تحقیق در مورد سیری در ریاضیات

word قابل ویرایش
15 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

سیری در ریاضیات

ریاضیدانها چگونه زبان یکدیگر را میفهمند؟
اگر به سرزمین جدیدی سفر کنید که زبان مردم آنجا را ندانید و نیز ندانید که در آنجا چه می گذرد، سفر برایتان لذتی ندارد. در قلمرو ریاضیات نیز چنین است. کسی که زبان ریاضی را نداند نمی تواند این علم را درک کند. ارتباط و تبادل نظر ریاضی روزگاری در بین ریاضی دانان مشکل بود، اما آنها با اختراع زبان ریاضی که شامل علائم نوشتاری ویژه ای است، این مشکل را از میان برداشتند.

 

هندسه فضایی چیست؟
هنگامی که یک سطحهندسی دارای ضخامت شود، از قلمرو هندسه مسطح خارج می شود و وارد هندسه فضایی می گردد. در این شاخه از ریاضیات با چهار شکل اصلی روبرو هستیم.: کره، مخروط، استوانه و چندوجهی. چندوجهی ها حجم هایی هستند که طول، عرض وارتفاع دارند که هر وجه(سطح) آنها یک چندضلعی است. فقط پنج نوع چندوجهی منتظم داریم که عبارتند از:

الف ـ هرم یا چهار وجهی منتظم که هر یک از چهار وجه ان یک مثلث متساوی الاضلاع است.
ب ـ مکعب یا شش وجهی منتظم که هر یک از شش وجه ان یک مربع است.
پ ـ هشت وجهی منتظم که هر یک از هشت وجه آن یک مثلث متساوی الاضلاع است.
ت ـ دوازده وجهی منتظم که هر یک از دوازده وجه آن یک پنج ضلعی است.

ث ـ بیست وجهی منتظم که هر یک از بیست وجه ان یک مثلث متساوی الاضلاع است.

نشانه ها، علامتها و تعریفهای ریاضی
+ به علاوه (به اضافه)، علامت جمع کردن است، مانند: ۴ + ۳
– منها، علامت تفریق کردن است، مانند: ۲ – ۴
* ضرب، علامت ضرب کردن است، مانند: ۲ * ۴
÷ بخش، علامت تقسیم کردن است، مانند: ۲ ÷ ۸
= مساوی، علامت مساوی بودن است، مانند: ۴ – ۹ = ۲ + ۳
نامساوی، علامت نامساوی بودن است، مانند: ۲ – ۴ ۴ + ۳

بزرگتر از، علامت بزرگتر بودن است، مانند: ۴ ۸ که می خوانند هشت بزرگتر است از چهار.
کوچکتر از، علامت کوچکتر بودن است، مانند: ۸ ۴ یعنی چهار کوچکتر است از هشت.

بی نهایت، علامت بی نهایت است. بی نهایت یعنی عددی که بزرگتر است از هر عددی که فکر کنیم یا بگوییم یا بنویسیم.
پی، علامتی است که برای محاسبه محیط و مساحت دایره به کار می رود. مقدار آن برابر ۱۴۱۵۹/۳ است.
درجه، علامت درجه است. درجه، واحد اندازه گیری زاویه است. یک دایره است.

‘ دقیقه، علامت دقیقه است. دقیقه برای نشان دادن بخشهایی از یک درجه بکار می رود. هر درجه مساوی ۶۰ دقیقه است.
“ ثانیه، علامت ثانیه است. ثانیه برای نشان دادن بخشهایی از یک دقیقه بکار می رود. هر ۶۰ ثانیه ۱ دقیقه است.
عمود، علامت عمود است. عمود خطی است که با خط دیگری زاویه قائمه بسازد.

|| موازی، علامت دو خط راست است که یا یکدیگر موازی هستند. دو خط راست وقتی موازی هستند که امتداد آنها همدیگر را قطع نکند.

انسان اولیه چگونه می شمرد؟
در آغاز، انسان اولیه برای نشان دادن عدد موردنظر خود زا زبان اشاره استفاده می کرد. شاید به ببری که کشته بود یا به سرنیزه همسایه اش اشاره می کرد. یا شاید از انگشتانش برای نشان دادن عدد استفاده می کرد. سه انگشت دست معنی «سه» می داد، خواه سه نیزه یا سه ببر دندان دشنه ای، یا سه غار یا سه سرنیزه.

می دانیم که در زندگی روزمره «عدد» کلمه یا نشانه ای است که بر مقدار و تعداد معینی دلالت می کند. اما لازم نیست آنچه را که ما درباره اش گفتگو می کنیم، مشخص کند. مثلاً «سه» یا «۳» می تواند به معنی سه هواپیما، سه قلم یا سه کتاب باشد.

در ابتدا، انسان اولیه می توانست تا دو بشمارد. امروزه هنوز در جهان، قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا ـ ابورجین ها ـ وجود دارند که فقط سه عدد می شناسند: یک، دو و بسیار. اگر یک نفر از این قبیله سه عدد بومرانگ یا بیشتر داشته باشد، برای شمارش آن فقط عدد بسیار را به کار می برد. البته بیشتر انسانهای اولیه تا ده، یعنی مجموع تعداد انگشتان دستان می شمردند. بعضی فقط تا ۲۰ یعنی مجموع تعداد انگشتان دست و پایشان می شمردند.
هنگامیکه با انگشتان دست شماره می کنید، تفاوتی نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شست شروع کنید. اما بین برخی از اقوام برای این کار قاعده هایی وجود داشت. مثلاً «زونی» ها (قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی) شمردن را از انگشت کوچک دست چپ شروع می کردند. یا سرخپوستان اتوماک امریکای جنوبی شمردن را از انگشت شست آغاز می کردند.

آدمی چون متمدن تر شد، از ترکه چوب، ریگ و گوش ماهی برای نمایش اعداد استفاده می کرد. آنها سه ترکه یا سه ریگ را در کنار هم ردیف می کردند که معنی «سه» را برساند. عده ای با ایجاد شیار بر روی چوب یا گره هایی که به یک طناب می زدند منظورشان را از عددی که می خواستند بیان کنند می رسانیدند. به این ترتیب همیشه چوبخط یا طناب حساب را با خودشان همراه داشتند یا آن را در جایی حفظ می کردند.

 

صفر را چه کسی اختراع کرد؟
دستگاه عددنویسی بابلیها یک نقص کلی داشت. در این دستگاه علامتی برای صفر وجود نداشت. ابتدا این مشکل را با گذاشتن یک فاصله برطرف می کردند.

بابلیان در ۲۰۰۰ سال پیش از میلاد، یک علامت «جدا کننده» برای نبودن یک رقم بکار می بردند. آنها به کمک این علامت می توانستند عدد = ۶۱ را از عدد = ۲ مشخص کنند. الواحی از ۵۰۰ تا ۲۰۰ سال پیش از میلاد در دست است که بر روی آنها علامتی برای نشان دادن فقدان یک رقم، یعنیصفر به کار رفته است. در جدولهای ضرب بابلی که شامل همه ارقام تا ۶۰ * ۶۰ است، علامت به جای صفر به کار رفته است. از آنجا که بابلیان با هندیان داد و ستد داشتند، گمان می رود که مفهوم صفر را از آنان گرفته باشند، ولی به هرحال این مسلمانان بودند که در قرن نهم یا دهم میلادی مفهوم صفر را وارد اروپا کردند.

تقریباً در ۸۰۰ کیلومتری شمال شرقی مصر و ۸۰۰ کیلومتری شمال غربی بین النهرین، سواحل سوریه در اطراف دریای مدیترانه قرار دارد. در آنجا، در ۳۵۰۰ سال قبل، در سرزمین باستانی فنیقیه، اقوامی دریانورد زندگی می کردند. دریانوردان فنیقی از بندرهای تیروس و صیدون، مدیترانه را در می نوردیدند. در حدود ۳۰۰۰ سال پیش، کشتیهای آنان از منتها الیه غربی مدیترانه گذشتند. بی شک آنها از تنگه جبل الطارق گذشتند و در سمت شمال تا سواحل انگلستان و در سمت

جنوب تا سواحل غربی آفریقا پیش رفتند. با آنکه کشتی های کوچک آنها محکم بود، آنان همواره نزدیک به ساحل کشتیرانی می کردند تا از سرزمینها و نشانه های آشنا دور نباشند. اما با گذشت زمان، دل به خطر سپردند و به خود جرئت دادند تا دور از ساحل نیز دریانوردی کنند. آنها به میان دریاهای باز راندند. البته این در هنگامی بود که از ریاضیات دریانوردی به اندازه کافی اطلاع داشتند.

چگونه برای نخستین بار محیط کره زمین را اندازه گرفتند؟

اراتوستن ریاضیدان یونانی، در حدود ۲۲۵ سال قبل از میلاد می زیست. او کتابدار کتابخانه بزرگ اسکندریه در مصر و نخستین کسی است که زمین را اندازه گرفته است. اراتوستن ریاضیات را در مورد دو تا از مشاهدات خود به کار بست: او در کتابها خوانده بود که نزدیک اولین آبشار نیل در شهر سین یا آسوان امروزی در جنوب مصر، در روز معینی از سال در هنگام ظهر، امکان داشت تابش نور خورشید را در یک چاه عمیق به خوبی مشاهده کرد، زیرا خورشید مستقیماً از بالای سر می تابید و هیچ نوع سایه ای ایجاد نمی کرد. اما در همان موقع و همان روز در اسکندریه که در ۸۰۰ کیلومتری شمال آسوان قرار داشت، اشیای قائم حتی

در هنگام ظهر سایه ای داشتند. پس خورشید قائم نمی تابید. به این ترتیب اراتوستن می توانست دو نکته را مورد توجه قرار دهد، یکی اینکه زمین کروی است و دیگر اینکه شعاعهای خورشید موازیند. او در شهر اسکندریه ستونی قائم در زمین برپا داشت و در لحظه ای که خورشید در شهر سین به طور قائم به ته چاه می تابید، زاویه سایه این ستون را حساب کرد. اراتوستن می دانست که زاویه اندازه گیری شده، برابر زاویه ای است که میان سین و اسکندریه نسبت به مرکز زمین وجود دارد.

