بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بررسي انتقال حرارت جابجايي اجباري در سيالات ويسکوالاستيک جاري در لوله
چکيده
در اين مطالعه انتقال حرارت جابجايي اجباري براي سيالات ويسکوالاستيک پيروي کننده از مدل رئولوژيکي Giesekus جاري در لوله مورد تحليل و بررسي قرار گرفته است . در اين تحقيق جريان آرام و از نظر هيدروديناميکي و حرارتي کاملاً توسعه يافته در نظر گرفته شده است . شرط مرزي حرارتي ، شار ثابت گرمايي روي ديواره لوله مي باشد. از تغييرات خواص سيال بر اثر دما و هدايت حرارت محوري صرف نظر گرديده است . گرماي توليد شده ناشي از اتلاف لزجتي (viscose dissipation) در معادله انرژي در نظر گرفته شده است . تأثير اعداد برينکمن (Br) ، وايزنبرگ (We) و پارامتر تحرک روي توزيع گرما و عدد ناسلت مورد بررسي قرار گرفته است .
نتايج حاصله حاکي از تأثير شديد اين پارامترها بر نرخ انتقال حرارت مي باشد.
واژه هاي کليدي : سيالات ويسکوالاستيک ، مدل رئولوژيکي Giesekus، انتقال حرارت جابجايي ، اتلاف لزجتي
۱- مقدمه
امروزه در فرآيندهاي مختلف صنايع شيميايي کاربردهاي فراواني در زمينه انتقال حررات براي سيالات غيرنيوتني وجود دارد. بعنوان نمونه ميتوان صنايع پليمر و صنايع غذايي را نام برد. در صنايع پليمر، مذاب پليمر جاري داخل لوله يا کانال قبل از اکستروژن معمولاً داراي دماي بالايي مي باشند، بنابراين اشراف داشتن به توزيع دما و ضريب انتقال حرارت از اهميت خاصي برخوردار مي باشد. بعلت پايين بودن هدايت گرمايي (heat conductivity) در پليمرهاي مذاب ، تغييرات دمايي در آنها بطور قابل ملاحظه اي بصورت غيريکنواخت اعمال مي گردد و اين امر مي تواند موجب ايجاد Hot spot و ناپايداري در توزيع دما شود که توليد گرماي داخلي و وابستگي خواص سيال به دما فرآيند کنترل دما را مشکلتر مي سازد. از آنجايي که در فرآيندهاي پليمري کيفيت نهايي محصول بستگي تام به توانايي ما در کنترل انتقال حرارت دارد، لذا دانش و آگاهي از چگونگي توزيع دما و ضريب انتقال حرارت جابجايي بعنوان يکي از اساسي ترين نيازها براي يک طراحي ايده آل و کارا در تجهيزات پليمري محسوب مي گردد.
اکثر کارهاي گذشته که در زمينه انتقال حرارت در سيالات غيرنيوتني انجام گرفته است ، به سيالات پاورلا مربوط ميگردد، در اين خصوص شرايط مختلفي براي حل معادله انرژي در نظر گرفته شده و از روشهاي رياضي متعددي استفاده شده است . در برخي از حل ها از ترم اتلاف ويسکوز صرفنظر شده است [۱]-[۳]. ولي در برخي ديگر اين ترم در معادله انرژي لحاظ شده است [۴]-[۶]. در مورد ترمهاي هدايت گرمايي محوري (axial heat conduction) و تغيير خواص سيال همراه دما نيز وضع بر همين منوال است ، يعني در معادله انرژي با حضور ترم هدايت گرمايي محوري حل شده است [۷]-[۹] و در [۱۰]-[۱۱] تغيير خواص سيال بر اثر دما در حل مساله لحاظ گرديده است .
در زمينه انتقال حرارت در سيالات ويسکوالاستيک کار چنداني انجام نگرفته است و کارهاي انجام شده اخير به کارهاي Pinho et al [۱۱]-[۱۳] مربوط مي شود.در [۱۲] معادله انرژي با در نظر گرفتن اتلاف ويسکوز و چشم پوشي از هدايت گرمايي محوري و ثابت در نظر گرفتن خواص سيال براي سيالات ويسکوالاستيک پيروي کننده از معادله اساسي (simplified Phan-Thien-Tanner constitutive equation)SPTT با شرط مرزي شار گرمايي ثابت در ديواره در لوله و کانال حل شده است . بعد از آن در [۱۳] مساله انتقال حرارت با شرايط کار قبل فقط با تغيير در شرط مرزي يعني استفاده از دماي ثابت در ديواره حل شده است . در [۱۱] با در نظر گرفتن تغيير خواص سيال همراه دما، مساله انتقال حرارت با استفاده از روش عددي حل شده است .
در تحقيق حاضر از معادله اساسي Giesekus براي توصيف هيدروديناميک سيال ويسکوالاستيک جاري در لوله استفاده شده است . در بخش بعدي ابتدا معادلات هيدروديناميک مساله بيان مي شود، در اين مقاله با توجه به پيچيدگي و غيرخطي بودن شديد معادله توزيع سرعت به دست آمده از حل دقيق و مشکلاتي که در حل تحليلي مواجه خواهيم شد، از توزيع سرعت تقريبي که با استفاده از سري تواني بدست آمده ، استفاده شده است . در ادامه با استفاده از اين معادله سرعت تقريبي ومعادله تنش برشي ، معادله انرژي فرموله شده و پس از حل آن توزيع دما و ضريب انتقال حرارت حاصل مي گردد. در بخش بحث و نتايج تأثير پارامترهاي اتلاف ويسکوز و الاستيسيته سيال بر روي انتقال حرارت سيال ويسکوالاستيک مورد بررسي قرار مي گيرد. با وجود کارهاي متعددي که توسط محققين در زمينه انتقال حرارت جابجايي در سيالات نيوتني و غيرنيوتني انجام گرفته است ، اما به نظر مي رسد تحقيق حاضر اولين کار در زمينه انتقال حرارت جابجايي در سيالات ويسکوالاستيک پيروي کننده از مدل Giesekus جاري در لوله باشد.
فرمولاسيون رياضي مسأله معادله اساسي مدل رئولوژيکي Giesekus بعنوان يک مدل ويسکوالاستيک غير خطي بصورت زير مي باشد.[۱۵]
که در اينجا تنسور تنش برشي ، زمان آسودگي (relaxation time)، ويسکوزيته zero-shear-rate مي باشد. همچنين t زمان ، v بردار سرعت و نرخ برش (Shear rate) مي باشد. پارامتر حرکت
برای مدل Giesekus میباشد . لازم است مقدار در محدوده باشد . در حالتی که باشد معادله اساسی Giesekus به معادله اساسی تبدیل میگردد . بعد از حل معادلات پیوستگی و ممنتم و معادله اساسي Giesekus عبارت Shear Rate بصورت زير حاصل مي گردد (مطابق معادله ۱۷ در کار Yoo and Choi )
نماي ستاره نشان دهنده بي بعد بدون پارامتر مورد نظر مي باشد، که بصورت زير تعريف مي شوند :
در اين تحقيق از شاخه بالايي حل استفاده مي کنيم جزييات در مرجع [۱۶] موجود مي باشد.
شرايط پايداري هيدروديناميکي مسأله يا به عبارت ديگر محدوديت هاي موجود بودن براي حل شاخه بالايي و پاييني در اين هندسه بصورت زير ارائه مي گردد[۱۶].
براي بدست آوردن توزيع سرعت در لوله بايد از عبارت نرخ برشي ( معادله ۵ ) انتگرال گرفته شود. در اين تحقيق براي بدست آوردن اين توزيع از شاخه بالايي حل استفاده است . شاخه پاييني حل ممکن است از نظر رياضي موجود باشد و اين در حاليکه است که امکان دارد از لحاظ فيزيکي غير واقعي باشد. مخصوصاً براي محدوده شاخه پاييني حل کاملاً غير واقعي مي باشد. براي ديدن جزئيات به مرجع [۱۶] مراجعه کنيد.
به علت اينکه توزيع سرعت حاصل [۱۷] بشدت غيرخطي مي باشد، در ادامه ، و در حل مسأله گرمايي با پيچيدگي ها و مشکلات زيادي روبه رو خواهيم شد، بطوريکه حل تحليلي مسأله را بسيار دشوار و گاهي غير ممکن مي سازد از اينرو در اينجا با استفاده از بسط تيلور، عبارت در معادله (۵) را حول نقطه صفر بسط داده و از يک تقريب براي عبارت توزيع سرعت استفاده خواهيم کرد.کارهاي پيشين در اين زمينه موجود ميباشد[۱۸]، [۱۹] و [۲۰]. بسط تيلور براي عبارت فوق الذکر بصورت زير خواهد بود:
در اين تقريب از جملات سوم به بعد نسبت به جملات اوليه چشم پوشي شده است زمانيکه عبارت کمتر از 2/1 باشد، خطاي برشي حاصل از صرف نظرِ جملات فوق ، کمتر از %۶ مي باشد. اين مقدار (۶%) نسبت به مقدار دقيق محاسبه شده است . بنابراين وقتيکه که عبارت کمتر از 2/1باشد دقت اين تقريب بيش از %۹۴ خواهد بود. با استفاده از تقريب فوق و جانشاني آن در معادله (۵) و انتگرال گيري دوباره ، معادله تقريبي توزيع سرعت در لوله به شکل زير حاصل مي گردد:
که C در عبارت فوق ثابت انتگرال گيري مي باشد، که با استفاده شرط مرزي (۱۱) حاصل مي گردد. در عبارت فوق باتوجه به اينکه We و جز معلومات مسأله محسوب مي شوند، با محاسبه G (گراديان فشار بي بعد)، توزيع سرعت بطور کامل بدست خواهد آمد. براي بدست آوردن G از تعريف سرعت متوسط استفاده مي شود، زيرا همانطور که مي بينيد، باتوجه به معادله (۵)، شرط مرزي (۱۲) نمي تواند در تعيين G مثمر ثمر باشد.
باتوجه به تعريف سرعت متوسط داريم :
که با استعمال پارامترهاي بي بعد اين معادله بصورت عبارت زير ظاهر خواهد شد:
با جانشاني توزيع سرعت از معادله (۱۰) در عبارت فوق و محاسبه انتگرال معين فوق بر حسب گراديان فشار بي بعد، مقدار G از حل معادله حاصل بدست خواهد آمد. با مشخص شدن G در يک و We داده شده ، توزيع سرعت و تنش براي جريان Poiseuille سيال ويسکوالاستيک Giesekus در لوله معلوم مي گردد. در شکل ۱ حل دقيق [۱۷] و حل تقريبي در برخي از و We داده شده در لوله مقايسه شده است . با مقايسه اين دو منحني مي توان مقايسي از خطاي تقريب استفاده شده ، بدست آورد. همانطور که از اين شکل پيداست در مقادير کوچک ، خطا قابل اغماض مي باشد و مي توان انتظار داشت با استفاده از شرط اعتبار تقريب ، حل مسأله گرمايي در قسمتهاي بعدي داراي خطاي قابل قبولي باشد.
معادله انرژي با در نظرگرفتن ترم اتلاف لزجتي و چشم پوشي از هدايت حرارت محوري (axial conductivity) براي لوله بصورت زير ارائه مي گردد:
که در اينجا Cp و k بترتيب گرماي ويژه و ضريب هدايت گرمايي مي باشد. r محور شعاعي و x محور طولي براي لوله مي باشد. تابع توليد گرماي داخلي مي باشد و بصورت زير تعريف مي شود:
شرايط مرزي حرارتي اين معادله به صورت زير بيان مي گردد:
در شرايط مرزي وقتي حرارت وارد ديوار مي شود Qw علامت مثبت مي گيرد و وقتي حرارت از ديواره خارج مي گردد علامت Qw منفي مي شود.
با فرض توسعه يافتگي کامل گرمايي جريان مي توان نوشت [۲۱]:
در اين حالت با توجه به شرط مرزي شار گرمايي ثابت در ديواره مي توانيم به رابطه زير برسيم :
که در اينجا T دماي موضعي و Tb دمال توده سيال مي باشد. با در نظر گرفتن يک المان کوچک روي محور طولي (dx) و نوشتن موازنه جرم ، عبارت بي بعد زير براي گراديان دماي توده سيال حاصل مي گردد :
با استفاده از عبارت فوق و جانشاني آن در معادله انرژي (معادله ۱۵) و بي بعد کردن آن به معادله بي بعد انرژي مي رسيم :
در اينجا Br و به ترتيب عدد برينکمن و دماي موضعي بي بعد مي باشند که بصورت زير تعريف مي شوند.
عدد برينکمن عموماً بعنوان پارامتري که اهميت نسبي گرماي حاصل از اتلاف ويسکوز را با گرماي انتقال يافته خارجي مقايسه مي کند، معرفي مي شود. در معادله (۲۲) براي ترم نيز از مقادير بي بعد استفاده شده است .
شرايط مرزي حرارتي پس از بي بعد شدن بصورت زير حاصل مي شوند:
