بخشی از مقاله
چکیده:
در این مقاله، از روشی تحلیلی بهنام روش سری مودال برای حل معادلات غیرخطی یک سیستم آشوبناک استفاده شده است. این معادلات غیرخطی برای مدلسازی مدار آشوبناک Four-Scroll بهکار گرفته میشوند. به کمک روش سری مودال، معادلات غیرخطی این سیستم آشوبناک به دنبالهای از معادلات خطی نامتغیر با زمان تبدیل میشوند. حل این دنباله از معادلات خطی، منجر به پاسخ بهفرم سری شده که همگرایی این سری مورد بحث قرار گرفته است. سپس جملاتی از این سری بهعنوان تقریبی از پاسخ در نظر گرفته میشود. این روش پاسخ تقریبی سیستم را که برای تحلیل رفتار سیستم-های آشوبناک بسیار مناسب میباشد، در اختیار قرار میدهد. نتایج شبیهسازی، معرف کارایی روش پیشنهادی است.
.1 مقدمه
دینامیک غیرخطی بهطور گستردهای در مهندسی و فیزیک و بسیاری از دیگر رشتههای علمی وجود دارد. سیستمهای آشوبناک سیستمهای دینامیکی غیرخطی هستند که نسبت به شرایط اولیه حساس میباشند. حساسیت به شرایط اولیه به این معنی است که تغییرات بسیار جزیی در مقادیر اولیه یک فرآیند میتواند منجر به اختلافات چشمگیری در سرنوشت فرآیند شود. نظریه آشوب کاربردهای بسیاری در اسیلاتورها [3-1]، لیزرها 5]،[4، روباتیک [9-6]، شبکههای عصبی [ 12-10 ] و ... دارد .
با توجه به اهمیت فراوان سیستمهای آشوبناک، میتوان از روشهای تحلیلی و عددی برای حل معادلات در این سیستمهای دینامیکی غیرخطی استفاده نمود. از جمله روشهای عددی برای حل معادلات دینامیکی غیرخطی سیستمهای آشوبناک روش المان محدود میباشد که با روش رانگکوتا به حل عددی معادله دینامیکی غیرخطی میپردازد. از جمله روشهای تحلیلی که به حل معادلات غیرخطی سیستمهای آشوبناک پرداختهاند، روشهای آنالیز هموتوپی و تکرار متغیرها میباشند که با انتخاب مجموعهای از پارامترها و شرایط اولیه، توصیفکننده دینامیک آشوب در این سیستمها میباشند
نیاز به حدس اولیه برای حل، از محدودیتهای این روشها میباشد. یکی دیگر از روشهای تحلیلی برای حل معادلات سیستمهای آشوبناک روش سری مودال 3میباشد
در این مقاله، از روش تحلیلی سری مودال قطعهای 1برای حل معادلات غیرخطی سی ستم آ شوبناک 2 Four-Scrollا ستفاده می شود. روش سری مودال نخستین بار توسط دکتر پریز ارایه شدهاست
این روش ابزاری برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی میباشد که در تحلیل سیستمهای غیرخطی تحت استرس ، مسایل کنترل بهینه غیرخطی و تحلیل سیستمهای الکترونیکی و... بهکار گرفته شدهاست. روش سری مودال معادله غیرخطی را به دنباله ای از معادلات خطی مستقل از زمان تبدیل میکند. حل این دنباله از معادلات خطی به روش بازگشتی منجر به یافتن پاسخ بهفرم سری میشود. از آنجایی که سری مودال بر پایه بسط تیلور است، همگرایی آن تضمین شده است.
.2 بیان مساله
در این بخش معادلات دینامیکی غیرخطی سیستم آشوبناک Four-Scroll بهصورت زیر مورد بررسی قرار میگیرند :
سیستم - 1 - ، یک سیستم چندجملهای هشت عبارتی با سه ترم غیرخطی درجه دو و یک ترم غیرخطی مکعبی میباشد.
روشهای زیادی برای حل معادلات غیرخطی سیستم آشوبناک فوق وجود دارد که هر روش با مشکلاتی برای حل این مساله روبرو هستند. از جمله این مشکلات میتوان به غیرخطی بودن مساله، نیاز به حدس اولیه، پیچیدگی محاسباتی و مشکل همگرایی پاسخها اشاره نمود. در بخش بعد روش سری مودال قطعهای را ارایه میدهیم که بر این مشکلات فایق آید.
.3 سری مودال
در این بخش روش سری مودال قطعهای را برای حل معادلات غیرخطی سی ستم آ شوبناک Four-Scroll بهکار میگیریم. بدین منظور د ستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی - 1 - را بهصورت زیر در نظر میگیریم:
که - ∙ - ، = 1,2,3 تابعی تحلیلی با - 0,0,0 - = 0 میباشد. در گام اول از روش سری مودال، در معادله غیرخطی بسط تیلور ترمهای غیرخطی غیرچندجملهای جایگزین می شوند، اما در این م ساله ترمهای غیرخطی به صورت چندجملهای میبا شند پس نیازی به نو شتن ب سط تیلور نداریم.
میدانیم که پا سخ تابعی از شرایط اولیه و زمان میبا شد، پس پا سخ د ستگاه معادلات دیفران سیل غیرخطی فوق به شرایط اولیه 0 به صورت زیر نوشته میشود:
فرض کردیم که - ∙ - تابعی تحلیلی میبا شد، پس توابع , β, γ ن سبت به 0 تحلیلی خواهند بود. در نتیجه میتوان بسط مک لورن توابع فوق را نسبت به 0 نوشت:
جمله اول هر بسط که بیانگر پاسخ سیستم در نقطه تعادل میباشد، صفر است، پس پاسخ نهایی بهصورت زیر نوشته میشود:
همگرایی معادلات فوق ت ضمین شدها ست، چرا که این عبارات معادل با ب سط مک لورن توابع , β, γ بوده، و از آنجایی که , β, γ توابعی تحلیلی نسبت به 0 میباشند، پس قطعا همگرا میباشند. این قضیه برای هر شرط اولیه 0 معتبر میباشد، بنابراین اگر شرایط اولیه را بهصورت 0 در نظر بگیریم که ε پارامتری دلخواه است، پاسخ به شرایط اولیه جدید بهصورت زیر خواهد بود
