بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله، روشی نیمهتحلیلی و بدون شبکه برای شبیهسازی امواج غیرخطی در سیال دارای سطح آزاد ارائه شده است. فرمولبندی روش ارائه شده بر اساس بیان لاگرانژی معادلات ناویر- استوکس برایسیال غیرلزجِ تراکمناپذیر میباشد؛ بر این اساس، معادله لاپلاس فشار در هر گام زمانی با استفاده از روشی بدون شبکه، مشابه با روش توابع پایه، حل شده و سایر مشخصههای سیال مانند شتاب، سرعت و جابجایی از آن حاصل میشود. پس از آن، با توجه به فرمولبندی لاگرانژی حرکت، هندسه حل بهنگام میشود و حل در زمان پیش میرود.
در این روش، پاسخ معادلات در هر گام زمانی، به صورت یک سری متشکل از توابع نمایی و ضرایب ثابت در نظر گرفته میشود؛ توابع فوق به گونهای محاسبه میشوندکه معادلات دیفرانسیل به صورت دقیق ارضاء شوند. ضرایب ثابت نیز از ارضای شرایط مرزی بر روی مجموعه نقاطی از مرز، با استفاده از یک تبدیل ویژه بدست میآیند. با استفاده از این روش، مسائل غیرخطی مختلفی حل شده و نتایج قابل توجهی در مقایسه با دیگر روشهای لاگرانژی حاصل شده است. با توجه به تغییر هندسه حل در طول زمان، بدون شبکه بودن روش ارائه شده به علت عدم نیاز به تولید شبکه در هر گام زمانی، به لحاظ میزان صرف وقت و هزینه محاسبات بسیار درخور توجه میباشد.
1. مقدمه
امروزه حل معادلات دیفرانسیل در اغلب مسایل مهندسی، از اهمیت ویژهای برخوردار میباشد. حل این معادلات همراه با ارضاء کامل شرایط مرزی آنها به صورت مستقیم - فرم بسته - بسیار پیچیده میباشد. معادلات دیفرانسیل حاکم بر حرکت سیالات نیز، که در این نوشتار بررسی شده است، از این قاعده مستثنی نخواهد بود. نوسانات دینامیکی سیال دارای سطح آزاد در زمینههای مختلف مهندسی مورد توجه است. با توجه به ماهیت غیرخطی مسأله و عدم وجود پاسخهای تئوریک، در سالهای اخیر تمایل زیادی برای توسعه روش های عددی در محاسبهی حرکات بزرگ سطح آزاد سیال و تحلیل مسائل اندرکنش سیال تراکمناپذیر و سازهها، وجود داشته است. نمونه این مسائل را میتوان در موشکها و فضاپیماها، هیدرودینامیک کشتیها، سازههای فراساحلی، سدها، مخازن سیال و ... مشاهده کرد.
در مکانیک سیالات دو رویکرد متفاوت به حرکت وجود دارد؛ در نگاه اویلری3، به یک حجم خاص سیال در فضا توجه می شود که در محل خود ثابت بوده و سیال عبور کننده از آن که مرتب جایگزین می شود، مورد مطالعه قرار میگیرد. در نگاه لاگرانژی4 به حرکت سیال، ذرات سیال دنبال میشوند و بدین ترتیب شکل حجم سیال دائم تغییر کرده ولی جرم کل آن ثابت می ماند. در حل مسائل دینامیک سیالات در قالب لاگرانژی، مرزهای سیال دائماً در حال حرکت بوده و ناحیه حل در طول زمان مرتباً تغییر میکند. لذا در روشهای نیازمند به شبکه5، لازم است در طول حل از الگوریتمهای
مناسب جهت تولید شبکه6 استفاده کرد و این امر مستلزم صرف زمان فراوان و برنامهنویسیهای پیچیده است.
ازجمله روشهایی که اخیراً در حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر مسائل مختلف مهندسی مورد توجه قرار گرفته است، حل به روش توابع پایه1 با کمک توابع گرین میباشد. از این توابع هم در حلهای اجزاء محدود و هم در حلهای بدون شبکهبندی2 استفاده شده است - منظور از توابع گرین در این مبحث، توابع گرین نمایی بوده و متفاوت با توابع منفرد مورد استفاده در حل مسائل المانهای مرزی میباشد. به همین دلیل توابع مذکور را توابع گرین هموار مینامیم - . روشی که در این مقاله برای حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر حرکت سیال تراکمناپذیر و بررسی اندرکنش آن با دیوارههای نفوذناپذیر ارائه میشود، حلِ بدون شبکه با استفاده از توابع گرین هموار - توابع پایه نمایی - در فرم لاگرانژی میباشد.
پیشتر از این توابع در حل مسائل الاستیسیته و موج الاستیک [1]، ورق [2-4]، تحلیل محیطهای تراکمناپذیر [5] و تلاطم سیال در مخازن مستطیلی [6] استفاده شده است. در روش توسعه داده شده در این تحقیق، تراکمناپذیری به صورت دقیق ارضا میشود و در مسائل دینامیکی، با توجه به ویژگیهای منحصر به فرد و فرمولبندی نیمه-تحلیلی، معادلات حاکم تنها به معادله لاپلاس فشار خلاصه شده و سایر مشخصههای سیال - شتاب، سرعت و جابجایی - از آن حاصل میشود؛ لذا شرایط مرزی مسأله بسیار ساده بیان میشود.
بدین منظور، پاسخ کلی سیستم در هر مرحله زمانی، به صورت مجموعی از توابع نمایی با یک سری ضرایب ثابت در نظر گرفته میشود؛ به صورتیکه توابع ذکر شده در معادلات دیفرانسیل بطور دقیق صدق کرده و ضرایب ثابت از ارضای شرایط مرزی در مرزهای سیال - شامل سطح آزاد و دیوارههای نفوذناپذیر جامد - بدست میآیند. در این مقاله از روش مذکور برای تحلیل کانال موج استفاده شده است.
2. معادلات حاکم
معادلات حاکم بر جریان سیال شامل معادلات پیوستگی - بقای جرم - و تعادل دینامیکی - بقای اندازه حرکت - است، که معادلات ناویر- استوکس نیز نامیده میشود. در روش حاضر، این معادلات برای سیال نیوتنی، تراکمناپذیر و غیرلزج دوبعدی در قالب لاگرانژی مورد بررسی قرار گرفته است.
