بخشی از مقاله
چکیده
در تحقیق حاضر معادلات حاکم بر مدل دوسیالی چهار معادلهای با استفاده از روش نوین مرتبه بالای DG-ADER حل می شوند. مدل چهار معادلهای یکی از پرکاربردترین مدلها برای تحلیل جریانهای دوفازی است. در این مدل دو معادله پیوستگی و دو معادله مومنتم وجود دارد و در آن فشار دو فاز یکسان فرض میشود. معادلات مدل چهار معادلهای را نمیتوان بهصورت بقایی نوشت بنابراین، بایستی روشهای عددی خاصی برای تحلیل آن بکار برد. لذا در این تحقیق از روش مسیر بقایی اوشر برای حل عددی معادلات این مدل استفاده میشود. به منظور ارتقاء دقت عددی روش مسیربقایی اوشر از روش نوین و مرتبه بالای DG-ADER استفاده میشود. دو مسئله دوفازی با استفاده از این روش حل شده و نتایج بهدست آمده نشان میدهد که روش عددی بکار رفته با نوساناتی با دامنه بسیار کم توانسته است متغیرهای میدان جریان را پیشبینی کند.
واژه های کلیدی:جریان دوفازی، مدل دوسیالی، مدل چهار معادله ای، روش DG-ADER
مقدمه
موضوع جریانهای دوفازی از اهیمت ویژهای در بسیاری از فرآیندها و تجهیزات صنعتی شامل نیروگاههای بخار و هستهای، تجهیزات مختلف صنایع نفت و گاز، سیستمهای انتفال حرارت و بسیاری از صنایع دیگر برخوردار است .[1] در میان انواع جریانهای دوفازی موجود، جریانهای گاز -مایع به دلیل کثرت وقوع و همچنین به دلیل تغییر شکل پذیر بودن فصل مشترک دو فاز از اهمیت و پیچیدگی دو چندانی برخوردار هستند. مدلسازی و حل عددی دقیق این جریانها میتواند نقش مهمی در طراحی و عملکرد مطمئن بسیاری از فرآیندها و تجهیزات صنعتی داشته باشد.به منظور مدل سازی جریان های دوفازی مدلهای اویلری متفاوتی وجود دارد که در این میان مدل های دو سیالی به دلیل اینکه برای هر یک از فازها یک معادله مومنتم در نظر می گیرند، می توانند جزئیات بیشتر و دقیق تری از جریان ارائه کنند. همچنین میتوان این مدل ها را برای هر نوع جریانی با هر درجه همبستگی بکار برد ,2] .[3
در ادبیات فن مدل های دوسیالی مختلفی برای تحلیل جریان های دوفازی تراکم پذیر دوفازی در حالت همدما وجود دارد که از جمله پرکاربردترین و مناسب ترین آنها، مدل های چهار و پنج معادله ای هستند. در این میان مدل چهار معادله ای به دلیل اینکه پخش کاذب کمتری نسبت به مدل پنج معادله ای ایجاد میکند برای تحلیل بسیاری از جریان های دوفازی بکار برده می شود .[4 ,2] علی رغم ویژگی های بسیار خوب و دقیق بودن مدل های دو سیالی، به دلیل حضور عبارات غیربقایی ناشی از خصوصیات فصل مشترک دو فاز در معادله مومنتم، نمی توان آنها را به صورت بقایی نوشت و این مشکل باعث می شود که نتوان روش های عددی کلاسیک حل معادلات هذلولوی همانند روش لکس-فردریکس را برای حل این معادلات بکار برد. در منابع تحقیق روشهایی برای برطرف کردن این مشکل ارائه شده است .[8-5 ,3 , 2] که از میان آنها روشهای مسیربقایی به دلیل سادگی اعمال، روشهایی مناسبتری برای حل عددی معادلات غیربقایی هستند.
یکی از روش های کلاسیک حل معادلات هذلولوی روش اوشر و سالومون می باشد .[10 , 9] این روش تمامی خصوصیات روش Roe را دارد و علاوه بر این بر خلاف روش Roe موج ضربهای انبساطی نیز ایجاد نمی کند - نقض قانون دوم ترمودینامیک - .[11] یعنی اینکه برای حل معادلات هذلولوی با استفاده از روش اوشر نیازی به تصحیح انتروپی نیست. متاسفانه علی رغم ویژگی های بسیاری خوب روش اوشر، پیاده سازی آن بسیار مشکل است و به این دلیل محققین تمایل کمی برای حل مسائل با استفاده از این روش داشته اند. در راستای توسعه روش اوشر برای سیستمهای غیربقایی، دومبسر و تورو نسخه مسیربقایی روش اوشر را استخراج نمودند و بعدا نام آن را DOT گذاشتند .[11] بر خلاف روش کلاسیک اوشر، نسخه مسیربقایی آن بسیار ساده اعمال میشود و به این دلیل در تحقیق حاضر از این روش برای حل معادلات مدلهای دوسیالی چهار معادله ای استفاده می شود.