اندازه این زاویه درجه بود. فاصله بین اسوان و اسکندریه هم ۸۰۰ کیلومتر بود. اراتوستن توانست با دو برهان هندسی که دانشمندان قدیمی تر یونانی پرورانده بودند، محیط زمین را محاسبه کند. نخست آنکه معلوم شده بود که زوایای متقابل به رأس، با هم مساویند. دوم آنکه ثابت شده بود که از تلاقی یک خط مستقیم با دو خط موازی، زوایای مساوی به وجود می آید. به علاوه اراتوستن می دانست که هر دایره درجه است. همچنین وی از روی اندازه گیریهایش می دانست که درجه برابر با ۸۰۰ کیلومتر از سطح زمین (فاصله اسوان تا اسکندریه) است.

از آنجا که ۴۸ بار درجه برابر (یعنی یک دایره کامل) است، وی ۸۰۰ کیلومتر را در ۴۸ ضرب کرد و به این ترتیب محیط زمین را در ۳۸۴۰۰ کیلومتر محاسبه کرد. با وسایل دقیق امروزی، دانشمندان محیط دایره استوایی زمین را ۵/۴۰۰۷۶ کیلومتر می دانند.

نمودار وِن چیست؟
نمایش هندسی یا نمایش مجموعه را نمودار وِن می نامند. این روش اولین بار به وسیله «وِن» ریاضیدان معروف انگلیسی به کار برده شد. ون در حالت کلی مجموعه را با قسمتی از نقاط صفحه محدود به یک دایره، یک مستطیل یا هر منحنی بسته دیگری نمایش داد و هر نقطه داخل شکل را یک عضو مجموعه فرض کرد. می توان تصاویر اجسام را با علائم قراردادی مشخص کردو
(ما = ماشین، ک = کتاب، ج = جعبه آبرنگ، کش = کشتی،
تو = توپ، جر = جرثقیل، ب = بیلچه، س = سطل،
ر = راکت)
در این تصویر مجموعه احمد به شکل زیر است:

مجموعه اسباب بازیهای هوای بد را با با حرف A و مجموعه اسباب بازیهای هوای خوب را با حرف B مشخص می کنیم. مجموعه همه اسباب بازیهایی را که احمد دارد با حرف M‌نشان می دهیم. M را مجموعه مرجع می نامند.

شمارش مولکولهای شیمیایی
کاربرد علم گراف در اکثر رشته های مختلف شناخته شده است. این بار از گراف در شیمی صحبت می کنیم. لازم است خواننده ابتدا تعریف رأس و درخت را در گرافها بداند.
یک نمونه قدیمی از کاربرد درختها در مسائل مربوط به شمارش مولکولهای شیمیایی است. یک هیدروکربن (یعنی، مولکولی که فقط دارای اتمهای کربن و ئیدروژن است) را می توان به صورت یک گراف نشان داد که در آن اتم کربن به صورت یک رأس درجه ۴ و هر اتم هیدروژن یک رأس درجه یک است. گرافهای بوتان و ایزوبوتان در شکل زیر آمده است:

با وجود اینکه فرمول شیمیایی هردو است. چون در این مولکولها ترتیب اتمها متفاوت است، لذا این دو مولکول متفاوتند. این دو مولکول بخشی از دسته عمومی مولکولهای موسوم به آلکانها یا پارافینها، با فرمول هستند. به طور طبیعی این پرسش مطرح می شود که این فرمول چند مولکول دارد.

گراف هر مولکولی با فرمول یک درخت است. زیرا این گراف همبند است و تعداد رأس و یال آن به ترتیب و می باشد. همچنین هرگاه ترتیب اتمهای کربن شناخته شود، مولکول کاملاً مشخص می شود. زیرا در این صورت اتمهای هیدروژن بگونه ای اضافه می شوند که درجه رئوس اتمهای کرن را به ۴ برسانند. بنابراین می توان اتمهای هیدروژن (شکل پایین) را نادیده گرف، و مسئله به تعداد تعیین درختهای n رأسی تبدیل می شود که درجه هر یک ۴ است.

 

لیکی در سال ۱۸۷۵ این مسإله را با شمارش طریقه هایی که می شود درختها را از رئوس مرکزی آنها بنا کرد، حل کرد. تشریح این استدلال پیچیده تر از آن است که اینجا بحث شود.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 15 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد