بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، در ابتدا به معرفی دو نوع از میدان هاي الکترومغناطیسی غیرخطی که به نظریه ي بورن- اینفلد و نظریه ي توانی ناورداي ماکسول موسوم هستند، در یک پس زمینه ي مینکوفسکی پرداخته ایم. با توجه به نواقصی که در نظریه ي خطی ماکسول مشاهده شده است، با ارایه ي این نظریات غیرخطی، سعی می کنیم که این نواقص را برطرف نماییم. در انتها با محاسبه ي میدان الکتریکی بار نقطه اي در هر کدام از این نظریه ها، در خواهیم یافت که نظریه ي بورن- اینفلد مشکل بینهایت شدن میدان الکتریکی بار نقطه اي را در محل بار برطرف می کند، در حالیکه در نظریه ي توانی ناورداي ماکسول و با تنظیم پارامتر غیرخطی، مشکل عدم عکس مجذوري بودن میدان الکتریکی بار نقطه اي را در ابعاد بالا حل خواهد کرد.
مقدمه
ایده ي ظهور الکترودینامیک غیرخطی، اولین بار در سال1934 توسط بورن و اینفلد ارایه شد .[1] انگیزه ي آنها از ارایه ي چنین میدانی محاسبه ي مقدار متناهی براي خود- انرژي ذرات باردار نقطه اي گونه بود. بررسی دقیق معادلات غیرخطی مشکلات فراوانی داشت ولی علی رغم مشکلات موجود، بعضی از راه حل هاي خیلی خاص توسط پرایس معرفی شد .[2] در اواخر سال 1938 و بعد از مقاله دیراك [3] در مورد الکترون کلاسیک و تولد الکترودینامیک کوانتومی، نظریه ي بورن-اینفلد به طور کلی براي مدت طولانی به فراموشی سپرده شد.در دو دهه اخیر و به دلیل تحقیقات مرتبط در نظریه ي ریسمان، علاقمندي زیادي در نظریه بورن- اینفلد به وجود آمده است. به نظر می رسد بعضی از موضوعات در این نظریه - مثل لایه هاي -D توسط یک نوع کنش غیرخطی بورن- اینفلد توصیف شود .[4]
علاوه بر آن، در ارتباط با دوگانگی میدان ونظریه ي ریسمان [5] و نیز ناوردایی دوگانگی بورن– اینفلد تحقیقات گسترده اي انجام شده است .[6] - در واقع این ناوردایی قبلا توسطشدهشرودینگر [7] مشاهده بود - .لازم به ذکر است که نظریات غیرخطی را براي توصیف مجموعه اي شامل بارهاي الکتریکی و مغناطیسیمیدان که با الکترومغناطیسی برهم کنش دارند نیز می توان مورد مطالعه قرار F FαβF αβ که داد که در این صورت بر خلاف الکترودینامیک ماکسول، که یک نظریه ي خطی است، به علت ماهیت غیرخطی معادلات میدان، رفتار میدان الکتریکی در حضور و یا عدم حضور میدان مغناطیسی متفاوت است .[8]
واضح است که الکترودینامیک ماکسول وقتی براي ذرات نقطه اي به کار برده می شود سازگاري مناسبی از خود نشان نمی دهد.[9] این عدم سازگاري در میدان الکتریکی و خود- انرژي نامحدود ذرات باردار نقطه اي در محل آن به وضوح دیده می شود. از سوي دیگر در نظریه خطی ماکسول میدان الکتریکی بار نقطه اي تابعی از ابعاد فضا زمان است - E - r - rdc2 rˆ که dبعد فضا زمان است - . هرگاه بخواهیم که میدان الکترومغناطیسی صرف نظر از ابعاد فضا زمان متناسب با عکس مجذور فاصله باشد، E - r - r 2 ، باید این نظریه را به صورت تعمیم یافته و غیرخطی بیان کنیم.