این روش توسط شکاری و حاجی دولو برای حل معادلات مدل چهار معادلهای مورد استفاده قرار گرفته است و نشان داده شده که این روش قابلیت بالایی در تحلیل جریان های دو فازی دارد .[12]روش DOT دقت مرتبه یک در زمان و مکان دارد. محققین همواره به دنبال روشهای با دقت بالا هستند تا بتوانند مسائل مختلف را با دقت بالاتری تحلیل کنند. بنابراین به نظر میرسد که افزایش دقت عددی روش DOT که روشی بسیار مناسب برای تحلیل مسائل هذلولوی است، بتواند کمک شایانی در افزایش دقت تحلیل عددی مسائل دوفازی بکند. متاسفانه افزایش دقت عددی روش های حل عددی با یک مشکل جدی مواجه است و آن هم مساله بروز نوسانات عددی در محل گرادیان های شدید میدان جریان می باشد. مطابق قضیه ای که گادانوف ارائه کرده است نمی توان روش عددی خطی یافت که دقتی بالاتر از یک داشته باشد و یکنوا باشد .[13] فرض اساسی قضیه گادانوف، خطی بودن روش عددی است.
حال اگر به نوعی بتوان روشی غیرخطی برای حل عددی معادلات مختلف بکار برد، دیگر قضیه گادانوف صادق نیست و شاید بتوان حل بدون نوسان و یا حداقل با دامنه نوسان بسیار محدود بهدست آورد. بدین منظور در تحقیق حاضر از روش DG-ADER که یک روش سه مرحله ای برای رسیدن به دقت اختیاری است، استفاده می شود .[17-14]روش ADER ابتدا توسط تورو و تیتاروف ارائه شد [18] و به دلیل مشکلاتی که برای سیستم های غیرخطی پیچیده داشت بعدا توسط دومبسر و همکاران تصحیح شد و به روش یک مرحلهای زمانی-مکانی DG-ADER تغییر نام یافت .[17] در تحقیق حاضر از این روش جدید برای حل معادلات مدل دوسیالی چهار معادلهای استفاده میشود. بررسی منابع علمی در دسترس نشان میدهد که تاکنون حل مدل های دوسیالی هم دما با استفاده از روش مرتبه بالای DG-ADER صورت نگرفته است. بنابراین در این تحقیق برای اولین بار این کار صورت میپذیرد.
معادلات حاکم
برای جریان دوفازی یکبعدی با فرض سیال همدما و تراکم پذیر و با صرفنظر کردن از عبارتهای اصطکاک دیواره و فصل مشترک، معادلات حاکم بر مدل چهار معادلهای در حالت غیردائم را میتوان بهصورت شبهخطی زیر بیان کرد :[19 ,12]
روش DG-ADER
روش ADER برای سیستمهای غیربقایی سه مرحله دارد. در مرحله اول بازسازی اطلاعات با استفاده از روش غیرخطی WENO صورت میپذیرد. در مرحله دوم اطلاعات بازسازی شده در زمان پیمایش شده تا یک چند جملهای زمانی-مکانی با مرتبه مشخص بهدست آید.در مرحله سوم از این اطلاعات برای محاسبه متغیرهای پایستار جریان در گام زمانی جدید استفاده میشود. در ادامه جزئیات بیشتری از این روش ارائه میشود.ابتدا معادلات غیربقایی حاکم به صورت زیر گسستهسازی میشوند :[19]فرم گسسته فوق را فرم انتشار موج مینامند که اولین بار این مفهوم توسط لووک مطرح شد .[21] در این رابطه D جمله پرش در عبور از مرز میباشد .[19 ,12] علاوه بر این جمله Aqx که انتگرال عبارت غیربقایی بر روی سلول محاسباتی است، برای روش های مرتبه اول صفر میباشد و برای روش های مرتبه دوم به بالا با استفاده از رابطه زیر بهدست میآید .[19]
حال اگر بتوان - q j - x,t را با یک چندجملهای زمانی-مکانی مناسب و با دقت بالا جایگزین کرد، آنگاه میتوان دقت روش عددی را افزایش داد. بدین منظور ابتدا بازسازی اطلاعات با استفاده از روش WENO صورت می پذیرد .[15] در مرحله دوم پیمایش زمانی چندجملهای مکانی بهدست آمده صورت میپذیرد و در مرحله آخر با استفاده از رابطه - 7 - متغیرهای جریان در گام زمانی جدید بهدست میآیند.در مرحله پیمایش زمانی ابتدا بایستی معادله - 1 - به چارچوب مرجع سلول محاسباتی - , - تصویر شود. پس از آن، معادلات تصویر شده در تابع آزمون - , - k ضرب میشوند و بر روی چارچوب مرجع از معادله بهدست آمده انتگرالگیری میشود تا رابطه زیر حاصل گردد:
نتایج
لوله ضربه تامی
یکی از مسائل استاندارد دو فازی لوله ضربه تامی میباشد. این مسئله اولین بار توسط تامی در سال 1996 معرفی شد .[8] ویژگی اصلی این لوله ضربه صفر بودن سرعت و اختلاف فشار زیاد فازها در دو طرف میانبند میباشد. شرایط اولیه این مسئله در جدول 2 بیان شده است.در این مسئله سرعت فازها در لحظه صفر، صفر میباشد بنابراین عبارت تصحیح فشار صفر میشود و این باعث میشود که مدل چهار معادلهای بدرفتار شود. برای رفع این مشکل از رابطه ترکیبی زیر برای جلوگیری از صفر شدن عبارت تصحیح فشار استفاده میشود:
