بخشی از مقاله
چکیده
تظریفهای متوالی روشی برای تولید رویههای حدی و مدلهای هندسی است. این روش که رهیافتی گسسته برای تولید مدلهای پیوسته است در سالهای اخیر به واسطه کارایی و سرعت بالای الگوریتمهای حاصل از آن در گرافیک کامپیوتری و مدلسازی مورد توجه ویژهای قرار گرفته است. اساس این گونه روشها درج گره در منحنیهای -Bاسپلاین و قابلیت ظریف سازی آنهاست. توسعه این ایده به شبکههای کنترلی با توپولوژی دلخواه ردهای از رویهها به نام رویههای تظریف را بوجود میآورد. کاربرد این رویهها در طراحی کامپیوتری به صورت رویههای تکهای هموار بسیار معمول است و این شیوه مدلسازی وقتی مفید واقع میشود که رویه تظریف رفتار مناسب و کنترل شدهای از خود نشان دهد. پیادهسازی الگوریتمهای تظریف یک دید عینی از این رفتار ایجاد میکند. نتایج حاصل از پیادهسازی الگوریتمها و آزمون آنها مؤید کارایی و سرعت بالای این الگوریتمها است.
کلمات کلیدی: رویه های تظریف، طراحی کامپیوتری، -Bاسپلاین، تظریف Doo-Sabin، تظریف .Catmull-Clark
-1 مقدمه
روشهای تظریف متوالی1 با اجرای مجموعه ثابتی از قواعد تصحیح روی شبکه کنترلی تعریف شده توسط کاربر یک منحنی یا رویه حدی هموار ایجاد می کند. این ایده توسط G. de Rham در اواخر دهه 40 و اوایل دهه 50 بصورت روش قطع گوشه2 برای توصیف یک منحنی هموار مطرح شد. اما مفهوم اصلی تظریف برای مدلسازی و تولید منحنیهای هموار بر روی چندضلعی کنترلی دلخواه اولین بار در - Chaikin, 1974 - معرفی گردید. روش قطع گوشه چیکین با انجام پیدرپی عمل حذف گوشه چندضلعی در حد یک منحنی -B اسپلاین مرتبه 3 تولید میکند.به کارگیری روش درج گره و ظریف سازی دنباله گره در منحنیهای -B اسپلاین و توسعه آن به رویههای ضرب تانسوری -B اسپلاین با دنباله گره یکنواخت مرتبه3 و مرتبه4 توسط Catmull و Clark در - Catmull, 1978 - و Doo و Sabin در - Doo, 1978 - ، سرآغاز استفاده از روشهای تظریف در مدلسازی رویهها است. Loop در - Loop, 1987 - روشی مشابه بر مبنای توسعه اسپلاینهای جعبهای سهسویه3 مرتبه3 برای تظریف رویههای با شبکه کنترلی مثلثی ارایه کرد.
-2 منحنی ها و رویه های -Bاسپلاین:
تعریف: برای رئوس کنترلی ٌ { pi }in و دنباله گرههای kٌ t {ti }in منحنی -B اسپلاین مرتبه k بصورت زیر تعریف می گردد:
که در آن pi ها نقاط کنترلی و - Bi,k - t توابع پایه -B اسپلاین مرتبه k بوده و بصورت زیر تعریف میگردد:
