بخشی از مقاله
خالصه
معادله انتقال از پرکاربردترین معادالت در شبیهسازی پدیدههای هیدرولیکی است و حل این معادله اهمیت زیادی دارد. در بخش اول این تحقیق با استفاده از روش مشخصات و روش درونیابی الگرانژ، نحوه استخراج معادالت تفاضلی مختلف نشان داده شده است. با استفاده از روش آنالیز پایداری فون نیومن، به بررسی پایداری هریک از روشها پرداخته شده است. در ادامه از میان نتایج حاصل سه الگوی ساخت که منجر به تولید روشهای پایدار میشوند، آورده شدهاند. سپس روشهای ساخته شده طبق الگوهای ارائه شده از لحاظ پایداری بررسی و در نهایت با روش لکس-وندراف مقایسه شدهاند. بررسی نتایج نشان میدهد هرچه نقاط بیشتری از باالدست و پاییندست در درونیابی استفاده شوند، روش عددی به دست آمده از دقت بیشتری برخوردار است که البته بهای محاسباتی سنگینتری نیز خواهد داشت.
1. مقدمه
یکی از معادالت مهم در رشتههای مهندسی معادله انتقال1 است. این معادله که یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بوده، بخشی از مدلهای ریاضی است که در حل مسائل جریان و انتقال کاربرد دارند.]1-4[ همچنین این معادله کاربردهای فراوانی برای مدلسازی پدیدههای هیدرولیکی در شاخههای بسیاری از علوم شامل مکانیک سیاالت، دینامک گازها، مدلسازی اتمسفر و ... دارد. از جمله کاربردهای این معادله میتوان به نشان دادن انتقال آلودگیها در اتمسفر، اقیانوسها، دریاچهها، رودخانهها و آبهای زیرزمینی اشاره کرد. که در آن c غلظت، t زمان و x فاصله طولی است.
نمود فیزیکی این معادله با حرکت به سمت جلو توصیف میشود. از آنجاییکه این معادله به طور کلی جواب تحلیلی دقیق ندارد، پیدا کردن جواب عددی تقریبی صحیح برای آن بسیار حائز اهمیت است.]6[ روشهای عددی متفاوتی برای حل این معادله در شرایط مختلف وجود دارد که این روشها به دو دسته اصلی صریح2 و ضمنی3 تقسیم میشوند.]7[ روشهای استاندارد برای حل عددی معادله انتقال اصطالحاً روشهای کامال صریح نامیده میشوند.]9 ,8[ این روشها در گام زمانی حاضر با استفاده از دادههای معلوم، وضعیت را در زمان آینده محاسبه میکنند. مزیت اصلی این روشها سادگی آنها به عنوان یک روش عددی است.]10-12[
هرچند روشهای موجود در این دسته نسبتاً سریع و ساده بوده اما معایب خاص خود را نیز دارا هستند.]13[ در این روشها عدد کورانت]14[1 به عنوان معیار پایداری در نظر گرفته میشود. این موضوع باعث میشود که در محاسبات عددی، از گامهای زمانی محدودی متناسب با گام مکانی استفاده شود که منجر به ایجاد سلولهای محاسباتی کوچکی میگردد. اگر اصالحاتی در این روشها ایجاد نشود، وجود چنین سلولهای کوچکی یک محدودیت غیر واقعبینانه به روش اعمال میدارد که زمان محاسبات را طوالنی خواهد کرد.]15 ,7[
در روشهای ضمنی به حل معادالت در چندین نقطه به طور همزمان پرداخته میشود. با استفاده از این روشها در هر گام زمانی میبایست ماتریسهای بسیار بزرگی را تشکیل داد. این روشها عموماً روشهای پیچیدهای هستند و در آنها محدودیت کمتری در انتخاب گامهای زمانی نسبت به روشهای صریح دیده میشود.]7[ لذا گامهای زمانی بزرگتری میتواند مورد استفاده قرار گیرد که این امر زمان محاسبات را کمتر خواهد کرد.]15[
کلیات استفاده از گامهای زمانی بزرگتر به ازای مقادیر کورانت بزرگتر از یک در روشهایصریح، توسط لِوِک - 1983 - ابداع شد.]17 ,16[ یانگ و وانگ - 1988 - روش اصالحشدهای برای حل یک بعدی معادالت انتقال - پخش، مبنی بر روش هالی - پرایسمن2 معرفی کردند. آنها نشان دادند که این روش میتواند مشکل ناپایداری به ازای عدد کورانت بزرگتر از یک را حل کند.]18[ در تحقیق پیش رو با استفاده از روش مشخصات، روشهای عددی مختلف صریحی ساخته میشود. سپس معادله تفاضلی3 آنها با استفاده از روش درونیابی الگرانژ به دست میآید و در نهایت پایداری روشهای مذکور با استفاده از روش فون نیومن4 بررسی میشود.
2. مواد و روشها
۲-۱. استخراج روش عددی به وسیله روش مشخصات
روشهای زیادی برای حل معادله انتقال وجود دارد. از جمله آن روشها میتوان به روشهای تفاضل محدود، حجم محدود، المان محدود و روش مشخصات اشاره نمود. در این مقاله، با استفاده از خطوط مشخصه ساخت روشهای عددی متفاوتی شرح داده خواهد شد. در مسائلی که با پدیده انتقال مواجه هستند، غلظت از نقطهای در زمان حال، به نقطهای در گام زمانی بعدی منتشر میشود. در روش مشخصات به منظور پیشبینی غلظت در یک نقطه خاص، از درونیابی چندجملهای استفاده میشود. اگر همه مقادیر غلظت در زمان حال معلوم باشند، غلظت در هر نقطهای در گام زمانی بعدی قابلمحاسبه خواهد بود.
چندین شِما از روش مشخصات موجود است. روش کالسیک، روش هالی - پرایسمن است که در سال 1977 توسعه یافت. این روش در صورتی که عدد کورانت کمتر از یک باشد، به صورت ضمنی غلظتها5 در زمان آینده را محاسبه میکند. پیچیدگی این روش در این است که هر دو مقدار غلظت و مشتقات مربوطه باید در یک گام زمانی محاسبه شوند. انجام این عمل در فضای یک بعدی نسبتاً ساده است ولی در فضای دو بعدی با دشواریهایی روبرو خواهد بود.]19 ,15[
