مقاله در مورد ریاضیات مهندسی

word قابل ویرایش
52 صفحه
11700 تومان
117,000 ریال – خرید و دانلود

ریاضیات مهندسی

فصل اول: بررسی های فوریه:
مقدمه: تفکیک یک تابع به چند جزء مختلف و یا بسط آن به یک سری گسترده از توابع دارای بورد کاربردی مختلف در ریاضی و فیزیک است، یکی از این موارد بسط توابع برحسب مجموعه ای از توابع هارمونیک مثلثاتی با فرکانسها و دامنه ای مختلف است. در این فصل ضمن آشنایی قدم به قدم به اصول این روش با کاربردهای حاصل از آن نیز آشنا می شویم.

۱-۱- توابع متناوب: اگر شکل تابع در فواصل منظم تکرار شود آنرا تناوب گوئیم.

در مورد یک تابع متناوب می توان نوشت:
(۱) f (x+T) = f(x)
در این رابطه f تابعی از متغیر x و دوره تناوب T می باشد.
براساس این تعریف ملاحظه می شود که اگر g,f توبام هم پریود باشند، تابعی که به صورت زیر تعریف می شود نیز با آنها هم پریود است.
(۲) h = f + g
sin و cos از جمله توابع متناوبند.
Sin x 2

Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟
Sin x 2
Cos x 
بنابراین دوره تناوب تابع مذکور ۲ می باشد.

به این ترتیب دوره تناوب مجموعه ای توابع به صورت زیر برابر ۲ خواهد بود.
(۳)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهای بعد دیده می شود که می توان برای تابعی با دوره تناوب ۲ ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 یک سری مثلثاتی مثل رابطه (۳) پیدا کرد.
مثال: کوچکترین دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید:
الف) sinx ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
هـ) sin2nx و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) ۳sin4x+cos4x
T=12 T=/۴
۱-۲- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئیم هرگاه داشته باشیم:

که به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمایش می دهیم. براین اساس:
(Cosmx, Sin nx)=0
(Sin mx, Sin nx)=0
(Cos mx, Sin mx)=0
در فاصله (۰,۲) تمام این توابع بر هم عمود هستند.

توابع تناوب را اعم از اینکه دارای دوره تناوب ۲ باشد یا نباشد می توان برحسب توابع هامونیک cos, sin نوشت. بسط حاصل از تفکیک یک تابع به اجزاء هارمونیکی یک سری فوریه می گوئیم. اکنون به معرفی سری فوریه می گوئیم.
۱-۳-۱- بسط توابع دوره تناوب ۲

تابعی را با دوره تناوب ۲ در نظر بگیرید. این تابع را با سری مثلثاتی رابطه (۳) می توان جایگزین کرد یعنی می توان نوشت:

برای اثبات این ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه کنیم. محاسبه این ضرائب با توجه به خاصیت متعاصر تابع های هارمونیکی قابل انجام است.
مثلا برای محاسبه an طرفین رابطه (۸) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گیری نمائیم.

+

۱-۳-۱- بسط تابع با دوره تناوب ۲v

ضرائب a0، an و bn =؟
برای محاسبه a0 از طرفین T- تا T انتگرال می گوییم

برای تعیین ضرائب جملات کسینوسی طرفین را در Cosmx ضرب می کنیم و از –T تا T
انتگرال می گیریم.

تمامی جملات به جز جمله در حالتی که n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر ۲n است

برای تعیین جملات سینوسی، طرفین در Sinx ضرب

تمامی جملات بجز آنهم زمانی که m، n است برابر صفرند و در حالت m، n این جمله برابر 

: ضرائب فوریه

مثال: سری فوریه را برای تابع زیر بیابید:
-<x<0 -k
F(x)=
0<x< k
a0=0

n فرد باشد ۲
۱-cos=
n زوج باشد ۰
B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/
F(x)=4k/(sinx+1/3sinx+1/5sin5x+…)
۱-۳-۲- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه:
تابعی مانند fT(t) را که در یک تناوب در فاصله (۴/ و ۴/-) واقع شده را در نظر بگیرید. با تغییر متغیر T/2t= x تابعی به صورت f(x) بدست می آید که دارای دوره تناوب ۲ است.
۴/T  =t متناظر است با   = x
برای تابع f(x) با دوره تناوب ۲ سری فوریه بدست آورده شد. اگر به جای x در این رابطه متناظرش را قرار دهیم:

مثال: برای موج سینوسی با فرکانس w که در قسمت منفی آن حذف شده است، بسط فوریه را بدست آورید:

-/w<t<0 0

F(t)=
0<t</w E0sinwt

n=1 E0/2
bn= به همین ترتیب
n۱ ۰

مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوریه که در فاصله (-۲,۲) به صورت زیر تعریف شده است:
f(t)= 4-t2 -2<t<2
T= 4

=

۴ را ازاین رابطه محاسبه کنید:
تمرین: برای توابع زیر که دارای دوره تناوب ۲ هستند و در فاصله (۱ و ۱-) تعریف شده اند سری فوریه را بیابید:
f(x)= Sgn (x)(الف
f(x)= U (x)(ب
f(x)= x(ج
f(x) = x (و
f(x)= x2(هـ
f(x)= Sinx(و
قضیه: سری فوریه یک تابع متناوب یکی است. بنابراین از هر روشی که به سری فوریه یک تابع برسیم، در تابع یک سری فوریه منحصر به فرد برای یک تابع متناوب خواهیم داشت.
۱-۴- توابع زوج و فرد و یک سری فوریه
f(-x) = f(x) : تابع زوج
f (-x)= – f(x): تابع فرد
سایر توابع نه زوج و نه فرد هستند. مانند ex یا ۱+x
اگر O(x) یک تابع فرد و E(x) یک تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه:
o1+o2=o3

E1+E2=E3
O+E=f
O1-O2=E
O1.E=O2
E1.E2=E3
این خصوصیات هیچ شباهتی به خاصیت اعداد زوج و فرد ندارد.
براساس تعریف تابع های زوج و فرد توابع Sinx و Cosx به ترتیب فرد و زوج محسوب می شوند.
اگر f(t) تابعی زوج باشد T/ f(t) cos 2nt یک تابع زوج است.
بنابراین ضرائب an به این صورت محاسبه می شوند:

f(t). Sin 2nt/T یک تابع زوج * یک تابع فرد فرد bn برابر صفر است

به همین صورت اگر f(t) فرد باشد
قضیه: ضرائب فوریه مجموعه ۲f + 1f برابر با مجموعهای ضرائب متناظر ۱f و ۲f هستند و ضرائب فوریه cf برابر C ضرب در ضرائب فوریه متناظر f هستند.
مثال: بسط فوریه تابع متناوب f(x)= +x که در یک دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آورید.
T= 2
تابع f(x) را می توان به صورت مجموع دو تابع f1(x)= و f2(x)=x نوشت. چون  عدد ثابتی است پس بسط فوریه f1(x) همان  می شود. اکنون بسط فوریه تابع f2(x) را که یک تابع فرد است بدست می اوریم:

تمرین: سری فوریه توابع زیر را بدست آورید:
f(x)= 1+Sgn (x)
T=2 -1<x<1
1-5- شکلهای مختلف نمایش سری فوریه:
سری فوریه را می توان به کمک توابع نمایی نمایش داد.

از مقایسه این دو رابطه می توان فهمید که f0 همان a0 است.
روابط محاسبه ضرائب بسط را می توان به طور مشابه با جایگزینی عبارات نمایی به جای روابط مثلثاتی بدست آورد.

در نهایت می توان با تغییر متغیر =۲t/T رابطه فوق را برای تابعی با دوره تناوب دلخواه T تعمیم داد.

مثال: سری فوریه مختلط f(x)=ex را اگر <x< و T=2 باشد تعیین نمائید.
:داریم

سری های مثلثاتی می توان به صورت مجموع عبارتهای مثلثاتی

با دامنه و فاز مجزا نمایش داد.

جمله x ام یک سری فوریه مثلثاتی AnConw0t+BnSin nw0+
اگر این جمله را طبق قاعده فوق مرتب نمائیم:

An و Bn همچنان از روابط مربوط به خودشان پیدا می شوند
۱-۶- بسط نیم دور:
به روشهای مختلف می توان تابعی را که در فاصله محدودی تعریف شده است را به صورت متناوب گسترش داد به عنوان مثال تابع شکل زیر را می توان به صورت بیه تابع اصلی است و ثانیا هر دو متناوب هستند.
برای استفاده از مزایایی سری فوریه حتی توابع غیر متناوب را در محدوده معین به صورت یک تابع پریودیسک در نظر گرفته و آن را به با یک سری جایگزین می نمائیم
از میان شکلهای دوره ای مختلف که می توان برای تناوبی کردن یک نتایج در نظر گرفت، دو صورت زوج و فرد به دلیل سادگی بیشتر مورد توجه است.
سری فوریه ناشی از این اشکال را بسط نیم دور سینوسی یا کسینوسی می نامند. براساس نتایج بخش قبل در مورد توابع زوج و فرد، ملاحظه می شود که برای تابعی که در فاصله (۰,f) تعریف شده، سری فوریه مثلثاتی زوج به صورت زیر است:

T=2L
که ضرائب an,a0 از روابط زیر پیدا می شوند.

و به طور مشابه برای بسط نیم دور سینوسی داریم:

مثال: در x=1/2 ترتیب تابع f(x)=x را از طریق بسط نیم دور سینوسی و کسینوسی بدست آورید:
الف) برای بسط زوج داریم:

بنابراین: f(x)= ½- ۴/۲ (Cox+1/32cos3x+1/525x+0x)
f(1/4)= 1/4
برای بسط فرد داریم:

انتگرال فوریه:
در بخش های قبل ملاحظه شد که یک نوسان پریودیک را می توان به مجموع نوسانهای هارمونیک با فرکانس ۲x/T یا nw تفکیک نمود و برای هر مقدار n دامنه های an و bn را توسط روابط اوید محاسبه کرد.
از آنجا که بسیاری از مسائل عملی شامل توابع نا دوره ای هستند، این پرسپ پیش می آید که چه کاری می توان کرد تا روش سری های فوریه به این گونه توابع تعمیم یابد؟
اکنون تابع f(x) با دوره تناوب ۲f را در نظر بگیرید. بررسی می کنیم که اگر L بدست  سیل کند برای سری فوریه چه پیش می آید.
به عنوان مثال فرض کنید تابع fL(x) با دوره تناوب ۲L>2 به صورت زیر مشخص شود.

چون تابع fL(x) یک تابع زوج است. پس به ازای هر n داریم bn=0 و برایan ها از فرمول اویر داریم:

این دنباله ضرائب فوریه را طیف دامنه fL می نامند. زیرا:
an max (anCosnaL)

 

همان طور که ملاحظه می شود با افزایش L دامنه ها روی محور wn به سمت محور قائم منقبض می شوند. درصو وقتی wn به سمت صفر می رود، این طیف پیوسته به منحنی پیوسته ای مبدل خواهد شد an(wn) به A(w) و سری فوریه به انتگرال فوریه تبدیل می شود. اکنون به استخراج انتگرال فوریه می پردازیم:
تابع fL(x) با دوره تناوب ۲L را در نظر بگیرید که سری فوریه آن به شکل زیر است.

خواهیم دید که اگر  f آنگاه با یک انتگرال فوریه به جای سری فوریه خواهیم داشت که شامل coswn و sinwn باشد و w در آن دیگر محدود به نصارب /L نباشد، بلکه تمام مقدار را اختیار می کند.
اگر در بسط فوریه تابع fL(x) مقادیر an و bn را از فرمولهای اویر جایگزین نمائیم:

این رابطه به ازای هر مقدار شخص L هر قدر بزرگ ولی متناهی برقرار است. حال اگر L بدست میل کند در این صورت: ۰ L/1 و مقدار جمله اول برابر صفر خواهد شد و نیز w=/L نیز به سمت صفر خواهد کرد و بنابراین سری نامتناهی فوق به صورت انتگرالی از صفر تا  در می آید که f(n) را نمایش می دهد.

جایگزین می کنیم:

و بنابراین خواهیم داشت:

این نمایش f(n) به صورت انتگرال فوریه
همان طور که در مورد سری فوریه بیان شد، انتگرال فوریه نیز برای توابع زوج و فرد ساده تر می شود. در واقع اگر f(x) تابعی زوج باشد آنگاه
B(w)=0

و اگر f(x) تابعی فرد باشد:
A(w)=0

اگر از سری فوریه نمایی استفاده کنیم می توان نوشت:

حال اگر T به سمت بی نهایت میل کند  T:
تبدیل معکوس فوریه
تبدیل فوریه

رابطه  که تبدیل فوریه را بیان می کند شبیه تبدیل لاپلاس و در واقع حالت ویژه آن است.
مفهوم فرکانس منفی در کلیه روابط فوق به اندازه مفهوم زبان منفی غیر واقعی و مجازی است.و نیز شرط وجود انتگرالهای تبدیلات با توجه به اینکه در تمام انتگرالها اندازه بخش هارمونیک حداکثر یک است، آن است که داشته باشیم:

مثال: برای تابع غیر پریودیک داده شده انتگرال فوریه cos را محاسبه کنید:

و بنابراین

برخی از کاربردهای سری فوریه:
یک سیستم ساده مکانیکی شامل تر متصل به جرمی را در نظر بگیرید. هرگاه نیروی f(t) به این سیستم اعمال شود، معدلات حرکت آن را در وضعیتی که به اندازه x جا به جا می شود و دارای کتاب x می باشد به صورت زیر می توان نوشت:

هرگاه f(t) یک تحریک هارمونیک باشد، پاسخ دائمی x این معادله هارمونیک ارتعاش هارمونیک است زیرا اگر داشته باشیم
f(t)=f0Sinwt
با جایگزین کردن حدس جواب به صورت x=Xsinwt با توجه به اینکه در این حالت xn=-xwzSinwt با جایگزاری در معادله Sinwt از طرفین و رابطه دامنه با سایر پارامترها مطابق زیر بدست می آید.
KXSinwt-mwzSinwt=f0Sinwt
X=F0/k-mwz

و بنابراین پاسخ مستقیم به صورت
x(t)=F0/k-mwz Sinwt
به دلیل خطی بودن این معادله، پاسخ سیستم به چند تحریک مختلف، حاصل جمع پاسخ آن به هریک از تحریک ها می باشد
مثلا اگر سیستم توسط دو نیرو با فرکانس های ۱w و ۴w تحریک شود، پاسخ آن به صورت زیر می باشد:

بدین ترتیب پاسخ دائمی یک سیستم به تحریک متناوب که با توجه به سری فوریه به صورت مجموعی از توابع هارمونیک قابل توصیف است عبارت است از:

که در این رابطه k سختی فنر، m جرم و w0 فرکانس مبنا w0=2/T می باشد.
مثال: پاسخ سیستم جرم و فنر به نیروی شخص شده را بیابید:

ابتدا ضابطه موج تحریک متناوب داده شده را بر حسب سری فوریه را بدست می آوریم:

بنابراین خواهیم داشت:

اکنون با توجه به مقادیر سختی فنر و جرم جسم و با توجه به ضرائبa0 و an پاسخ سیستم را به دست می آوریم

مثال: در سیستم مثال قبل اگر تحریک داده شده و مدت یک ثانیه خاتمه باید و غیر تناوبی می باشد پاسخ سیستم را بیابید:

با توجه به معادله حرکت سیستم و مقادیر m و k خواهیم داشت:

با توجه به ضابطه f(t) ، جزء نیرو را می توان به این صورت نوشت:

اگر Sx پاسخ سیستم به این جزء نیرو باشد:

با حل این معادله دیفرانسیل خواهیم داشت:

تمرین: ۱- پاسخ واقعی سیستم جرم و فنر داده شده به تحریک شکل زیر را بیایید:

۲- پاسخ دائمی سیستم جرم و فنر داده شده به تحریک غیر تناوب شکل زیر را بیابید:

معاملات دیفرانسیل با مشتق جزئی:
معاملات دیفرانسیل با مشتق جزئی موسوم به PDE می باشند در شرایطی که کمیتی تابع بیش از یک متغیر باشد پدید می آید.
در ابتدا چند مفهوم اساسی:
الف) اگر کمیتی به بیش از یک متغیر وابسته باشد آنگاه مشتق آن را نسبت به یکی از متغیرها را مشتق جزئی می گوئیم:
برابر تابع u=fx,y مشتق جزئی نیست به x به صورت زیر است:

ب) اپراتوری که با علامت نمایش داده می شود

به صورت زیر تعریف می شود:

و بر این اساس گرادیان f نامیده می شود.
ج) لاپراسین f که به صورت z نمایش داده می شود:

و) اگر متغیر وابسته و مشتقات آن به صورت ساده (بدون تون) در معادله دیفرانسیل ظاهر شوند معادله دیفرانسیل را خطی گوئیم.
هـ) یک معادله دیفرانسیل همگن است اگر در جملات آن فقط متغیر وابسته و مشتقات آن ظاهر شده باشند
غیر خطی uxn + 2uxut + utut  ۰
غیر همگن uxx + ut + 1  ۰
و) پاسخ یک معادله دیفرانسیل: حل یک معادله دیفرانسیل جزئی در یک ناحیه R از فضای متغیرهای مستقل تابعی است که در معادله دیفرانسیل صدق می کند.
ز) حل کامل یک معادله دیفرانسیل: ترکیبی از پاسخهای آن معادله است که علاوه بر صدق کردن در معادله با شرایط اولیه و فردی مسئله تطبیق کند.
برخی از معادلات دیفرانسیل مهم:
۱) utt=Czuxx معادله موج یک بعدی
۲) ut-czuxx معادله انتقال حرارت یک بعدی
۳) zu=0 معادله لاپلاس
۴) zu=f(x,y) معادله پوامسون
معادله (۴) ناهمگن و بقیه همگن هستند
ارتعاش آزاد تار:
هدف: بدست آوردن ماعلده حاکم بر ارتعاش های عرضی کوچک یک تار کشان نظر یک تار ویولن
تار را در راستای محور x تا طول L را می کشیم و در نقاط x=0 و x=L ثابت می کنیم.
آنگاه تار را در حالت تعادل خارج کرده و در لحظه t=0 رها می کنیم. هدف تعین ارتعاش تار یعنی تعیین انحراف y(x,t) در هر نقطه x و در هر زمان t

عامل برگرداننده تار به کدام پدیده بیشتر بستگی دارد؟
الف) نیروی کشش اولیه سیم
ب) نیرویی که در اثر افزایش طول تار پدید آمده
معمولا نیروی کشش به اندازه ای زیاد است که می توان از نیروی حاصل از افزایش طول تار صرف نظر کرد.

فرضیات:
۱- جرم واحد طول ثابت است و در مقابل خمش مقاومتی ندارد
۲- تار حرکات عرضی کوچکی در صفحه قائم دارد یعنی هر ذره از تار در جهت قائم حرکت می کنند.
بنابراین قدر مطلق انحراف و شبیه تار در هر نقطه همواره ثابت است.

مطابق شکل نیروهای وارد بر قسمت کوچک تار x را در نظر بگیریم.
نکته: چون تار در مقابل خمش مقاومتی ندارد، نیروی کشش در هر نقطه مماس برخم تار است ۱T و ۴T نیروهای کشش موثر بر نقاط انتهایی سمت مورد نظر یعنی P و Q هستند نقاط تار در جهت قائم حرکت می کنند و در جهت افقی حرکت ندارند. بنابراین مولفه های افقی نیروی کشش ثابت است
‍cte= T= Cos ۴T= Cos۱T

