مقاله در مورد مبحث تابع

word قابل ویرایش
26 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

مبحث تابع

تعریف زوج مرتب:
هر دسته متشکل از دو عنصر با ترتیب معین را یک زوج مرتب گویند. مانند زوچ مرتب (x,y) که x را مؤلفه اول مختص اول یا متغیر آزاد گویند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغیر وابسته( تابع) یا تصویر گویند و نمایش هندسی آن نقطه‌ای در صفحه مختصات قائم است که طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.

تساوی بین دو زوج مرتب:
دو زوج مرتب با یکدیگر مساوی‌اند اگر دو نقطه اگر مؤلفه‌های نظیر‌به‌نظیر آنها با هم برابر باشند یعنی:

مثال: از تساوی زیر مقادیر x,y را بیابید:

تعریف حاصل‌ضرب دکارتی دو مجموعه :
حاصلضرب دکارتی در مجموعه B,A که با نماد نشان داده می‌شود عبارت است از مجموعه تمام زوج‌ مرتبه‌هائی که مؤلفه اول آنها از A و مؤلفه دوم آنها از B باشد یعنی:

مثال: حاصلضرب دکارتی درهر یک از مثالهای زیر را بصورت مجموعه‌ای از زوجهای مرتب بنویسید و نمودار آن را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم نمائید:

نمودار حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های داده شده زیر را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم کنید.

ویژگی‌های حاصلضرب دکارتی مجموعه‌ها :

 

فضای دوبعدی ( صفحه) ۳) , ,
۴) , ,
۵) مثال:
تضاد زوجهای مرتب:
تعریف ریاضی رابطه:
اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی را یک رابطه از A در B گویند اگر f یک زیرمجموعه از باشد گویند. F یک رابطه از A در B است به عبارت دیگر رابطه Fمجموعه تمام زوج مرتب‌های است که مؤلفه‌های اول و دوم آن با شرایطی خاص( قانون یا ضابطه خاص) به یکدیگر مربوط می‌شوند. به بیان دیگر رابطه f زیرمجموعه‌ای از است که با ضابطه یا قانون خود مختص اول زوجهای مرتب را به مختص دوم آنها پیوند می‌دهد مانند رابطه پدر و فرزندی رابطه مالک و مستأجری رابطه عبد و مولا رابطه اعداد با مجذور آنها.
مفهوم تابع: تابع بیانگر چگونگی ارتباط مقدار یک کمیت(متغیر وابسته y= ) به مقدار یک کمیت دیگر( متغیر مستقل x= ) است مفهومی که خواص آن، انواع آن، نمودار‌ آن حد و پیوستگی آن؛ مشتق و انتگرالگیری از آن و… نه تنها در ریاضیات بلکه درهمه علوم و فنون نقش مهمی ایفا می‌کند و در زندگی خود نیز به نمونه‌هایی برمی‌خوریم که مقدار یک کمیتی( کمیت تابع) به مقدار کمیت دیگری( کمیت آزاد) وابسته است؛
مثال: متغیرهای وابسته (y) و متغیرهای مستقل(x) را در مثالهای زیر مشخص کنید:
۱) افزایش طول یک فنر به وزنه‌ای که به آن آویزان می‌شود بستگی دارد.
جواب: « افزایش طول فنر» = متغیر وابسته(y ) و « مقدار وزنه» = متغیر آزاد (x)
2) »هر که بامش بیش، برفش بیشتر»
جواب:« مقدار برف انباشته‌شده روی پشت‌بام» = متغیر وابسته(y ) و« مساحت پشت‌بام»= متغیر آزاد
۳) مقدار مکعب هر عددی به آن عدد وابسته است.
جواب: مکعب عدد«= متغیر وابسته(y ) و « خود عدد»= متغیر مستقل(x )
تذکر: با توجه به اینکه هر تابع یک رابطه است( عکس این مطلب درست نیست یعنی هر رابط ممکن است تابع نباشد.

تعریف تابع:
اگر رابطهf بصورت مجموعه زوجهای مرتب باشد آنگاه رابطهf را تابع گویندهرگاه هیچ دوزوج مرتب متمایزی در f دارای مؤلفه‌های اول یکسان نباشند یعنی:

یا

مثال: اگر و باشد کدامیک از رابطه‌های زیر یک تابع از A در B است.

( تابع ثابت)
* دوزوج متمایز نیستند.

زیرا

مثال: اگر روابط زیر تابع باشند مقادیر متغیر x را بیابید:

تذکر:
* اگر رابطه f بصورت نمودار پیکانی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه به هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط یک مقدار y متعلق به برد f را نسبت داد به عبارت دیگر از هر عضو دامنه فقط‌وفقط یک پیکان به عضو متناظرش در برد خارج شود.
تذکر:
• اگر رابطه f بصورت نمودار مختصاتی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه هیچ دونقطه‌ای f روی یک خط موازی با محور y واقع نشوند به عبارت دیگر هر خط موازی محور yها نمودار f را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
• مثال کدامیک از نمودارهای زیر تابع‌اند.

تذکر:
• اگر رابطه f با ضابطه یا قانونی کلی مشخص شده‌باشد آنگاه تابع f ضابطه یا قانونی است که به هر x از دامنه (Df)f عضو،منحصر بفرد (y)f(x) از مجموعه بردf را نسبت دهد یعنی هرگاه ضابطه رابطه f داده شد‌ه‌باشد برای تشخیص تابع‌بودن آن( نشان‌دادن تابع‌بودن ان نه اثبات تابع‌بودن)( از روی ضابطه مفروض y را برحسب x می‌یابیم آنگاه اگر برای هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط یک جواب برای y حاصل شود f تابع است در غیراینصورت f تابع نیست.
مثال: آیا روابط زیر تابع‌اند بررسی کنید:

f تابع نیست

لذا f تابع است.

f تابع است
چند نکته:
۱) جهت تصور می‌توان هر تابع را بمنزله ماشینی گرفت که برای هرx ورودی مجاز یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند پس f خود ماشین و خروجی آن بازاء ورودی x است لذا بین ماشین (f) و تولیدی آن(f(0)) لازم است تفاوت قائل شویم یعنی f: خود تابع و f(x) ضابطه یا قانون کلی تابع یا مقدار تابع بازاء x است.
۲) برای مشخص‌کردن یک تابع از« مجموعه زوجهای مرتب نمودار پیکانی، نمودار مختصاتی و علائم ریاضی استفاده می‌کنند. برای مشخص‌کردن یک تابع با علائم ریاضی باید سه‌تائی زیر معین گردد:
الف) مجموعه‌ای مانند A به نام مجموعه آغاز یا حوزه تعریف تابع که دامنه تابع زیرمجموعه آن است
ب) مجموعه‌ای مانند B به نام مجموعه انجام هم دامنه یا حوزه مقادیر تابع که برد تابع زیر مجموعه آن است:
ج) ضابطه قانون یا معادله تابع که چگونگی ارتباط اعضاء دامنه و برد تابع را مشخص می‌کند قانونی که به هر عضو از A حداکثر یک عضو از B را نسبت می‌دهد.
مثال: ۱- تابعی مانند f چنان مشخص کنید که هر عدد طبیعی را به مجذور آن نسبت دهد.

مثال:۲- مثلث متساوی‌الساقینی به ساق و ارتفاع ۴ مفروض است تابعی بنویسید که مساحت این مثلث را به وابسته کند،.

و
نکته: ۳- تابع حقیقی: تابع f از A به B را یک تابع حقیقی گوئیم هرگاه B,A زیر مجموعه‌هایی از R ( مجموعه اعداد حقیقی) باشند و ما از این پس با مربع حقیقی سروکار داریم و هرگاه تابع حقیقی f از R به R باشد آنها به مشخص‌کردن قانون تابع قناعت می‌کنیم لذا هرگاه دامنه تابعی حقیقی مشخص نشده‌باشد دامنه آن مجموعه‌ای از اعداد حقیقی است که بازاء هر عضو آن قانون تابع تعریف شده‌باشد.
۴) اگر برای عضو X ا زمجموعه A عضو متناظری در مجموعه B وجود نداشته‌باشد در این صورت گرفته می‌شود که تابعf در x تعریف نشده‌است یا تابع f د رx نامعین است.

تعریف‌نشده
۵) برای اثبات اینکه آیا ضابطه یک رابطه می‌تواند ضابطه یک تابع باشد از تعریف تابع استفاده می‌کنند و درستی استلزام زیر را درباره آن ضابطه ثابت می‌کنند.

یا
مثال: تابع‌بودن یا نبودن ضابطه‌های زیر را ثبات نمائید:

و
لذا f تابع نیست.

و
اما f تابع نیست.

و

لذا f تابع است.
۶) هرگاه دامنه یک تابع را به چند مجموعه جدا از هم تقسیم کنیم بطوریکه اجتماع آن مجموعه‌ها برابر با دامنه تابع باشد و روی هر مجموعه ضابطه‌ای مجزا تعریف کنیم در این صورت یک تابع با چند ضابطه بدست می‌آید که به آن تابه« چندضابطه‌ای» می‌گویند: یعنی:
۷) اگر قانون یک رابطه چندضابطه‌ای باشد آنگاه به شرطی تابع است که:
الف) هر ضابطه‌ به تنهایی بتواند قانون یک تابع روی دامنه آن باشد.
ب) اشتراک دامنه‌های دوبه‌دو ضابطه‌ها تهی باشد و یا اگر در نقطه‌ای اشتراک داشتند مقدار تابع در هر دو ضابطه برابر باشد یعنی:
f(x) ضابطه یک تابع است به شرطی که:
الف) روی و روی و … روی ضابطه
ب)
یا
مثال: آیا رابطه زیر تابع است؟ چرا؟

 

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 26 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد