بخشی از مقاله
چکیده.
در این مقاله یک روش برنامه ریزی درجه دوم متوالی بر اساس ناحیه اعتماد را بررسی می کنیم که از فیلتر غیر یکنواخت موضعی که امکان سریع بودن همگرایی موضعی را مهیا می سازد استفاده می کنیم . این روش را با تکنیک تصویر گرادیان ترکیب کرده و برای حل مسایل برنامه ریزی غیر خطی به کار می گیریم. فواید این ترکیب را با مثال عددی ارائه شده نشان می دهیم.
١. پیش گفتار
یکی از کاراترین روش ها برای بهینه سازی غیر خطی تولید گام ها با حل زیر مساله های درجه دوم است. روش برنامه ریزی درجه دوم متوالی - - SQP می تواند در هر دو شکل ناحیه اعتمادو جستجوی خطی بکار برده شود، همچنین این روش برای مساله های کوچک و بزرگ مناسب می باشد. وقتی روش های SQP برای حل مسائلی که محدودیت های غیرخطی قابل توجهی دارند بکارگرفته می شوند، کارایی شان مشخص می شود.فلچر و لیفر در ]٢[ یکی از اولین کارهای مربوط به استفاده از فیلتر را ارائه نمودند.روش ارایه روشی است که همگرایی سراسری را بدون استفاده از تابع جریمه به دست می آورد. بدون از دست دادن کلیت مساله، فرض کنید مساله برنامه ریزی غیرخطی به صورت زیر باشد.که در آن f : Rn ! R و c : Rn ! R m، به طور پیوسته دوبار مشتق پذیر هستند. هدف این روش رهایی از تابع پنالتی است. از آنجایی که مشتق دوم قابل محاسبه هست، انتظار می رود کهتحت بعضی فرضیات، همگرایی مرتبه دوم در نزدیکی جواب موضعی به دست آید.
واژگان کلیدی. فیلتر غیر یکنواخت، تصویر گرادیان، همگرایی سراسری، بهینه سازی غیر خطی . سخنران
٢. روش فیلتر غیر یکنواخت برای بهینه سازی غیرخطی
در این بخش به تشریح روش برنامه ریزی درجه دوم متوالی مبتنی بر »فیلتر غیر یکنواخت« بر اساس ناحیه اعتماد ]٣[ ارائه شده توسط فلچر، لیفر و شن می پردازیم. مساله برنامه ریزی غیر خطی زیر را در نظر بگیرید.که در آن تابع هدف f : Rn ! R و تابع محدودیت ci : Rn ! R، تابع های دوبار پیوستهمشتق پذیر هستند. در تکرار kام، گام آزمایشی را با حل برنامه ریزی درجه دوم زیر محاسبه می کنیم.اگر این زیر مساله شدنی باشد، جواب آن با d نشان داده می شود در غیر این صورت اگر نشدنی باشد، فاز بازگرداندن شدنی را برای پیدا کردن نقطه جدیدی که زیر مساله QP شدنی باشد، به کار گرفته می شود. بعد از محاسبه d، قرار دهید .کاهش پیش بینی تابع f - x - را به صورت و کاهش واقعی غیر یکنواخت آن به شکل تعریف می شود. توجه کنید که M، پارامتر غیر یکنواختی بوده و M = 0 متناظر با الگوریتم یکنواخت یا همان الگوریتم استاندارد می باشد. هم چنین △f - d - = f - xk - f - ^x - : کاهش روش فیلتر غیر یکنواخت و روش تصویرگرادیان برای بهینه سازی غیرخطیواقعی f - x - و j2f0;:::;Mg h - xk j - hk = تعریف می شود. هم چنین جواب QP - xk; 1 - را با dk نشان داده اند. توجه کنید که QP - xk; 1 - حل نمی شود، فقط برای تکمیل الگوریتم این کار انجام می گیرد.
٣. روش گرادیان به کار برده شده در فاز بازگرداندن SQP
روش فیلتر غیر یکنواخت، یکی از مناسب ترین روش هایی می باشد که در بین روش های SQP مبتنی بر فیلتر بر اساس ناحیه اعتماد، تاکنون ارائه شده است. ما برای بهبود این روش، در فاز بازگرداندن به جای استفاده از فاز بهینگی، روش تصویر گرادیان را به کار بردیم. روش ما در مقایسه با روش فیلتر یکنواخت ساده بوده و کار کردن با آن راحت تر می باشد و هزینه کمتریصرف می کند. آزمایشات عددی بر روی بعضی از مسایل نشان می دهند که روش ما با روش فیلتر غیر یکنواخت قابل مقایسه بوده و در برخی اوقات از کارایی بهتری برخوردار است.
