دانلود مقاله تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

بخشی از مقاله

تعاريف و ويژگي‌هاي بنيادي توابع مثلثاتي
1.1. اندازه كمان بر حسب راديان، دايره مثلثاتي
دانش‌آموزان اولين چيزي را كه در مطالعه توابع مثلثاتي بايد بخاطر داشته باشند اين است كه شناسه‌هاي (متغيرهاي) اين توابع عبارت از اعداد حقيقي هستند. بررسي عباراتي نظير sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهي اوقات به نظر دانشجويان دوره‌هاي پيشدانگاهي مشكل مي‌رسد.

با ملاحظه توابع كماني مفهوم تابع مثلثاتي نيز تعميم داده مي‌شود. در اين بررسي دانش‌آموزان با كماني‌هايي مواجه خواهند شد كه اندازه آن‌ها ممكن است بر حسب هر عددي از درجات هم منفي و هم مثبت بيان شود. مرحله اساسي بعدي عبارت از اين است كه اندازه درجه (اندازه شصت قسمتي) به اندازه راديان كه اندازه‌اي معمولي‌تر است تبديل مي‌شود. در حقيقت تقسيم يك دور دايره به 360 قسمت (درجه) يك روش سنتي است. اندازه زاويه‌ها برحسب راديان بر اندازه طول كمان‌هاي دايره وابسته است.

در اينجا واحد اندازه‌گيري يك راديان است كه عبارت از اندازه يك زاويه مركزي است. اين زاويه به كماني نگاه مي‌كند كه طول آن برابر شعاع همان دايره است. بدين ترتيب اندازه يك زاويه بر حسب راديان عبارت از نسبت طول كمان مقابل به زاويه بر شعاع دايره‌اي است كه زاويه مطروحه در آن يك زاويه مركزي است. اندازه زاويه برحسب راديان را اندازه دوار زاويه نيز مي‌گويند. از آنجا كه محيط دايره‌اي به شعاع واحد برابر است از اينرو طول كمان برابر راديان خواهد بود. در نتيجه برابر راديان خواهد شد.

مثال1-1-1- كماني به اندازه يك راديان برابر چند درجه است؟
جواب: تناسب زير را مي‌نويسيم:
اگر باشد آنگاه يا را خواهيم داشت.
مثال 2-1-1 كماني به اندازه راديان برابر چند درجه است؟
حل: اگر و باشد آنگاه

2- دايره مثلثاتي. در ملاحظه اندازه يك كمان چه بر حسب درجه و چه برحسب راديان آگاهي از جهت مسير كمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهميت است. مسير كمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حركت عقربه‌هاي ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته مي‌شود. در حاليكه در جهت حركت عقربه‌هاي ساعت منفي منظور مي‌شود.

معمولاً انتهاي سمت راست قطر افقي دايره مثلثاتي به عنوان نقطه مبدأ اختيار مي‌شود. نقطه مبدأ دايره داراي مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان مي‌دهيم. همچنين نقاط D,C,B از اين دايره را بترتيب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داريم.
دايره مثلثاتي را با S نشان مي‌دهيم. طبق آنچه كه ذكر شد چنين داريم:

3- پيچش محور حقيقي به دور دايره مثلثاتي. در تئوري توابع مثلثاتي نگاشت از R مجموعه اعداد حقيقي روي دايره مثلثاتي كه با شرايط زير انجام مي‌شود نقش اساسي را ايفا مي‌كند:
(1) عدد t=0 روي محور اعداد حقيقي با نقطه : A همراه مي‌شود.

(2) اگر باشد آنگاه در دايره مثلثاتي نقطه را به عنوان نقطه مبدا كمان AP1 در نظر گرفته و بر محيط دايره مسيري به طول T را در جهت مثبت اختيار مي‌كنيم، نقطه مقصد اين مسير را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روي دايره مثلثاتي همراه مي‌كنيم. يا به عبارت ديگر نقطه Pt تصوير نقطه A=P0 خواهد بود وقتي كه صفحه مختصاتي حول مبدا مختصاتي به اندازه t راديان چرخانده شود.
(3) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محيط دايره در جهت منفي، مسيري به طول را مشخص مي‌كنيم. فرض كنيد كه Pt نقطه مقصد اين مسير را نشان دهد و نقطه‌اي متناظر به عدد منفي t باشد.

همانطوريكه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P اين نكته را مي‌رساند كه نيم‌محور مثبت اعداد حقيقي در جهت مثبت بر روي S مي‌خوابد؛ در حاليكه نيم‌محور منفي اعداد حقيقي در جهت منفي بر روي S مي‌خوابد. اين نگاشت بك‌بيك نيست: اگر به عدد متناظر باشد يعني اگر F=P باشد آنگاه اين نقطه نيز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقيقت با افزودن مسيري با طول (در جهت مثبت و يا در جهت منفي) به مسيري به طول t مجدداً به نقطه F خواهيم رسيد. نگاره وارون كامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.
توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt كه متناظر به اين عدد است يكي در نظر گرفته مي‌شود، با اين حال مسائل بايد به موضوع مطروحه نيز توجه كرد.
مثال4-1-1- همه اعداد را كه متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آوريد.
حل: بدليل رابطه زير نقطه F عملا روي S قرار دارد:

فرض مي‌كنيم كه Y,X پاي عمودهاي مرسوم از نقطه F بر روي محورهاي مختصاتي OX و OY باشند (شكل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوي‌‌الساقين قائم‌الزاويه خواهد بود: بدين ترتيب اندازه كمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر مي‌شود.
يك تابع متناوب داراي دورهاي تناوب نامتناهي است؛ به اينصورت كه بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددي بصورت كه در آن به صورت يك عدد صحيح است تابع داراي يك دوره تناوب مي‌شود. كوچكترين دوره تناوب مثبت يك تابع متناوب را دوره تناوب بنيادي مي‌نامند.
قضيه1-1. توابع و با دوره تناوب بنيادي متناوب هستند.

قضيه 2-1. توابع و با دوره‌ تناوب بنيادي متناوب هستند.
برهان قضاياي 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهاي سينوس، كسينوس، تانژانت و كتانژانت، و نيز به كمك دايره مثلثاتي مي‌توان بطور عادي اثبات كرد. براي اعداد حقيقي فقط يك نقطه PX روي دايره مثلثاتي متناظر است از اينرو اين اعداد داراي سينوس‌ها و كسينوس‌هاي يكساني هستند. در همان حال هيچ عدد مثبت كوچكتر از نمي‌تواند دوره تناوب توابع باشد. در حقيقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اينرو به عدد T نقطه Pt با مختصات (1,0) متناظر بوده و در نتيجه عدد T داراي شكل خواهد بود؛ و بدليل مثبت بودن آن را داريم. بطريق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه بوده و به عدد نقطه با مختصات (0.1) متناظر مي‌شود. از اينرو يا يعني را خواهيم داشت.

براي اثبات قضيه 2-1 به اين نكته توجه مي‌كنيم كه نقاط به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد نيمدور از محيط دايره مثلثاتي را نشان مي‌دهد) بنابراين مختصات نقاط pt+ و pt از نظر قدر مطلق برابر بوده و داراي علائم مختلف خواهند بود. يعني خواهيم داشت.


بنابراين دوره تناوب tan t و cot t محسوب مي‌شود.
مثال 1-3-1: دوره تناوب بنيادي تابع f(t)= cos t +sin t را بيابيد.
حل: بدليل رابطه تابع / متناوب است:
هيچ عدد مثبت T كوچكتر از بدليل

دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمي‌شود. در حقيقت اعداد و مخالف صفر بوده و علائم مختلفي دارند و اعداد و بر هم منطبق بوده و از اينرو داريم:

2- زوج بودن و فرد بودن. بخاطر داشته باشيد كه تابع f در صورتي زوج خوانده مي‌شود كه به ازاء هر x حوزه تعريف آن -x نيز به آن حوزه متعلق بوده و تساوي
F(-x)=-f(x)
برقرار باشد. تابع f در صورتي فرد خوانده مي‌شود كه تحت همان شرايط بالا تساوي
F(-x)=-f(x)

برقرار مي‌شود. يك جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت و يك جفت مثال در مورد توابع فرد را مي‌توان بصورت ارائه داد. توجه داشته باشيد كه بسياري از توابع فرد و نه زوج هستند. به عنوان مثال تابع
بدليل اينكه به ازاء و است روج محسوب نمي‌شود. بطريق مشابه بدليل تابع x فرد نيز نيست.
قضيه 3-1. توابع sinx، tanx، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.
برهان: كمان‌هاي APT و AP-T را در دايره مثلثاتي كه داراي جها مخالف و اندازه‌هاي مساوي هستند در نظر مي‌گيريم (شكل 11) اين كمانها نسبت به محور طول‌ها متقارن بودهخ و از اينرو نقاط انتهايي آنها يعني PT(COSt, sin t), p-t(cos (-t), sin (-t) داراي طول‌هاي مساوي و عرض‌هاي متقابل هستند؛ يعني: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتيجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از اين گذشته طبق تعريف تانژانت و كتانژانت با شرط در اينجا نيز چنين داريم:
Tan(-t)=
و با شرايط (در اينجا نيز است داريم:

