بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

یک الگوریتم مقدماتی براي محاسبه دترمینان ماتریس هاي پنج قطري تاپلیتز ( ماتریس های نواری یا چندقطری )
چکیده
در جبر خطی عددی مسأله یافتن دترمینان ماتریس ضرایب یک دستگاه خطی ( یا تخمینی از آن ) بسیار مهـم و پـر ارزش اسـت چرا که در تحلیل رفتار سیستم و جواب آن تعیین کننده و روشنگر است. مسائل مهم ریاضـیات و مهندسـی پـس از مـدل سـازی اغلب منجر به دستگاه های خطی و یا غیرخطی می شوند که وجود یا عدم وجود جواب و نیز یافتن راهی برای تخمین جـواب ( در صورت وجود ) وابسته به ارزیابی ماتریس ضرایب است. بهترین شاخص برای این ارزیابی نیز در صورت امکان محاسـبه دترمینـان و معکوس ماتریس ضرایب است.
برخی از این مسائل مهم معادلات دیفرانسیل و انتگرال هستند که در مدل بندی مفاهیم پدیده های مهندسی و فیزیکی و آماری و ... شکل می گیرند. بدین ترتیب می توان ادعا کرد که عمده ترین ابزاری که در این مقاله از جبر خطی عددی لازم است دسـتیابی به الگوریتم هایی حتی الامکان سریع برای تعیین دترمنیان و معکوس ماتریس هاست. بدیهی اسـت مـدل سـازی مسـائل مختلـف منجر به تولید ماتریس های مختلفی از نظر ساختاری می شود و به فراخور عمومیت و کاربرد آنها الگوریتم های محاسبه دترمینان و معکوس انواع خاصی از آنها گسترش بیشتری پیدا کرده است. ماتریس های نواری ( چند قطری ) تاپلیتز از این دسته انـد کـه از عددی سازی معادلات دیفرانسیل مقادیر مرزی حاصل می شوند که حل این معادلات در علـوم ریاضـی و مهندسـی اهمیـت فـوق العاده ای دارد. در این مقاله الگوریتم های عددی مختلفی برای محاسبه دترمینان و معکـوس برخـی از انـواع مـاتریس هـای پـنج قطری ارائه و کارائی آنها از نظر سرعت و دقت رسیدن به جواب مطلوب در ضمن حل مسائل عددی ثابت می شود.
کلمات کلیدی : ماتریس پنج قطری، ماتریس تاپلیتز، دترمینان، معکوس، الگوریتم های عددی

-1 مقدمه
به دلیل کاربردهای وسیعی که ماتریس های پـنج قطـری در زمینه های مختلف پیدا کرده اند مساله ی، یافتن دترمینـان و معکوس این نوع ماتریس ها در سال های اخیر توجه بسـیاری را به خود جلب کرده و پژوهشـگران آنـالیز عـددی درصـدد ارائه ی روش های گوناگون و اثربخش در این جهت برآمده اند.
در این مقاله معکوس ماتریس هـای پـنج قطـری (بـه فـرض موجود بودن) را در نظر می گیریم و سعی داریم تا روش هایی را برای محاسبه ی معکوس یک ماتریس پـنج قطـری چـه از نوع عام و چه از انواع خاص آن (تاپلیتز) معرفی کنیم.
-2 معکوس ماتریسهای نواری
در صورتی که معکوس یک مـاتریس مربعـی موجـود باشـد، روشهــای گونــاگونی بــرای یــافتن آن وجــود دارد، بعنــوان مهم ترین مثال ها می تـوان از روش گـاوس جـردن و تجزیـه مثلثی مانند LUD یا تجزیه چولسـکی نـام بـرد. همچنـین یکی از معروفترین روشها بر افراز بلوکی ماتریسها مبتنـی است. این روش که روش مکمل شور نامیده می شـود، بـرای ماتریس افراز شده ی

ماتریس معکوس را بصورت زیر محاسبه میکند.

ابتدا دو دنباله بازگشتی از اعداد را به ترتیب زیر میسازیم؛ به ازای 1 ≤ r ≤ s , 1 ≤i ≤ r تعریف میکنیم.

که در آن فرض براین است که B, A11 معکوس پذیرند و[6] . B  A22 − A21 − A−111 A12 علاوه بر اینها، برخی روشهای تکراری نیز برای یافتن ماتریس معکوس ارائه شدهاند که همگرایی آنها تابعی از عدد شرطی ماتریس مربوطه است و از این جهت کارایی روشهاکاملاً به ماتریس در دست بررسی و ویژگیهای ساختاری آن بستگی دارد. از آنجا که با اهداف مقاله همسونیست، وارد جزئیات این روشها نخواهیم شد .

با فرض و برای عدد طبیعی ، ماتریس -r باندی br.n به فرم زیر را در نظر میگیریم:

که در آن aij ها اعداد حقیقی دلخواه هستند ( , 1 ≤ j ≤ r ≤ n .( − r ≤ i ≤ r یادآور میشویم که i در نمادگذاری ain به معنی توان iام αn نیست). ابتدا به تجزیه LU و سپس مساله یافتن معکوس این نوع ماتریسها میپردازیم.
روش حاضر بر مبنای زیرماتریسهای هسنبرگی متناظر با Br ,n استوار است. در بخش بعد تجزیه LU یک ماتریس -r باندی ارائه میکنیم. برای یافتن معکوس چنین ماتریسی، به محاسبهی معکوس ماتریسهای مثلثی که از تجربه LU حاصل میشوند، نیاز داریم.
تجزیه ماتریسLU -3 یک -r باندی
این قسمت عمدتاً به تجزیه LU ماتریس Br ,n میپردازیم.
ابتدا دو دنباله بازگشتی از اعداد را به ترتیب زیر میسازیم :
به ازای و تعریف میکنیم

همچنین به ازای 1≤i ≤ r −1 .

با شرایط اولیه ی

که در آن جملات به فرم به ازای همان درایههای Br ,n هستند. برای اینکه دنبالههای فوق خوش تعریف باشند، فرض میکنیم هیچ یک از مخرجهای ksi صفر نباشند (که معادل اینست که ماتریس U و در نتیجه Br ,n معکوس پذیر باشند).
حال ماتریس پائین مثلثی L و بالا مثلثی U را به شکل زیر تعریف میکنیم.


در قضیه زیر ثابت میکنیم که حاصلضرب LU همان تجزیه Br ,n است.
قضیه .[7] 1 به ازای n>1، تجزیه ی LU ماتریس Br ,n با Br ,n  LU داده میشود که در ان U ,L ماتریسهایی هستند که به ترتیب با (4) و (5) تعریف شدهاند.

برهان: نخست حالت را در نظر میگیریم. با توجه به ضرب ماتریسی و تعاریف U , L میتوان نوشت:

با اختیار در (2) داریم:
که نتیجه ی مطلوب را بدست میدهد. اینک حالت را در نظر میگیریم. بنابراین

از تعریف U , L میتوان نوشت:

که با اختیار i 1 در (2) نتیجه میدهد:

که ادعا را برای i  j ثابت میکند.
در ادامه به درایه های بالای قطر اصلی ماتریس Br ,n میپردازیم. حالت را به ازای در نظر میگیریم. بنابراین با توجه به تعریف Bn,r برای 1 ≤ q ≤ r −1 داریم:

دو حالت را در نظر میگیریم. نخست فرض می کنیم 1 ≤i ≤ r −q و لذا

که با اختیار در (2) نتیجه میگیریم:

که اثبات را برای حالت نخست کامل میکند. اینک حالت r −q  i را بررسی میکنیم. میتوان نوشت

از تعاریف ماتریسهای L , U داریم.

با استفاده از (2) نتیجه میگیریم:[5]

که اثبات را برای درایههای بالای قطر اصلی ماتریس Br ,n کامل میکند.

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید