بخشی از مقاله
تغيير اشكال سريع و مجزاي انحرافي
خلاصه:
اين مقاله 2 روش اجرايي ديجيتالي جديد وابسته رياضيات، مشهور به (نسل دوم تغيير اشكال انحرافي) ]10 و 12[ در دو و سه بعدي، را تشريح مي‌كند. اولين تغيير شكل ديجيتالي بر اساس تغيير اشكال چها گانه سريع در فضاي نا برابر (USFFT) اجرا مي‌شود در حاليكه روش دو بر اساس پيچيدن نمونه هاي چهار گانه ويژه انتخاب شده صورت مي‌گيرد. دو روش اجرائيي الزاما بخاطر فرآيند شبكه فضائي كه براي تعبير انحرافات در هر مقدار و زاويه بكار مي‌روند ماه يكديگر متفاوت مي‌كنند
. هر دو تغيير شكل ديجيتالي جدولي از ضرايب انحناي ديجيتالي كه فهرست عوامل مقياس نيز ضميمه آنهاست را ارائه مي‌كنند، همچنين عوامل جهت يابي و عامل مكانيت فضائيي را نيز به پيوست دارند. هر دو روش اجرائي در مورد اجراي فلاپهاي O(n2log n) براي n با n با ترتيب cartesian، سرعت زيادي خواهد داشت، بعلاوه آنها قابل معكوس شدن بوده و الگوريتم معكوس و سريعي درباره آنها با تركيب و پيچيدگي يكساني وجود دارد.
تغيير اشكال ديجيتالي ما بر اساس روشهاي اجرا شده پيشين اثبات شده- بر اساس نسل اول انحرافات با اين فرض كه ازنظر مفهومي‌ساده تر، سريعتر و افزايش بسيار كمتري نيز دارند. نرم افزار curvelob كه هر دو روش اجرائي را انجام مي‌دهد نيز در اين مقاله ارائه شده و مي‌توانيد آنرا در آدرس http://www.curvelet.orgپيدا كنيد.
كلمات كليدي:
تغيير اشكال انحنائي دوم (2D) و سوم (3D)، تغيير اشكال سريع چهار گانه، تغيير اشكال چهار گانه سريع غير همسان، تقسيم سازي سطح صاف، درجه بندي، برش ديجيتالي، فيلتر كردن، پيچيدن.
دانسته ها:
E.C بطور همه جانبه توسط موسسه علوم ملي (DMS) 40698-01 (FRG) و توسط وزرات نيرو DE- FGO3-02ER مود حمايت واقع مي‌شود. L.Y. نيز به وسيله وزارت نيرو مورد حمايت قرار مي‌گيرد. ما قصد داريم تا از Felix Herrmann, Eric verschuur براي فراهم سازي تصاوير وابسته و زمين لرزه، تشكر و قدر داني نمائيم.
1- مقدمه
1-1 تحليل چند گانه كلاسيك:
در دو دهه گذشته شاهد فعاليتهاي بسيار عظيمي‌در زمينه توسعه و پيشرفت ابزار جديد رياضيات و محاسباتي بر اساس ايده هاي چند منظوره اي بوده ايم. امروزه، ايده هاي چند منظوره/ چند جانبه باعث نفوذ و پيدايش زمينه هاي زيادي از علوم و تكنولوژي عصر ما شده اند
. در علوم اطلاعاتي و به ويژه فرآيند سيگنالي، توسعه امواج و ايده هاي مربوط به منجر به ايجاد ابزار رضايت بخشي در زمينه هدايت مجموعه هاي اطلاعاتي گسترده، انتقال فشرده، و سريع اطلاعات، حذف پارازيت از سيگنال ها و تصاوير، و شناسائي عوامل نفوذي وبحراني در چنين گسترده اطلاعاتي شده است. در زمينه علوم محاسباتي، امواج ها و روشهاي چند منظوره مرتبط گاهي اوقات باعث بالا بردن سرعت علوم پايه محاسباتي همچون ارزشيابي ارقامي‌راه حلهاي معادلات مختلف، شده اند در حال حاضر، تفكر چند گانه توانسته با ليست بسيار بلندي از موفقيتهاي فشرده، حساس و مختلف همراه شود.
با وجود موفقيتهاي مشهود، تحقيقات فشرده در چند سال اخير نشان داده كه ايده هاي چند منظوه براي راه حلهاي كلاسيك تا رسيدن به مرحله قابل قبول بودن در سطح جهان هنوز فاصله زيادي دارند. در حقيقت، همانطوريكه مردم تصور مي‌كنند كه روشهاي چهار گانه براي تمامي‌اهداف مورد نظر نمي‌تواند روش خوبي باشند- و در نتيجه به معرفي سيستمهاي جديدي از جمله ريزاصلاحي مي‌پردازند محققان نيز تغييرات تناوبي را در تحليل اين امواج مشاهده كرده اند.
بعنوان مثال در فرآيند سيگنالي،يكنفر بايد با اين حقيقت كنار بيايد كه پديده هاي جالب توجه در طول انحرافها و جدا شده ها اتفاق مي‌افتد، از جمله لبه هاي يك تصوير دو بعد. در حاليكه اين امواج مطمئنا براي استفاده از لوازم مناسب مي‌باشد در جائيكه عامل ايجاد كننده پدپده از جمله، منحصر به فرد بودن، با نقاط مخصوص همراه مي‌شوند كه آن نقاط تناسب زيادي را براي كشف شدن، سازمان دهي ياارائه يك ساختار داخلي كامل و فشرده در صفحه بروز مي‌دهند. با ارائه چنين چند بعدي و ويژه و مشخص، تحقيقات بسيار گسترده اي در جهت فراهم سازي نمونه هاي تطبيق يافته بهتري با تلفيق ايده هاي هندسي با ايده هاي سنتي و قديمي‌تحليلي چند گانه، انجام گرفته است.
2-1 چرا يك منحني مجزا تغيير شكل مي‌دهد؟
يكي از اعضاء ويژه اين خانواده تغيير اشكال چند گانه هندسي، همان " تغيير اشكال انحرافي" ] 12 و 10و 8[ كه در چند سال اخير براي غلبه بر محدوديتهاي موارد ارائه شده چند گانه سنتي، از جمله امواج ها، به شدت مورد تحقيق و بررسي قرار گرفته اند.
از نظر مفهومي، تغيير شكل منحني مانند يك هرم چند معياري است كه با جهت ها و ابعاد زيادي در هر يك از مقادير طولي، و عوامل سوزني شكل در مقياسهاي مناسب قرار گرفته است. اين هرم البته استاندارد نيست. در حقيقت، منحني ها داراي خصوصيات هندسي قابل استفاده اي هستيد كه آنها را با ساير منحني ها و اشكال مشابه ديگر متمايز مي‌سازد. بعنوان مثال، منحني ها از يك رابطه مقياس سنجش پيروي مي‌كننند كه مي‌گويد
در مقياس 2 هر عامل داراي پوششي است كه در طول يك محور با خط الراس طولي 2 و پهناي 2 قرار مي‌گيرد. ما روش حل رياضي تغيير اشكال منحني هاي را به بخش 2 موكول مي‌كنيم و در عوض براي عامل اينكه چرا يك خود يابد درباره گسترش اين تغيير شكل جديد اهميت تائل شود و چرا اين عامل در پيشرفت صحيح تغيير اشكال منحني هاي مجزا اهميت فراواني دارد.
منحني ها جالب هستند زيرا آنها بصورت مناسب درباره اهميت مشكلاتي كه ايده هاي منحني ها را از ساير ايده ها متمايز مي‌كند، توضيح مي‌دهند. ما در اينجا سه مثال عنوان مي‌كنيم.
اغلب مشاهده شده كه اشياء كمتر با لبه هاي خود مشاهده ؟ منحني ها از نظر بصري مي‌تواند ارائه اشيائي كه سطح صاف و نقطه چين منحني وار را نمايش مي‌دهند- بغير از وضعيت غير مداوم در طول يك منحني را با مقدار انحناي محدود به اجرا در مي‌آورند. چنين ارائه تصويري آنقدر اندك هستند كه اگر آن شي منفرد نباشد حتي از تجزيه آن شي به روش امواج نيز ممكن است نادرست باشد.
اين موضوع داراي كاربردهاي سريعي در تئوري تقريبي داشته و در تخمينهاي ارقامي‌نيز به كار مي‌روند. در تئوري تقريبي، fm چپ، بعنوان مفهوم m- تقريبي منحني براي شي f، x2،x1 (R2) در نظر گرفته مي‌شود. سپس پراكندگي اندك عنوان مي‌كند كه اگر شي f در طول سطح كلي منحني سطح c2، ولي در ساير موارد بصورت صاف، خطاي تقريبي از فرمول زير پيروي مي‌كنيد.
و از نظر وضعيتي كه هيچ تصوير ديگري نمي‌تواند خطاي تماسي كوچكتر با تعداد مساوي دفعات ارائه كند را در ذهن ايجاد مي‌كند. كاربردهاي آن در آمار نيز اين است كه يك نفر مي‌تواند چنين اشيائي را از اطلاعات مختلف بوسيله انقباض ساده منحني پوشش داده و يك خطاي مشخصي (MSE) را از ترتيب حجم با وضعيت بهتري نسبت به آنچه بوسيله روشهاي قديمي‌تر حاصل شده را به دست آورد. در حقيقيت، بهبود وضعيت فوق از نظر فرضيه تماسي نزديك به ناپديد شدن مي‌باشد. آمار ارقامي‌حاصله از نظر بصري درباره وضعيت منحني ها به شرايط ديگري نيز خواهد انجاميد كه شامل اندازه گيري غير مستقيمي‌از يك سطح عظيم مشكلات بيمار گونه موجود، خواهند بود
2- ارائه پراكنده امواج گسترده شده مطلوب منحني مي‌توانند همچنين بعنوان ابزار بسيار مطلوبي براي تحليل و محاسبه معادلات متفاوت بخشي بكار گرفته شوند. بعنوان مثال، يك ويژگي قابل توجه اين است كه منحني ها مي‌توانند الگوي كاملي براي امواج گسترده شده باشند. در حقيقبت روش عملكرد گروهي- امواج، درباره منحني به صورت مطلوبي مي‌توانند تقريبي باشند و با كمك انتقال ساده مركز منحني در طول جريانات Hamil tonian اين مهم را ايجاد نمايند. يكي از نتايج فيزيكي اين روش اين است كه آنها مي‌توانند همانند امواج رفتار كنند، ولي بطور همزمان با مكانيت فضائي كافي همانند رفتار همزمان ذرات را نيز ارائه نمايند، ]34و [
اين موضوع كاملا مي‌توان كميتي باشد. يك سيستم متقارن از معادلات مختلف خطي را به شكل ريز در نظر بگيريد
.
فرمول
در جائيكه u مقدار بردار بعدي- m و مي‌باشد. ساير تكنيكهاي B, Ak ممكن است بر سادگي با متغيرهاي فاصله اي X وابسته بوده و Ak نيز متقارن باشد. اجازه دهيد تا Et راه حل اپراتوري باشد كه جهات؟ امواج (o, x) u در زمان صفر با ؟ امواج (t, x)u در زمان t به تصوير بكشد فرض كنيد كه چهار چوب سختي از منحني ها (مقدار برداري) باشد. سپس (5) نشان دهيد كه بردار ماتريكس بدين گونه است.
فرمول
كه پراكندگي بوده و بخوبي سازماندهي شده است. در مورد اين فرضيه كه وروديهاي ماتريكس مقدار رديفي يا ستوني با نحناي دلخواهي است كه تقريبا نيز يكسان مي‌باشند، با پراكندگي مواجه هستيم. و البته در مورد وضعيتي كه تعداد بسيار اندكي از وروديهاي غير منظور شده نزديك به مورب هاي تغيير يافته اتفاق مي‌افتند نيز با سازمان دهي و نظم خوبي قرار مي‌گيرند. بصورت غير رسمي، فردي مي‌تواند تصور كند كه منحني ها بعنوان توابع نزديك و شمابه اپراتوري راه حل در سطح گسترده اي از معاملات متفاوت اغراق آميز قرار مي‌گيرند.
از يك طرف، پراكندگي فرض شده باعث ساده شدن تحليلهاي رياضياتي شده و باعث اثبات نامعادلات شديدتري نيز خواهد شد. از طرف ديگر، ميزان پراكندگي فوق درباره دامنه منحني ها باعث ايجاد طراحي الگوريتمهاي عددي جديد به همراه خصوصيات تماسي بهتري در مورد تعداد محاسبات مورد نياز براي القايابي به جريان مورد دلخواه خواهد شد.
3- بازسازي مطلوب تصويري از مشكلات بروز يافته جدي. منحني ها همچنين داراي خصوصيات ريز ديگري نيز هستند كه باعث مي‌شود تا آنها بخصوص با مشكلات بازسازي مشخص تري بهمراه از دست رفتن اطلاعات، كنار بيابند بعنوان مثال، در بسياري از كاربردهاي بسيار مهم پزشكي، شخصي آرزو دارد تا شي را از اطلاعات ناقص و محدود مربوط به پرتو نگاري، بسازد. مشكل به روش زير فرمول سازي مي‌شود: با ، ما در اينجا فرض كرده ايم كه ما اطلاعات را از طول مشاهده كرده ايم.
فرمول
U زير مجموعه سطح ضريب پراكنده عبارتهاي مدل سازي شده براي خطا يا اندازه گيريهاي نا مشخص يا نامعين مي‌باشند. شكل در اينجا بهبود وضعيت f از مقادير پراكنده y مي‌باشد. اين موضوع به ويژه زمانيكه ما داراي اطلاعات ناكافي يا بعبارت ديگر، زمانيكه نمي‌توان باز تاب ها را در طول خط بسيار مشخصي مشاهده كرد و فقط در طول ريز مجموعه هاي آن خط قابل مشاهده باشد، از اهميت فوق العادله اي برخوردار مي‌شود.
بخاطر ارتباطش با تصاوير زيست پزشكي، اين مشكل به دقت موردمطالعه قرار گرفته است. تا كنون منحني ها مشاهدات كميتي بسيار جالب توجهي را ارائه كرده اند. بعنوان مثالف يكي از زيباترين كاربردهاي مكانيت مرحله- مكاني مربوط به تغيير شكل منحني باعث ايجاد توضيح بسيار دقيق و الزامي‌از آن خصوصيات مربوط به اشياء f شده كه مي‌توانند با استفاده از همان اطلاعات با كمال صحيح بودن مجدد بازسازي قرار گرفتند و بخوبي نيز به آن خصوصياتي كه نمي‌توانند مورد استفاده قرار بگيرند، متمايز مي‌باشند با صراحت بگويم كه، اطلاعات متصور شده هندسي باعث جدا سازي گسترش منحني اشياء به دو گروه و دسته خواهد شد.
فرمول
اولين بخش از گسترش را مي‌توان با درستي پوشش دارد در حاليكه قسمت دوم را نيم توان موضوعي كه در اينجا جالب است اين است كه، مي‌توان با دقت كامل بخش "قابل برگشت" را بازسازي كرده و با شباهت كامل كميتي وجوددارد كه براي برخي مدلهاي ارقامي‌كه باعث عدم تداوم در بازسازي شي مي‌شوند، اجازه فعاليت صادر مي‌كنند تا آن شيء كاملا بازسازي شده و تعدادي الگوريتهاي ساده اي هستند كه بر اساس ميزان انحناي ايجاد شده در بازسازي ها، و با جذب مقادير ارقامي‌به دست آمده از آن بازسازيها، مي‌توانند روش بازسازي را اصلاح كنند، به گونه اي كه ديگر هيچ عامل تخمين زدن ديگري نيز، در مورد وضعيت تماسي منحني ها، مقادير پايداري و اساسي MSE بسيار بهتري را ارائه مي‌كنند.
براي خلاصه نگاري، تغيير شكل منحني از نظر رياضي اعتبار داشتند و پتانسيل بسيار دقيق بيشتري را نسبت به روشهاي قديمي‌ارائه كرده كه در مورد ايده هاي اصلي مشابه امواج از جمله فرآيند تصوير سازي، تحليل اطلاعات و محاسباتي علمي‌با وضوح بسيار دقيق تري كاربرد خواهند داشت. براي درك بهتر اين تفكر پتانسيليف و تزريق اين تكنولوژي به سطح گسترده اي از مشكلات، ممكن است تغيير شكل انحرافي سريع و صحيحي براي عملكرد بر روي اطلاعات ديجيتالي مورد نياز باشد. اين سوژه مقالبه مي‌باشد.
فرمول
منحني ها در ابتدا دو [8] معرفي شده وتنها براي مدت 5 سال در مصارف محوري بكار گرفته مي‌شوند. ولي پس از زمان معرفي آنها به سرعت محققان الگوريتمهاي اعدادي را براي اصلاح آنها ارائه كرده ] 35و17[ و دانشمنان نيز شروع به ارائه گزارش درباره موفقيتهاي عملي اوليه آنها نمودند، براي مثال به ]19، 24، 25، 36، 37[ رجوع كنيد اكنون اين اطلاعات بر اساس ساختار اوليه آنها صورت مي‌گيرد كه از يك مرحله پيش توليد استفاده كرده و شامل مشاركت فضائي- مكني مي‌شود كه تغييرات اساسي را به دنبال داشته و به مجموعه اي از اطلاعات پايه اي اضافه گشته كه بخوبي و با نهايت دقت در فضا و جريانات اجرائي بكار مي‌روند.
البته در دو يا سه سال گذشته، منحني ها مورد طراحي مجدد قرار گرفتند تا بتوان آنها را ساده تر فهميد و به كار گرفت بعنوان نتيجه، ساختار جديد ترجيحا ساده ت و در مجموع واضح تر و كلي تر مي‌باشد. موضوعي كه جالب توجه است، اين است كه هنر معماري رياضي جديد، راهكارهاي الگوريتمي‌ابداعي را پيشنهاد كرده و اين شانس را فراهم ساختند كه نسبت به روشهاي ابتدائي، وضعيت اجرائي بهتري را دنبال كنند.
اين مقاله دو روش تغيير اشكال منحني هاي مجزاي جديدي را ارائه مي‌كند كه ساده تر، سريعتر از چالش كمتري نسبت به روشهاي موجود برخوردار مي‌باشند (FDCT,S). هر نوع FDCT ها درچرخه o(n2loqn) با نظم تركيبي n با n قرار مي‌گيرند، و بسيار دقيق و داراي الگوريتمهاي جديدتري هستند براي تكميل نتيجه نهائي، يكي از FDCT هايفوق را در نظر گرفتند، بخصوص نوع پيچيده آنرا، كه اولين نوع ؟ با تمامي‌انواع ديگر تفاوت دارد، اين روش از نوع اعدادي متساوي بوده، دوم اينكه تركيب محاسباتي تركيبي آن بصورت 6 تا 10 مرتبه بزرگتر از FFT با همين اندازه مشابه بوده و آنرا براي استفاده در وسيعترين مقياسهاي كاربردي ايده آل ؟ گزينه وانمود مي‌سازد.
فرمول
مقاله به ترتيب ريز سازمان دهي شده است. ما در فصل 2 با بيان خصوصياتي اصلي تغيير اشكال شروع كرده ايم و ساختار معماري رياضي آنها را نيز شرح داده ايم. فصل 3 اصلي ترين اهداف نهفته در USFFT را بهمراه روش اجرائي پيچيده آن بيان كرده و در فصلهاي 4 و 6 با ذكر تمامي‌جزئيات، در مورد آنها بحث شده است.
ما روش آشنائي با تغيير اشكال محاسباتي چهار گانه در مقياسهاي غير معمول را در فصل 5 بيان كرده ايم.
فصل 7 نحوه بيان و توسعه ايده هاي نهفته در روشهاي تغيير اشكال را ذكر كرده در حاليكه فصل 8 به اثبات روشهاي ما به همراه ارائه چند مثال اعدادي پرداخته است. سرانجام، ما در فصل 9 به نتيجه گيري پرداخته ايم كه در مورد مشكلات توضيحاتي قيد شده و روش ارتباط بر قرار كردن با كرا ديگران را تشريح كرده و كاربردهاي ممكن اين روشها را نيز بيان كرده ايم.
5-1 آزمايش منحني ها
نرم افزار بسته بندي شده Curvelab روش اجراي تغيير اشكال قيد شده در اين مقاله را بيان كرده و در آدرس http://www.curvelet.org براي هر دو روش USFFT بوده و تغيير اشكال نوع پيچيده را نيز بيان مي‌كند. چندين نسخه از Matlab براي تشريح چگونگي بكار گيري اين نرم افزار نيز ارائه شده اند. بعلاوه، سه روش اجرائي متفاوت درباره 3D تغيير شكل منحني مجزا نيز در كنار آن وجود دارند.
1- زمان ادامه دار تغيير اشكال منحني ها
مادر در دو جهت روي اين موضوع كار كرده ايم، مثل R2، با متغيرها فضائي x، با w بعنوان متغير ثابت جريان، و r و قطبي، كه هماهنگ كننده جريان ثابت هستند. با يك جفت از ويندوزهاي شروع كرده ايم، كه به آنها " ويندوز شعاعي" و "ويندوز زاويه اي" مي‌گوئيم. اينها هر دو داراي ارزشهاي واقعي، غير منفي و مستقيم بوده، با w بعنوان مبحث واقعي مثبت كد در حمايت شده و V مبحث واقعي و مورد حمايت توسط مي‌باشد. اين دو ويندوز هميشه از شرايط قابل دسترسي پيروي مي‌كند.
فرمول
اكنون راي هر ، ما جريان ويندوز uj كه در مقدار ثابت چهار گانه زير ذكر شده، استفاده مي‌كنيم.
فرمول
مقدار بخش داخلي مي‌باشد. بنابراين اين حمايت بعنوان قطب "مجزا" مطرح شده و توسط حمايت u, w تعريف شده است، ويندوز هاي شعاعي و زاويه اي، بهمراه ويندوز مقدار وابسته كه در هر جهت تداوم داشته باشد. براي دست يابي به مقدار حقيقي منحني ها، ما به نسخه متقارن (3و2) كار مي‌كنيم، تحت نام
شكل موج fi(x) را با مفهوم كارردي تغيير شكل چهار گانه مي‌توان تعريف نمود. ممكن است از بعنوان منحني" مادر" استفاده كنيم كه تمامي‌منحني ها در مقياس به وسيله چرخش و تغيير به دست مي‌آيند.
فرمول
به اين تذكرات، ما منحني ها را به كمك فرمول زير تعريف مي‌كنيم.
فرمول
در حالكيه مقدار چرخش با كمك شعاعهاي مي‌باشد. يك منحني همانگي مي‌تواند به سادگي بعنوان محصول داخلي بين عامل و منحني مطرح شود،
فرمول
از آنجائيكه تغيير شكل ديجيتالي منحني در يك جريان ثابت صورت مي‌گيرد، مي‌تواند براي بكارگيري توسط روش plancherel مفيد بودن و اين محصول داخلي را بعنوان انتگرال مروبط به جريان سطحي معري نمايد.
فرمول
همانطور كه در تئوري اموان نيز، ما عوامل مقياسي مختلفي را مطرح مي‌كنيم. در اينجا ويندوز عبوري- سطحي w0 را با پيروي فرمول زير معرفي مي‌كنيم.
و براي در برابر ، منحني هاي مقياسي زير را معرفي مي‌كنيم.
فرمول
بنابراين، مقدار مقياس منحني ها غير جهتي خواهند بود تغيير شكل "كامل" منحني شامل عامل مقياسي مطلوب و جهت دا مي‌باشد و مقدار- سطحي امواج پدر همسو را نيز شامل مي‌شود. اين رفتار مناسب عوامل جهت دار مقياسي- مطلوب مي‌باشد كه در اينجا مورد توجه قرار مي‌گيرد. تصوير1 عو
امل كليدي اين ساختار را بصورت خلاصه بيان كرده است.
در اينجا برخي از خصوصيات تغيير شكل محني را ذكر مي‌كنيم.
1- غالب- محكم: با شباهت بسيار زيادي كه به اصول طبيعي دارد، ما به سادگي مي‌توانيم عملكرد اختياري را بعنوان يكسري از منحني ها مطرح كنيم: ما فرمول ساختار سازي مجددي را ارائه مي‌كنيم.
فرمول
با مقدار مساوي مورد نظر در نمونه L2، و رابطه Parseval
(مجموعه آنها نيز به معرفي عوامل مقياسي- سطحي منجر خواهد شد)
2- اندازه گيري مقياسي: جريان مكانيت شامل ساختار فضائي ريز مي‌باشد: داراي سرعت زيادي بغير از به وسيله با زاويه محور اصلي در جهت عمودي مي‌باشد. بطور خلاصه، طول و عرض مطلوب آنها از رابطه مقايسي غير متقارن پيروي مي‌كنند.
فرمول
3- رفتار نوساني: همانطور كه از معني آن پيداست، در حقيقت توسط مقدار محور عمودي حمايت نمي‌شود، ولي نزديك به محور افقي قرار مي‌گيرد. بطور خلاصه، اين موضوع به آن معني است كه با وضعيت نوساني در جهت x1 و جريان آهسته تري نيز در جهت x2 قرار مي‌گيرد. بنابراين، در مقياس ، يك منحني تا حدودي سوزني در آمده كه نوك خط الراس آن با طول موثر و عرض موثر بود و
كه رفتار نوساني را در ميان جهت اصلي "خط راس" خود ادامه مي‌دهد.
3-تغيير اشكال منحني ديجيتالي
در اين مقاله، ما دو روش اجرائي مشخص و بارز در تغيير اشكال منحني هائي را كه نسبت تغييرات رياضي كه در فصل قبل نيز ذكر كرده ايم را فراموش نكرده و به آن پايبند مي‌باشند را تشريح كرده ايم. اين تغيير اشكال ديجيتالي بصورت خطي بوده و آنقدر نظم ورودي اشكال cartesian از نوع را در بر مي‌گيرند كد به ما اجازه مي‌دهد تا درباره خروجي آنها بعنوان مجموعه اي از مراحل هماهنگي كه به وسيله آنالوگي ديجيتالي (204) حاصل شده اند، استفاده كنيم.
فرمول
در حاليكه هر يك از ما بصورت امواج منحني ديجيتالي مي‌باشند، همانطور كه استاندارد مي‌باشد در محاسباتي علمي، ما حقيقتا هرگز نمي‌توانيم اين اشكال امواج مانند ديجيتالي را بسازيم كه بطور ويژه توسط الگوريتمها بصورت رسمي‌تعريف شده اند، آنها چندين رديف از ماتريسكها مي‌باشند
كه تغيير اشكال خطي را ارائه مي‌دهند و نيز بعنوان اشكال Riesz هم شناخته شده مي‌باشند، ما دقيقا اين امواج مانند ها را معرفي مي‌كنيم زيرا بدين ترتيب نحوه فعاليت آنها روشن تر شده و بخاطر اينكه آنها راه حل مناسب تري براي تشريح روابط با تغيير اشكال مداوم از نظر زماني را مطرح مي‌كنند دو روش تغيير شكل ديجيتالي از يك معماري يكسان برخوردار هستند كه در ابتدا به معرفي آن پرداخته، قبل از اينكه به تشريح اختلافات عمده آنها بپردازيم.