در امتداد قائم دو نیرو داریم:
Sin۱T- و Sin B4T
= جرم واحد طول تار

x= x = جرم تست مورد نظر.
براساس قانون دوم نیوتون شتاب قسمت مورد نظر=

داریم

tan و tan شیب ها تار در x و x+x هستند:

حال اگر در () جایگزین کنیم:

اگر x به سمت صفر برود:

T/M دارای دیمانسیون مجذور سرعت ((LT-1)2) است.
یعنی تاری که در دو انتها بسته شده است:
y(0,t) , y(L,t)=0
اگر تار در ابتدا (t=0) با ضابطه f(x) و سرعت آن با ضابطه g(x) معرفی شود:
y(x,0) = f(x)
y(x,0)=g(x)
روش حل دالابر برای معادله موج:
معادله موج
(x+ct) یک جواب معادله است زیرا:
F=x+ct

به همان ترتیب (x-ct) نیز جواب معادله است. با توجه به خطی بودن معادله دیفرانسیل ترکیب این جوابها نیز جواب معادله خواهد بود.
u(x,t)= (x+ct)+ (x-ct)= (z) + (v)
اعمال شرایط مرزی:
در صورتی که تار در ابتدا دارای شکلی به ضابطه u(x,0)=f(x) و دارای سرعت صفر باشد توابع  و  را بدست می آوریم.
u(x,0) =  (x,0) +  (x,0) = f(x)
ut=(x,0)=c (x,0) –c (x,0)= g(x)=0
حاصل انتگرال گری از معادله دوم عدد ثابتی خواهد شد، آنرا S می نامیم.
F(x)=u(m)+ (x)

 

 (x) –  (x)= s/c
از این دستگاه:
 (x)= ½[f(x) + s/c]
= ¼ [f(x)- s/c]
براساس این جایگذاری خواهیم داشت:
u(x,t)= ¼ [f(x+ct)+ f(x-ct)]
تعبیر و ارزش پارامتر cz در معادله موج:
اگر f(x) شکل اولیه تار را نشان دهد مفهوم (x-ct) آنست که موج با این شکل و سرعت c به سمت راست جا به جا می شود و شکل تار را تغییر دهد:

به این ترتیب توابع (x+ct)و (x-ct) شکل موجهایی را که به طرف چپ و راست در حال حرکت اند را نشان می دهد و c در واقع سرعت انتشار این امواج است.
مثال: برای تاری به طول بی نهایت که از موقعیت اولیه = xz +1/ 1 رها شده است هرگاه سرعت انتشار موج به طول تار V باشد، شکل تار را در هر لحظه t بیابید:
u(x,t)=1/2[f(x+vt)+f(x-vt)]

تمرین: به یک تار یکنواخت که بین - تا  + کشیده شده است تغییر شکل اولیه زیر اعمال شده است

سپس تار رها شده است. مطلوب است معادله حرکت تار و سرعت عرضی تار در مبدا.
روش تفکیک متغیرها در حل معادله موج:

با توجه به اینکه دیمانسیون سرعت و سرعت انتشار موج است با v نمایش می دهیم
برای حل این معادله فرض می کنیم که داشته باشیم:
y(x,t)=X(x). T(t)
این فرض را در معادله جایگزین می کنیم:
هرگاه پس از جایگذاری معادله دیفرانسیل را بتوان به دو معادله مجزا تفکیک

کرد، این فرض معتبر است. مثلا برای تجزیه معادل موج می توان نوشت:

اگر این معادلات را در معادله موج قرار دهیم،

به عبارت دیگر:

که این تساوی ممکن نخواهد شد مگر آنکه نسبت های فوق برابر مقدار ثابتی نشود که آن را با (nz-) نمایش می دهیم.
بنابراین

اگر شرایط مرزی را با این مدل تطبیق دهیم:
y(0,t)= x(0).T(t)=0

y(L,t)= x(L) T(t)=0
در این صورت x(0)=0 و x (L)= 0 زیرا اگر T(t) صفر باشد کل حرکت صفر می شود.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 11700 تومان در 52 صفحه
117,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد