تحقیق در مورد توابع مثلثاتی

word قابل ویرایش
15 صفحه
4700 تومان

توابع مثلثاتی

ارتفاع مثلث ALTITUDE OF A Triangle
هر ارتفاع مثلث، پاره خطی است که یک سر آن یک رأس مثلث، و سر دیگر آن، پای عمودی است که از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود می‎آید؛ مانند ارتفاع هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ، و که در یک نقطه مانند به نام مرکز ارتفاعی مثلث همرسند. اندازه ارتفاعهای ، و را بترتیب با ، و نشان می‎دهند.

اصل نامساوی مثلثی Axiom Triangle Inequality
هر گاه A، B و C سه نقطه دلخواه باشند، آن گاه . تساوی، وقتی برقرار است که سه نقطه روی یک خط راست، و نقطه B بین دو نقطه A و C باشد.

انتقال) توابع مثلثاتی Axiom Triangle Inequality
برای محاسبه مقادیر نسبتهای مثلثاتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم می‎توان از رابطه‎‏های زیر استفاده کرد:

توابع کسینوس و سینوس دوره‎ای، با دوره ْ۳۶۰ هستند:

تابع تانژانت دوره‎ای، با دوره ْ۱۸۰است:

همچنین از تبدیلهای زیر نیز می‎توان استفاده کرد:

اندازه زاویه Measure of an angle
نسبت آن زاویه است، به زاویه‎ای که به عنوان واحد زاویه اختیار شده است.
اندازه شعاع کره محاطی چهار وجهی منتظم
 چهار وجهی منتظم
اندازه شعاع کره محیطی چهار وجهی منتظم
 چهار وجهی منتظم

اندازه مساحت مثلث Area of a Triangle
برابر است با نصف حاصلضرب اندازه هر ضلع مثلث در اندازه ارتفاع نظیر آن ضلع. اگر مساحت مثلث ABC را با S نمایش دهیم، داریم:

با توجه به این که است، داریم:

برای محاسبه مساحت مثلث از دستور که در آن و به دستور هرون Heron مرسوم است، نیز استفاده می‎کنند.

اندازه نیمسازهای زاویه‎های برونی مثلث Measure of external angle bisectors of triangle
تصفیه: در هر مثلث، مربع اندازه نیمساز هر زاویه برونی، برابر است با حاصلضرب اندازه‎های دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید می‎آورد، منهای حاصلضرب اندازه‎های دو ضلع آن زاویه.
یعنی اگر در مثلث ABC ADنیمساز زاویه برونی A باشد داریم:

اگر اندازه نیمسازهای زاویه‎ای برونی A، B و C از مثلث ABC را بترتیب با ، da و db و dc محیط مثلث را با ‍P2 نشان دهیم، داریم:

اندازه نیمسازهای زاویه‎های برونی مثلث Measure of internal angle bisectors of triangle
قضیه: در هر مثلث، مربع اندازه نیمساز هر زاویه درونی برابر است با حاصلضرب اندازه دو ضلع آن زاویه، منهای حاصلضرب دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید می‎آورد. یعنی اگر AD نیمساز زاویه درونی A از مثلث ABC باشد، داریم:

اگر اندازه نیمسازهای زاویه‎های درونی A، B و C از مثلث ABC به ضلعهای BC=a ,AC=b و AB=c را بترتیب da، db و dc بنامیم، داریم:

تابع تانژانت Tangent function
این تابع به صورت ‎tgx = yمی‎باشد. دوره تناوب آن  است. کافی است نمودار تابع را در فاصله رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصله منحنی را در امتداد xها به اندازه  در سمت راست xها انتقال می‎دهیم؛ چون می‎باشد، منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارند و در دارای مجانب است.

تابع سینوس Sine function
این تابع به صورت y=sin x می‎باشد. دوره تناوب آن ۲ است. کافی است نمودار تابع را در فاصله رسم کنیم و برای رسم منحنی در فاصله منحنی را در امتداد xها به اندازه ۲ در سمت راست xها انتقال می‎دهیم. و برای رسم منحنی در فاصله منحنی را به اندازه ۲ در سمت چپ xها انتقال می‎دهیم. تابع روی در ماکزیمم نسبی و در می‎نیمم نسبی و در x= دارای عطف می‎باشد.

تابع کتانژانت Cotangent function
این تابع به صورت y=cotg x می‎باشد. دوره تناوب آن  است. کافی است نمودار را در فاصله رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصله منحنی را در امتداد xها به اندازه  در سمت راست xها انتقال می‎دهیم؛ چون می‎‏باشد. منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارد و در و دارای مجانب و در عطف دارد.

تابع کسینوس Cosine function
این تابع به صورت y=socx می‎باشد. دوره تناوب آن ۲ است. کافی است نمودار را در فاصله رسم نماییم و برای رسم منحنی در فاصله منحنی را به اندازه در سمت چپ xها انتقال می‎دهیم.
تابع روی در می‎نیمم نسبی و در و دارای عطف می‎باشد.

تابع مثلثاتی Trigonometric function
تابعهایی که ضابطه آنها به کمک نسبتهای مثلثاتی تعریف شده باشد.
هر یک از تابعهای زیر مثلثاتی است:

توابع مثلثاتی ()
توابع f(x)= sin x و g(x)=cos x و h(x) tgx و (x)=cotg x یا ترکیبی از آنها را توابع مثلثاتی نامند. مثلاً تابع مثلثاتی می‎باشد.
مثال ۱: دامنه تابع گنگ مثلثاتی روی کدام است؟

مثال ۲: برد تابع برابر است با:

مثال ۳: برد تابع کدام است؟

مثال ۴: مطلوب است نمودار در یک دوره تناوب

توابع معکوس مثلثاتی Inverse trigonometric functions
1.تابع با ضابطه در فاصله یک به یک بوده و دارای معکوسی به صورت یا و نمودار آن و مشتق آن می‎باشد.
۲٫تابع با ضابطه به ازاء ، تابع یک به یک بوده، معکوس آن وجود داشته به صورت یا و نمودار آن و مشتق آن به صورت می‎باشد.
۳٫ تابع با ضابطه به ازاء تابع یک به یک بوده و معکوس آن به صورت یا x=tg y و نمودار آن و مشتق آن می‎باشد.
۴٫ تابع با ضابطه y=cotg x به ازاء یک به یک بوده و معکوس آن به صورت یا و نمودار آن و مشتق آن می‎باشد.

حالتهای تشابه دو مثلث
۱٫اگر دو زاویه از یک مثلث، با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند.
۲٫اگر یک زاویه از یک مثلث، با یک زاویه از مثلث دیگر برابر، و ضلعهای مجاور به این زاویه در دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند.
۳٫اگر سه ضلع از یک مثلث، با سه ضلع نظیر آنها از مثلث دیگر متناسب باشند.
حالتهای همنهشتی دو مثلث States of congruent triangles
دو مثلث در یکی از سه حالت زیر همنهشت خواهند بود:
حالت اول. هر گاه دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی، با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر، نظیر به نظیر مساوی باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و و و این دو مثلث همنهشتند.
حالت دوم. اگر دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی، با دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF و این دو مثلث همنهشتند.
حالت سوم. هرگاه سه ضلع از مثلثی، نظیر به نظیر با سع ضلع از مثلثی دیگر، مساوی باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.

حد توابع ساده مثلثاتی
حد و حد

حد حد ()

این حدود نشان می‎دهند تابع و در هر نقطه پیوسته و تابع f(x)=tg x روی فاصله ( ) پیوسته و تابع f(x)=cotg x روی فاصله ( ) پیوسته است.
مثال: مطلوب است ( ) حد، با استفاده از قضایای حدود داریم:

حد

خطهای همرس در مثلث Concurrent lines in a triangle
1.سه عمود منصف ضلعها،
۲٫سه نیمساز زاویه‎های درونی،
۳٫نیمسازهای دو زاویه برونی با نیمساز زاویه درونی سوم،
۴٫سه ارتفاع،
۵٫سه میانه.

دایره‎های محاطی برونی مثلث Excircles
دایره‎هایی هستند که بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مثلث مماسند. مرکز این دایره‎ها، نقطه‎های برخورد نیمسازهای دو زاویه خارجی و نمیساز زاویه درونی سوم است. هر مثلث سه دایره محاطی برونی دارد. شکل صفحه بعد، دایره محاطی برونی مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان می‎دهد.

دایره مثلثاتی Reigonometric circle
دایره‎ای به شعاع واحد است که روی آن نقطه‎ای به عنوان مبدأ و جهتی به عنوان جهت مثبت حرکت، اختیار شده باشد. در حالت عمومی، انتهای سمت راست قطر افقی را به عنوان مبدأ حرکت (نقطه A) و خلاف جهت حرکت عقربه‎های ساعت را جهت مثبت اختیار می‎کنند.

دایره محاطی داخلی مثلث Inscribed circle
دایره‎‏ای است که بر ضلعهای مثلث مماس است. مرکز این دایره، محل برخورد نمیسازهای زاویه‎ای داخلی مثلث است.

دایره محیطی مثلث Circumscribed circle
دایره‎ای است که بر سه رأس مثلث می‎گذرد. مرکز آن، نقطه بر خورد عمود منصفهای ضلعهای مثلث است.

دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک Classic trigonometric systems
برای حل دستگاه‎های مثلثاتی چند مجهولی، هیچ‎گونه قاعده کلی که در حل تمام دستگاه‎ها بتوان از آن استفاده کرد، وجود ندارد. ولی در این مورد، برای حل دستگاه‎های چند مجهولی مثلثاتی، می‎توان دستگاه‎های دو معادله دو مجهولی را به سه نوع کلاسیک دسته‎بندی کرد و طریقه حل هر یک را در حالت کلی بیان کرد.
۱-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع اول:

برای حل این نوع دستگاه‎ها از اتحادهای تبدیل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده می‎کنیم. برای مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنیم:

بنابر این،‌دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده زیر تحویل می‎شود:

۲-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع دوم:

برای حل این نوع دستگاه‎ها،‌ از اتحادهای تبدیل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده می‎کنیم. برا مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنی:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده زیر تحویل می‎شود:

از جمع معادله‎های این دستگاه، نتیجه می‎شود:

۳-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع سوم:

برای حل این نوع دستگاه‎های مثلثاتی، در دو طرف معادله دوم دستگاه، به وسیله ترکیب نسبت در صورت و تفضیل نسبت در مخرج، آن را به صورت کسری که در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتی همنام است، تبدیل می‎کنیم و پس از تبدیل صورت و مخرج کسر به حاصل ضرب، با استفااده از مقدار را تعیین نموده و از آن جا مقادیر x و y از حل یک دستگاه ساده به دست می‎آیند.
برای مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنیم:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده صفحه بعد تحویل می‎شود:

مثالی دیگر:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه ساده زیر تحویل می‎شود:

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 4700 تومان در 15 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد