوان به روش اجزا محدود، روش تفاضل محدود، روش اجزا مرزی و روش های بدون شبکه اشاره کرد. در این مقاله از توابع نمایی پایه به شکل بدون شبکه محلی برای حل معادلات استفاده میشود . این روش نخستین بار در مرجع[5] معرفی گردیده و در مرجع[6] از آن برای حل مسائلی از قبیل معادله لاپلاس، معادله هلمهولتز، مسئله الاستیسیته و ... استفاده شده است.
2. معادلات حاکم
رفتار محیط های متخلخل اشباع تحت انتشار موج به صورت های گوناگونی فرمول بندی شده است. از جمله میتوان معادلات مربوطه را بر حسب جابه جایی هریک از فازها بیان نمود. صورت دیگری از فرمولبندی معادلات حاکم بر حسب جابهجایی فاز جامد و فشار سیال حفرهای انجام میشود. فرمول بندی اخیر جز با اعمال فرضیات ساده کننده خاص در حوزه زمان امکانپذیر نیست. از اینرو برای یک فرمولبندی دقیق، ناگزیر مسئله در فضای لاپلاس یا در حوزه فرکانس مورد بررسی قرار میگیرد.[7]هرگاه u is و p به ترتیب بیانگر جابه جایی فاز جامد و فشار سیال حفره ای باشد معادلات حاکم بر رفتار محیطهای متخلخل اشباع به فرم uis p در حوزه لاپلاس به صورت زیر است:
3. مختصری پیرامون روش توابع نمایی پایه محلی
یک مسئله مقدار مرزی در حالت کلی به صورت زیر بیان میشود: در این روش ابتدا دامنه حل بوسیله یک سری از نقاط گرهی گسسته می شود. این نقاط می توانند داخل دامنه یا روی مرز قرار گیرند .سپس در هر یک از این نقاط ابری شامل تعدادی از نقاط گرهی مجاور در نظر گرفته می شود. ابرهای مجاور باید با یکدیگر همپوشانی داشته باشند و اجتماع آن ها باید سرتاسر دامنه حل را بپوشاند. - شکل - 1 پاسخ معادله دیفرانسیل در مختصات محلی هر ابر به صورت مجموع بخشهای همگن و خصوصی نوشته میشود: بخش خصوصی پاسخ معادله دیفرانسیل صرفا به منظور ارضا معادله در داخل دامنه حل اضافه میگردد و شرایط مرزی را برآورده نمیسازد. بدین ترتیب این بخش از حل یکتا نیست و هر تابعی که دارای این خصوصیت باشد میتواند به عنوان حل خصوصی مورد استفاده قرار گیرد. در شرایطی که چنین تابعی در دسترس نباشد، میتوان تقریبی از آن را به صورت یک ترکیب خطی از یک سری توابع پایه در مختصات محلی هر ابر در نظر گرفت: که در آن kp ، ckp و m p به ترتیب توابع پایه، ضرایب ثابت و تعداد پایههای حل خصوصی میباشند. به منظور محاسبه ضرایب ckp برای هر ابر فقط از معادله اول - - 11 استفاده میگردد. به عبارت دیگر این ضرایب به گونهای تعیین میشوند که معادله دیفرانسیل در محدوده اطراف هر ابر ارضا شود. بنابر این با توجه به فرض خطی بودن عملگرL ازجانشین نمودن رابطه - - 13 در معادله اول - 11 - رابطه زیر حاصل می شود