نظریه ي مناسب جهت برطرف کردن این مشکل، نظریه ي توانی ناورداي ماکسول - PMI - نام دارد که در بسیاري از نظریه هاي گرانشی به آن اشاره شده است .[10]در این مقاله جهت برطرف کردن دو ایراد ذکر شده - نامحدود شدن میدان الکتریکی ذرات نقطه اي در محل آنها و عدم عکس مجذوري شدن میدان در ابعاد بالا - ، دو نظریه ي غیرخطی بورن- اینفلد و نظریه ي توانی ناورداي ماکسول را معرفی می کنیم.کنش میدان الکترومغناطیسی در فضا زمان تختبا اندك مطالعه، از منابع ذکر شده در مقدمه، می توان دریافت که کنش میدان الکترومغناطیسی به صورت زیر تعریف می شود:که در این رابطه، g دترمینان متریک و LEM ، لاگرانژین میدان الکترومغناطیسی است که به صورت زیر تعریف می شود:
فیزیک نظری
در این روابط، ناورداي ماکسولF A A تانسور الکترومغناطیسی و A پتانسیل برداري است. همچنین پارامتر بورن- اینفلد با دیمانسیون عکس جرم و S موسوم به پارامتر غیرخطی و یک ثابت دلخواه است که جهت سازگاري با حالت خطی و بدون کاستن از کلیت مساله، 1 انتخاب می کنیم. در این مقاله متریک مورد استفاده، متریک مینکوفسکی در فضاي -d بعدي به شکل زیر است:و لذا دترمینان متریک g 1 است.
نظریه ي غیرخطی بورن- اینفلد
با محاسبات ساده می توان دریافت که معادلات تانسورينظریه ي بورن- اینفلد درفضاي تخت به شکل زیر است:
با اندك محاسبه می توان نشان داد که در حد روابط - 1 - و - 2 - به معادلات خطی ماکسول تقلیل می یابند.در یک فضاي تخت مینکوفسکی چهار بعدي، از معادلات - 1 - و - 2 - ، چهار معادله ي شبه ماکسول که تعمیم غیرخطی ازمعادلات ماکسول هستند، به صورت زیر به دست می آیند: - 3 - که در این معادلات براحتی می توان از رابطه - 3 - جواب میدان الکتریکی براي بار نقطه اي را در غیاب میدان مغناطیسی به صورت زیر ارایه نمود:که در این رابطه b عددي ثابت و متناسب با بار الکتریکی است.همان طور که انتظار داریم، رابطه ي - 8 - در حالت حدي به صورت زیر درمی آید:
که همان میدان الکتریکی بار نقطه اي در معادله ي خطی ماکسول است.با توجه به معادله ي - 8 - می توان دید در حد r 0 میدان الکتریکی بار نقطه اي تکینه نمی شود. بنابراین همان طور که نشاندلاتداده شد، معا غیرخطی بورن- اینفلد بر خلاف معادلات خطی ماکسول در حد r 0 ، معادلاتی سازگارند و اثر بینهایت شدن میدان الکتریکی در محل بار نقطه اي در این نظریه از بین می رود.با روشی مشابه آنچه ارایه شد، می توان ثابت نمود که در -dبعد میدان الکتریکی بار نقطه اي در نظریه ي بورن- اینفلد به صورت زیر ارایه می شود:
نظریه ي توانی ناورداي ماکسول
معادلات تانسوري این نظریه در فضاي تخت به فرم زیر نوشته می شود :در یک پس زمینه ي چهار بعدي مینکوفسکی، از روابط - 11 - و - - 12، چهار معادله ي توانی غیرخطی ماکسول بدست می آید:که در این روابط جهت بدست آوردن میدان الکتریکی یک بار نقطه اي در غیاب میدان مغناطیسی، با استفاده از معادلهي - 13 - داریم: که در این رابطه c عددي ثابت و متناسب با بار الکتریکی استواضح است که رابطه ي - 18 - در حد r 0 داراي مقدارنامتناهی می شود و مشکلی مشابه با نظریه ي ماکسول را داراست ولی اگر این نظریه را در ابعاد بالاتر از چهار تعمیم دهیم، با روشی مشابه می توان دید که میدان الکتریکی بار نقطه اي را در-d بعد به شکل زیر می توان نوشت:
