بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله یک روش بدون شبکه محلی برای حل مسئله معکوس شناسایی بارگذاری استاتیکی ورق کیرشهف ارائه شده است. ایده اصلی در این روش استفاده از توابع گرین تقریبی برای برآورد مکان و شدت بارهای متمرکز و گسترده است. به این منظور در غیاب نتایج آزمایشگاهی واقعی از نتایج نرم افزار SAP برای اندازهگیری پاسخ ورق استفاده میشود. برای ساخت توابع گرین تقریبی از ترکیب توابع پایه نمایی به فرم محلی و حل اساسی معادله حاکم بر ورق استفاده شده است. در این روش گسستهسازی دامنه حل بوسیله شبکهای از نقاط گرهای صورت میگیرد و در هر یک از نقاط یک ابر شامل تعدادی از نقاط گرهای مجاور در نظر گرفته میشود. از مزایای این روش میتوان به سادگی استفاده از توابع پایه نمایی به دلیل هموار بودن آن ها، عدم نیاز به شبکه بندی المان ورق و همچنین قابلیت حل مسائل با مرزهای داخلی اشاره نمود. دقت×روش×توسعه یافته نیزدرحل چند مثال عددی نشان×داده×شده×است.
کلمات کلیدی: شناسایی بارگذاری، ورق کیرشهف، توابع گرین تقریبی، توابع پایه نمایی، روش بدون شبکه محلی.
1.مقدمه
در یک دیدگاه کلی، مسائل موجود در مکانیک جامدات به دو دسته مسائل مستقیم و معکوس طبقهبندی میشوند. ویژگی اصلی مسائل مستقیم، تحلیل کلاسیک معادلات حاکم به منظور برآورد پاسخ سیستم است. در مقابل هدف از مسائل معکوس، بازیابی پارامترهای ورودی با استفاده از پاسخ و خروجیهای مسئله است. خروجیهای مسئله مورد نظر معمولاً با اندازهگیریهای آزمایشگاهی تعیین میشوند. لازم به ذکر است بسته به نوع پارامتر ورودی مورد نظر، مسائل معکوس به چند دسته مسئله تعیین مشخصات مکانیکی، تعیین شرایط مرزی، تعیین هندسه و برآورد توابع تحریک تقسیمبندی میشوند.در طول یک دهه اخیر حل مسئله معکوس شناسایی بار مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفته است.
در سال 2010 هون و همکاران [1] دیدگاه جدیدی را برای حل دسته خاصی از مسائل برآورد تابع تحریک براساس استفاده از توابع گرین معادله لاپلاس مطرح کردند. کاربرد روش مذکور مختص شرایط مرزی محدود که توابع گرین محاسباتی برای آنها وجود دارد، است.بری و همکاران [2] روش میدان مجازی را برای شناسایی بارگذاری در ورقهای خمشی نازک در سال 2014 استفاده کردند. این روش مشابه روش آنالیز نیرو اما با فرمولبندی متفاوت بود. شبیهسازی عددی نشان داد که این روش وقتی بار متمرکز قابل توجه باشد، خطا دارد. در این مورد کرنشهای محلی بزرگ در محاسبات انتگرال خطا ایجاد میکرد.در سال 2014 سانچز و بنارویا [3] روشهای باز سازی را به سه دسته تقسیم بندی کردند: - 1مستقیم - 2منظم سازی - 3 آماری/احتمالاتی که هرکدام از این روش ها نقاط قوت وضعف خود را دارد.
این روش ها هم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس میتوانند به کار روند.در سال 2015 موحدیان و برومند از توابع گرین تقریبی با استفاده از ترکیب توابع پایه نمایی به فرم کلی و حل اساسی، برای برآورد بارهای متمرکز و گسترده در ورق نازک استفاده کردند .[4]فرم کلی روش بدون شبکه مرزی علیرغم تمامی مزایا قادر به حل کلیه مسائل با مرزهای داخلی نبوده و از این رو در این مقاله فرم محلی این روش استفاده شده که قابلیت حل مسائل با مرزهای داخلی را نیز دارد. فرم محلی روش بدون شبکه برای ورق را معتمدی با استفاده از توابع پایه نمایی توسعه داد .[5] در ادامه پس از ارائه معادلات دیفرانسیل حاکم بر ورق نازک و شرایط مرزی، اشارهای به خروجیهای اندازه گیری شده برای بازیابی بار میشود. سپس روش پیدا کردن توابع گرین تقریبی شامل بخش همگن، خصوصی و همچنین نحوه تشکیل معادلات و ارتباط بین درجات آزادی تشریح میشود. درنهایت،مثالهای عددی نیز ارائه خواهند شد.
2.بیان مسئله و معادلات حاکم
براساس فرضیات کیرشهف [6]، خطوط عمود بر میان صفحه بعد از تغییر شکل ورق به صورت خطی، عمود بر میان صفحه و بدون تغییر طول باقی میماند. با استفاده از این فرضیات معادله حاکم بر ورق نازک ایزوتروپیک به صورت زیر است:که در آن q - x, y - بارگذاری عمود بر سطح ورق، w جابجایی ورق در راستای قائم است.Dصلبیت خمشی ورق به صورت زیر تعریف میشود .در رابطه فوق h ، E وبه ترتیب ضخامت ورق، مدول الاستیسته و ضریب پواسون هستند.
.1-2 شرایط مرزی
در تئوری کلاسیک برای ورق ایزوتروپیک، دو شرط مرزی باید ارضا شود، که در شرایط مختلف تکیهگاهی به صورت زیر تعریف میشون: M nn منتجه تنشهای خمشی و Vn منتجه تنشهای برشی عرضی هستند که طبق روابط زیر تعریف میشوند.در این روابط اندیسهای n و s بیانگر جهات عمود و مماس بر لبه ورق است.
.2-2 دادههای اندازه گیری شده
هدف از مسائل معکوس، بازیابی پارامترهای ورودی با استفاده از پاسخ و خروجیهای مسئله است. خروجیها میتواند مقادیر جابجایی، کرنش یا شتابدر مجموعهای از نقاط درون دامنه باشد. برای مثال در حل مسئله شناسایی بارگذاری ورق، با داشتن پاسخهای اندازهگیری شده در محل حسگرها، بارهای متمرکز و گسترده به دست میآیند. در این مقاله در غیاب نتایج آزمایشگاهی واقعی از نتایج نرم افزار SAP برای اندازه گیری پاسخ ورق استفاده شده است.دراین روش پاسخهای اندازهگیری شده درNm نقطه به صورت زیر در نظر گرفته می شودکه xm , ym مختصات نقاط اندازهگیری شده و . Lmsrd اپراتور مناسب برای تعریف نوع اندازه گیری است. به طور مثال برای جابجایی 1 Lmsrd . درنظر گرفته میشود .[4] لازم به ذکر است که روش معرفی شده بارهای متمرکز و گسترده را با تعداد دادههاینسبتاً کم بازیابی میکند. بطور مثال شدت بار متمرکز با موقعیت معلوم را میتوان با استفاده پاسخ اندازهگیری شده در یک نقطه بدست آورد.
3. روش حل
در این روش برای حل مسئله معکوس از توابع گرین استفاده میشود. این توابع مسئله معکوس را به مجموعه ای از مسائل مستقیم تبدیل میکند. در ریاضیات تابع گرین پاسخ ضربه یک معادله دیفرانسیل ناهمگن در یک دامنه تعریف شده، با شرایط مرزی و اولیه مشخص است. این تابع به نام ریاضیدان انگلیسی جورج گرین نامگذاری شده که نخستین بار در دهه 1830 این مفهوم را بیان کرد. براساس این تعریف تابع گرین معادله ورق در حالت کلی، حل معادله زیر در نظر گرفته میشود که LB عملگر شرایط مرزی، - . - تابع دلتای دیراک و - , - موقعیت نقطه مرجع در داخل دامنه است. برای مثال در شرایط مرزی مفصلی LB به صورت زیر تعریف میشود:
با بهرهگیری از اصل جمع، حل معادله دیفرانسیل - 1 - با شرایط مرزی - 5 - - - 3 - کانولوشن تابع گرین با تابع q - x, y - روی همان دامنه، است در حالتی که N p بار متمرکز وجود داشته باشد، رابطه - 11 - به شکل زیر بازنویسی میشود که q j شدت j امین بار متمرکز وارد بر نقطه - j - j , است. درصورتی که بار وارد بر ورق به صورت گسترده باشد میتوان نوشت :که q j شدت تابع بار گسترده در نقطه - j , j - و jضریب وزن برای j امین نقطه داخلی است. با جایگذاری - 13 - در - 11 - رابطه زیر برای بار گسترده بدست میآید همچنین پاسخهای اندازهگیری شده را نیز میتوان به صورت مجموعهای از توابع گرین با نقاط مرجع یکسان با رابطه - 14 - نشان داد
