بخشی از مقاله
چکیده: بانکفیلتر اسپلاین، یک ساختار مهم در زمینه پردازش سیگنال روي گراف است. تاکنون روشی براي شکلدهی مناسب فیلترهاي اسپلاین در حوزه فرکانس مربوط به بانکفیلتر دو کاناله، براي گرافهاي دلخواه ارائه نشده است. در این مقاله روشی براي طراحی فیلترهاي مناسب ارائه خواهد شد. در آخر نتایج شبیهسازي براي بررسی عملکرد فیلتر طراحی شده، در کاربردهاي فشرده سازي و تجزیه گراف نشان داده شده است.
دو کاناله براي گرافهاي دو بخشی7 بیان شده است. در این روش، ویژگی بازسازي کامل مختص گرافهاي دو بخشی است و براي گرافهاي غیر دو بخشی با استفاده از تئوري رنگ آمیزي گراف، میتوان یک گراف غیر دو بخشی را به گرافهاي دو بخشی تقسیم کرد. عمل تبدیل گراف دلخواه به گرافهاي دو بخشی، حجم محاسبات را افزایش میدهد. در [5] با حذف قید تعامد8 در طراحی فیلترها، بر مبناي تعامد طرفینی9، فیلترهاي مناسبتري براي بانکفیلتر دو کاناله روي گراف طراحی شده است.
در [6] براي کنترل بیشتر بر شکل فیلترها در حوزه فرکانس و در عین حال دارا بودن ویژگی بازسازي کامل، براي بانکفیلتر دو بخشی روشهایی پیشنهاد شده است. همچنین در ] [7 مؤلفین سعی میکنند روشی براي پیادهسازي مناسب بانکفیلتر روي گراف بر مبناي شبکههاي چند فازي10 ارائه کنند و حجم محاسباتی را کاهش دهند. در [8] یک بانکفیلتر M کاناله روي گراف، طرح شده است. همچنین در مقاله [9] ساختار بانکفیلتر روي گراف به گرافهاي جهتدار تعمیم داده شده است.
در [10] روشی بر مبناي فیلترهاي اسپلاین11 پیشنهاد میشود که داراي ویژگی مطلوب بازسازي کامل است و براي گرافهاي چرخشی12 شکل حوزه فرکانس فیلترها نیز بررسی و طرح شده است. در اکثر مواقع، گرافهاي مورد بررسی چرخشی نیستند و بنابراین بانکفیلتر دو کاناله بر اساس فیلترهاي اسپلاین به هر گراف دلخواهی تعمیم داده شده است. البته همانگونه که در [10] بیان شده است، براي گرافهاي دلخواه شکل فیلترها در حوزه فرکانس مناسب نیستند.
از آنجا که شکل حوزه فرکانس فیلتر یکی از ویژگیهاي مهم در کاربردهاي مختلف بر مبناي بانکفیلتر است و در مقالات ارائه شده تاکنون روش مناسبی براي طرح فیلتر بر اساس شکل فرکانسی مطلوب براي بانکفیلتر اسپلاین بررسی نشده است، لذا در این مقاله سعی بر این است که طراحی مناسبی بر مبناي بهینه سازي انجام شود.
در این مقاله روشی جهت طراحی فیلترهاي بالاگذر و پایینگذر مناسب براي بانکفیلتر دو کاناله اسپلاین روي گراف ارائه میشود. از ویژگیهاي مهم این ساختار میتوان به دارا بودن ویژگی بازسازي کامل براي هر گراف دلخواه و همچنین شکل مناسب حوزه فرکانس فیلترهاي آن اشاره کرد. نتایج شبیه سازي نشان میدهد که از فیلترهاي طرح شده میتوان براي کاربردهاي مختلف از جمله فشرده سازي13 سیگنال روي گراف و همچنین تجزیه گراف استفاده کرد.
در ادامه این مقاله، ابتدا در بخش دوم به بیان تعاریف و اصول پایه در پردازش سیگنال روي گراف میپردازیم. در بخش سوم، بانکفیلتر دو کاناله با فیلترهاي اسپلاین براي گراف مطرح خواهد شد که ویژگی بازسازي کامل در آن بررسی میشود. در بخش چهارم نیز نتایج شبیه سازي ارائه میشوند و در آخر، نتیجهگیري در بخش پنجم آورده خواهد شد.
-2 تعاریف و مقدمات
یک گراف را به صورت - G - V , E نمایش میدهند که V و E به ترتیب بیانگر مجموعه گرهها و یالها هستند. تعداد گره هاي یک گراف را با N نشان میدهیم که V N است. گرافهاي مورد بررسی در این مقاله غیر جهتدار، بدون یال حلقه و همچنین بدون یالهاي چندگانه14 هستند. اتصالات گراف را با ماتریس مجاورت15 بیان میکنند که با A نمایش داده میشود.
-3 بانکفیلتر اسپلاین دو کاناله روي گراف
فیلترهاي اسپلاین کلاسیک قابل تعمیم به حوزه گراف هستند. فیلترهاي اسپلاین پایین گذر و بالاگذر به ترتیب یک میانگینگیري و اختلافگیري روي گرههاي همسایه براي هر گره انجام میدهند. شکل1 ساختار کلی بانکفیلتر اسپلاین دو کاناله براي گراف را نشان میدهد که داراي عملیاتهاي کاهش و افزایش نرخ و همچنین ویژگی بازسازي کامل است. HLP و HHP فیلترهاي مربوط به بخش آنالیز هستند. در بخش سنتز از اینگونه فیلترها استفاده نمیشود و HINV بیانگر ماتریس معکوس براي بازسازي سیگنال است که در ادامه شرح میدهیم.
