بخشی از مقاله
چکیده - در این مقاله دو الگوریتم از روشهای مرتبه بالا، IHOA و NIHOA ، برای تحلیل پویای سازهها معرفی و بازخوانی میشوند. الگوریتمهای مزبور، ساختار مشابهی داشته و از دادههای گامهای پیشین برای تخمین کمیتهای پاسخ در گام جاری استفاده میکنند. برای تعیین عضوهای برتر از این دو الگوریتم، دو نمونه عددی با رفتار خطی و ناخطی هندسی، مورد بررسی قرار میگیرند. نتایج عددی، برتری روشهای مرتبه بالا در مقایسه با شیوههای متداول تابعاولیهگیری عددی را نشان میدهد. افزون بر این، از دیدگاه دقت و پایداری عددی، الگوریتم IHOA کارایی و عملکرد بهتری در مقایسه با NIHOA به نمایش میگذارد.
-1 مقدمه
گسسته سازی فضایی معادله های دیفرانسیل پارهای حاکم بر رفتار سامانه های پویا، که با بهکارگیری روشهایی مانند اجزای محدود، تفاوت های محدود و یا اجزای مرزی انجام می گردد، منجر به برپایی دستگاه معادلههای همزمان زیر میشود :[3-1] MD CD KD P - 1 - در این رابطه M، C و K به ترتیب ماتریسهای جرم، میرایی و سختی سامانه میباشند. بردارهای D ، D ، D بیانگر کمیت های تغییرمکان، سرعت و شتاب در درجه های آزادی بوده و P، بردار بار خارجی اعمالی را نشان می دهد.
به طور کلی، دو راهکار برای بدست آوردن پاسخ دستگاه معادله های همزمان - 1 - یا معادله تعادل پویای سامانه، وجود دارد: روش های تحلیلی و عددی . [4] در شیوه های تحلیلی، پاسخ معادله حرکت بصورت دقیق و با توابع ریاضی بیان می شود. متداول ترین روش برای بدست آوردن پاسخ تحلیلی یک سامانه پویا، الگوی تحلیل مودال است. بر این پایه، یک دستگاه چند درجه آزادی را می توان با چند سامانه یک درجه آزادی توصیف نمود. سپس، با محاسبه پاسخ سامانه های یک درجه آزادی و بهره گیری از اصل برهمنهی مودها، پاسخ کلی سامانه قابل محاسبه خواهد بود .[5]
فرآیند پر هزینه در این روش، حل مساله مقدار ویژه می باشد. اگر مرتبه ماتریس های سامانه بزرگ باشد، زمان مورد نیاز برای بدست آوردن بسامد های طبیعی سامانه و بردارهای شکل متناظر با آن ها، چشم گیر خواهد بود .[6] افزون بر این، در رفتارهای ناخطی و الگوهای میرایی نامتناسب، روش مودال کارایی خود را از دست خواهد داد .[7] کلی ترین راهکار برای حل معادله پویای سامانه، بهره گیری از روشهای عددی است.
این شیوهها که با روشهای تابع اولیه گیری مستقیم شناخته می شوند، با یک فرآیند گام به گام پاسخ معادله حرکت را بصورت عددی و در ایستگاههای زمانی مشخص بدست می آورند. به سخن دیگر، به جای برقراری تعادل در هر لحظه از زمان t، معادله حرکت در بازه های زمانی گسسته t ارضاء می شود. برای این کار، تغییرات کمیتهای سرعت و تغییرمکان در هر بازه زمانی با استفاده از معادله های تفاضلی، تخمین زده میشود .[8] سپس، با بهرهجویی از شرایط نخستین معلوم در هر بازه زمانی، کمیت های نامعلوم در انتهای بازه برونیابی می شود.
روش های عددی محدودیت های راهکارهای تحلیلی را نداشته و بصورت گسترده در سامانه های خطی و ناخطی مورد استفاده قرار می گیرند. با این وجود، دقت و پایداری، دو نگرانی اصلی در شیوههای عددی میباشند. چگونگی انتخاب معادله های تفاضلی و عامل های وزنی متناظر با آن، دو معیار مزبور را کنترل میکند .[3] در یک تقسیم بندی عمومی، روش های تابع اولیه گیری عددی را میتوان در دو دسته صریح و ضمنی جای داد. راهکارهای صریح، بسیار ساده بوده و هزینه محاسبات در آنها پایین می باشد؛ چرا که از عملگر های برداری برای پیشبٌرد پاسخ در هر گام زمانی بهره گرفته می شود. این ویژگی، نیاز به فن های برونیابی و فرآیندهای تکراری در مسایل ناخطی را از بین می برد.
بارزترین کاستی روش های صریح، ناپایداری عددی آن ها می باشد. به سخن دیگر، برای جلوگیری از رشد و انباشتگی خطاهای عددی در طول فرآیند تابع اولیه گیری گام به گام، انداز ه گام زمانی t باید کوچک انتخاب شود. این محدودیت، به ویژه در رفتارهای ناخطی، اغلب سخت گیرانه بوده و در مواردی که زمان تحلیل طولانی است، کارایی روش را کاهش میدهد. باید دانست، اندازه گام زمانی در روش های پایدار مشروط، بر پایه بیشینه بسامد طبیعی سامانه انتخاب میشود .[9] روش تفاوت های محدود مرکزی [10]، روش چانگ [11] و روش زای [12] از جمله راهکارهای صریح میباشند.
در شیوه های ضمنی، سامانه پویا در هر گام زمانی به سامانه ایستای معادل تبدیل می شود؛ به گونه ای که تغییرمکان، سرعت و شتاب به طور همزمان معادله های تعادل پویا را ارضاء کند. ماتریس سختی معادل در این حالت، ترکیبی خطی از ماتریس های جرم، میرایی و سختی می باشد. از این رو، در رفتار های ناخطی در هر گام از تحلیل، به یک فرآیند تکراری برای برقراری تعادل و کمینه کردن نیروهای نامیزان نیاز خواهد بود. بنابراین، در مسایل بزرگ مقیاس، حجم و زمان محاسبات به طور چشم گیری افزایش می یابد .[13] با این وجود، بیشتر راهکارهای ضمنی پایدار بوده و دقت بهتری در مقایسه با شیوه های ضمنی نشان می دهند. روش های بتای نیومارک [14]، ویلسون-تتا [15]، [16] HHT-، آلفای تعمیمیافته [17] و روش مرکب بَته [18] در دسته فرآیندهای ضمنی قرار میگیرند.
باید دانست، بیشتر شیوه های متداول تابع اولیه گیری عددی که پیش تر معرفی گردید، دقتی از مرتبه دو دارند. روش های مرتبه بالاتر، پاسخ های دقیق تری را در اختیار گذاشته و برای تحلیل های طولانی مدت و حفظ نامتغیرهای سامانه - کارمایه و تکانه - مناسب تر هستند. در این شیوه ها، بدون نگرانی از کاهش دقت، می توان گام زمانی را بزرگتر انتخاب کرد. فانگ با استفاده از توابع شکل هرمیتی درجه 3 به همراه روش باقیمانده های وزنی، یک خانواده از الگوریتم های مرتبه بالا معرفی نمود .
[19] در روش نیومارک با گام زمانی مختلط، برای افزایش مرتبه دقت، پاسخ در انتهای هر گام زمانی از ترکیب پاسخها در زیرگامهای جاری محاسبه می شود .[20] بهره گیری از نتایج گام های زمانی پیشین برای تخمین کمیت های سرعت و تغییرمکان در گام جاری، یکی از شیوه های آفرینش الگوریتم های مرتبه بالا می باشد. علامتیان و رضایی پژند با به کارگیری این راهکار، یک خانواده ضمنی مرتبه بالا، IHOA، ارایه کردند.
[21] در ادامه، علامتیان روش ضمنی مرتبه بالای نوین، NIHOA، را معرفی نمود .[22] در این مقاله، دو خانواده از روش های ضمنی مرتبه بالا، IHOA و NHIOA از دیدگاه دقت و پایداری با یکدیگر مقایسه می شوند. نخست رابطه های تفاضلی و عاملهای وزنی بهینه در هر روش معرفی شده و به دنبال آن، دو نمونه عددی با رفتار خطی و ناخطی هندسی، تحلیل پویای عددی میگردد.
ضرایب نامعلوم آن، همان عامل های وزنی روش می باشد. باید افزود که این عامل ها، به نوع و رفتار مساله وابسته نبوده و در طول زمان تحلیل، ثابت پنداشته میشود. عامل های وزنی بهینه برای هر روش در جدول های 1 تا 3 آورده شده است. باید دانست که به ازای m=1، دو عضو شناخته شده از خانواده روش بتای نیومارک، در روش های HIOA و NIHOA بدست خواهد آمد. به سخن دیگر، IHOA1 معادل روش شتاب خطی نیومارک - LAM - و NIHOA1 معادل روش شتاب ثابت نیومارک - CAM - میباشد.