بدين ترتيب توابع tan t و cot t نيز فرد محسوب مي‌شوند.
مثال4-3-1. ثابت كنيد تابع (t)= sin3 2t cos4t +tan 5t فرد است.
اثبات. توجه داريد كه به ازاء هر t از حوزه تعريف تابع ( يعني با شرط .چنين داريم:

3- يكنواختي. تابع f كه دربازه x تعريف شده در صورتي در اين بازه افزايشي صعودي خوانده مي‌شود كه به ازاء هرگونه اعدادي مانند با شرط نامساوي برقرار باشد؛ و اگر بين اين مقادير تابع نامساوي ضعيف، يعني برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزايشي خوانده مي‌شود. تعريف باتع كاهشي و تابع ناكاهشي نيز بطريق مشابه قابل ارائه است. ويژگيهاي افزايشي يا كاهشي بودن يك تابع يكنواي آن تابع نيز ناميده مي‌شود. بازه‌اي كه در آن تابعي افزايش يا كاهش پيدا مي‌كند بازه يكنوايي آن تابع خوانده مي‌شود.

يكنوايي توابع sin t و cos t را مورد بررسي قرار مي‌دهيم. بر روي دايره مثلثاتي و در جهت مخالف حركت عقربه‌هاي ساعت (يعني در جهت مثبت) نقطه pt با حركت از نقطه A=P0 به سوي نقطه (0,1) نمو پيدا كرده و به سمت چپ تغيير مكان مي‌دهد.
يعني با افزايش T عرض نقطه نيز افزايش مي‌يايد، در حاليكه طول آن كاهش مي‌يابد. عوض PT مساوي SIN T از 0 تا 1 افزايش مي‌يابد و تابع cos t نيز از 1 تا 0 كاهش پيدا مي‌كند.
قضيه 4-1. در بازه تابع sin t از 0 تا 1 افزايش مي‌يابد، در حاليكه تابع cos t از 1 تا 0 كاهش پيدا مي‌كند. در بازه تابع sin t از 1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا -1 كاهش مي‌يابد. در بازه تابع sin t از 0 تا -1 كاهش و تابع cos t از -1 تا 0 افزايش پيدا مي‌كنند. در بازه تابع sin t از -1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا 1 افزايش مي‌يابد.

برهان: استدلال اين قضيه بصورت نموداري ارائه شده است. در اين اشكل نقاط در صدق مي‌كنند.
قضيه5-1. تابع tan t در بازه افزايش و تابع cot t در بازه كاهش مي‌يابد.
برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار مي‌دهيم. نشان مي‌دهيم كه به ازاء هرگونه اعدادي بصورت t1 و t2 كه در صدق مي‌كند نامساوي برقرار است. سه حالت مورد ملاحظه قرار مي‌دهيم: آنگاه براساس قضيه 1.4 چنين داريم:

از اينجا نتيجه مي‌شود. بنابراين خواهد بود. . در اين حالت و . بوده و از اينرو
خواهد بود. طبق قضيه 1.4. داريم:

بنابراين يعني حاصل مي‌شود. اثبات حكم مربوط به cot t نيز بطريق مشابه انجام مي‌گيرد.
مثال 5-3-1. ثابت كنيد توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه كاهش مي‌يابند.
برهان: اگر طبق باشد آنگاه بر اساس قضيه 1.4 خواهد بود. توجه داريم كه نقاطي از محيط دايره مثلثاتي متناظر به اعداد sin t1, sin t2, cos t1, cos t2 در ناحيه اول قرار دارند. دليل امر اين است كه اين اعداد در بازه بسته قرار داشته و است. بنابراين مي‌توان مجدداً قضيه 1.4 را بكار گرفت كه به موجب آن به ازاء هر اعدادي مانند و با شرط نامساوي‌هاي زير متقاعد مي‌شوند:

يعني sin(cos t) و cos(sin t) در بازه توابعي كاهشي هستند.
4- رابطه بين توابع مثلثاتي يك شناسه (متغير). اگر به ازاء مقدار معيني از متغير مثلثاتي مربوط به آن معلوم باشد تحت شرايط معيني مي‌توان مقادير ديگر توابع مثلثاتي آن متغير را بدست آورد. با تقسيم طرفين اين اتحاد بر cos2 t (با شرط ) چنين بدست مي‌آيد:
(1.10)

در اين رابطه است. با استفاده از اين اتحاد مي‌توان مقدار tan t را محاسبه كرد با اين شرط كه مقدار cos t را نيز مي‌توان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه كرد.
4-1. حل توابع مثلثاتي ساده. توابع مثلثاثي معكوس.
1. حل معادله ARE SINE. SIN T= M.
براي حل معادلاتي به شكل SIN T=M لازم است كه همه اعداد حقيقي مانند T را طوري بياييم كه عرض نقطه pt متناظر به آنها برابر m باشد. براي انجام اين كار خط مستقيم y=m را رسم كرده و نقاط تلاقي آن را با دايره مثلثاتي بدست مي‌آوريم.

معادلات و دستگاه‌هاي معادلات مثلثاتي
1-3. كليات
براي حل معادلات مثلثاتي روش كلي وجود ندارد و در هر مورد خاص تبديلات و فرمول‌هاي معيني بايد بكار گرفته شود.
مثال 1-1-3. معادله زير را حل كنيد:
Sinx+7cosx+7=0

در نتيجه معادله زير حاصل مي‌شود:

اين معادله با و در نتيجه با هم ارز است. با اين چون فرمول‌هاي جايگذاري عمومي فقط به ازاء xهايي كه را تعريف‌پذير مي‌سازند يعني فقط به ازاء ، كاربرد پذيراند از اينرو استدلال فوق نادرست است.
2-3. روش‌هاي اصلي در حل معادلات مثلثاتي
1. حل معادلات مثلثاتي از طريق تحويل آنها به معادلات جبري، اين روش وسيعاً مورد استفاده قرار مي‌گيرد و در آن معادله اصلي به معادله‌اي به شكل
(3.4)
تحويل مي‌يابد. در اين معادله f(x) يك چند جمله‌اي و f(t) يك تابع مثلثاتي است.
اگر x1, x2, ….,xm ريشه‌هاي چند جمله‌اي F يعني اگر
F=(X1)=0, F(X2)=0,…,F(XM)=0
باشد آنگاه معادله تبديل يافته (3.4) به m معادله ساده تجزيه مي‌شود:

مثال1-2-3. معادله زير را حل كنيد:
Cos 2t- 5sin t-3=0
حل، طبق فرمول (2.39) چنين داريم:
1-2 sin2 t-5sin-3=0
يا 2 sin2t + 5sint +2=0 با منظور كردن x=sint معادله اصلي شكل جبري زير را اختيار مي‌كند: 2x2+5x+2=0
با حل اين معادله x1=-1/2,x2=-2 وصول مي‌يابيم. همه تبديلات انجام گرفته وارون پذير بوده و بنابراين معادله اصلي به دو معادله ساده بصورت زير تجزيه مي‌شود:
و
معادله دوم به دليل فاقد جواب بوده و از اينرو sin t=-1/2 را يعني:

را اختيار مي‌كنيم
3-3-3-. حل معادلات و دستگاه‌هاي معادلات مثلثاتي چند مجهولي.
وجود دومجهول و يا بشتر در معادلات و دستگا‌ه‌هاي معادلات مثلثاتي مشكلات معيني به همراه دارد. جواب يك چنين معادله يا دستگاه بصورت مجموع‌اي از مقادير متغيرها تعريف مي‌شود و از اين مقادير معادله يا هر يك از معادلات دستگاه را به يك تساوي عددي تبديل مي‌كنند. در حل معادله يا دستگاه معيني بايد همه چنين مجموعه‌ها يافته شوند.

بنابراين در حل اينگونه مسائل اگر جواب هر يك از مجهولات ديگر بيان كرده و از اين طريق به حذف آن از دستگاه مبادرت كنيم. روش ديگر در حل دستگاههاي معادلات مثلثاتي عبارت از تحويل آن به دستگاه معادلات چيزي است كه در آن تعدادي توابع مثلثاتي به عنوان مجهولات جديد شركت مي‌كنند. همچون معادلات مثلثاتي يك مجهولي، در مورد دستگاه‌ها نيز مي‌توانيم تبديلات همانندي براي تجزيه يك يا چند معادله دستگاه به معادلات ساده‌اي از نوع1- sin (x+2y)= tan (x-y)= و غيره انجام مي‌دهيم.
مثال1-3-3. دستگاه معادلات زير را حل كنيد:


حل، از معادله اول دستگاه نتيجه ميشود كه بوده و دو حالت در اينجا ممكن مي‌گردد: اگر sin x=0 باشد آنگاه اين معادله به يك اتحاد تبديل مي‌شود و اگر باشد آنگاه معادله مزبور cos y=0 را موجب مي‌شود. در نتيجه دستگاه مطروحه با مجموعه دو دستگاه زير هم ارز خواهد بود:

و

دستگاه اول فاقد جواب0) (cos 2y+2 بوده در حاليكه دستگاه دوم با دو معادله زير هم‌ارز است:
}
در نتيجه مجموع همه جوابهاي دستگاه اصلي شامل ازواج عددي مانند (x,y) بصورت زير خواهد بود:

1-4. نمودار توابع اساسي مثلثات.
قبل از هر چيز خاطرنشان مي‌سازيم كه نمودار تابع f با حوزه تعريف D(f) بصورت مجموعه‌اي از نقاط با مختصات (x,y) بر روي صفحه مختصاتي با شرط y=f(x) تعريف مي‌شود. اين تعريف هميشه بايد در اثبات ويژگي‌هاي نمودار تابع و ملاحظه اعمال مربوط به رسم نمودارها مورد استناد قرار گيرد.
1. ويژگي‌ها و رسم نمودار تابع f(x)=sin x.

(1) حوزه تعريف تابع عبارت از D(f)=R و مجموعه مقادير آن عبارت از E(f)=[-1,1] است.
(2) تابع sin x يك تابع متناوب است. هر عددي بصورت و دوره تناوب اين تابع بوده و دوره تناوب بنيادي آن محسوب مي‌شود(به موضوع شماره 1 بخش 1.3 مراجعه كنيد.) بنابراين در رسم نمودار اين تابع مي‌توان آن را را ابتدا در بازه بسته با طول رسم كرده و سپس اين نمودار را در امتداد محورxها با دوره تناوب تكرار كنيم، دليل امر اين است كه همه نقاطي به شكل:

مقاديري همسان به مقدار نقطه (x,sinx) بر روي منحني تابع دارند.
(3) تابع sin x يك تابع فرد بوده و از اينرو نمودار آن نسبت به مبدا متقارن خواهد بود. در حقيقت به ازاء هر نقطه‌اي مانند (x, sin x) بر روي نمودار، نقطه (-x, -sinx)=(-x,sin(-x) كه بوسليه كاربرد تقارن مركزي نسبت به نقطه (x, sin x) بدست آمده است روي نمودار مزبور واقع خواهد شد. در نتيجه براي رسم نمودار تابع در بازه كافي است كه آن را در بازه رسم كرده و سپس تقارن مركزي آن را نسبت به مبدا بنگاريم.

(4) درباره نمودار تابع با محور xها داراي دو نقطه مشترك (0,0) و است. بطور كلي تساوي sin x=0 با هم ارز محسوب مي‌شود.
(5) تابع sin x در بازه افزايش و در بازه كاهش مي‌يابد. اين امر بدين معني است كه اگر باشد آنگاه و اگر باشد آنگاه:
sin x1 sin x2 خواهد بود. از اينرو نتيجه مي‌شود كه نقطه ماگزيمم تابع sin x است. حال نمودار تابع sin x را طي مراحل چندگانه رسم مي‌كنيم.



0 (x)
0


1


0 Sin x

روي صفحه مختصاتي نقاطي به شكل (x, sin x) را كه در آن x اعدادي از جدول فوق است مشخص كرده و سپس آنها را روي يك خط خميده بهم وصل مي‌كنيم. تقارن مركزي اين بخش از نمودار را نسبت به نقطه o (مبدا) پيدا مي‌كنيم. سپس قطعه حاصله (يعني قطعه قبلي و متقارن آن) از نمودار تابع را با دوره تناوب روي محور xها تكرار مي‌كنيم. بدين ترتيب نمودار تابع sin x حاصل مي‌شود. آن را منحني سينوسي يا منحني جيب‌نما مي‌نامند.

در روش ديگر براي رسم نمودار تابع، محاسبه مقادير منفرد تابع sin x لازم نمي‌شود. در اين روش از دايره مثلثاتي استفاده مي‌گردد. براي اين منظور بازه را نصف مي‌كنيم. توجه داشته باشيد كه بعد از مشخص كردن نقطه روي محور xها همه ترسيمات ديگر بوسيله خط‌كش و پرگار انجام مي‌گيرد.
توجه داشته باشيد كه تابع sinx روي بازه‌اي به شكل: :
از 1 تا -1 كاهش مي‌يابد. مقدار بيشينه sinx=1 در نقاط و و مقدار كمينه sin x= -1 در نقاط بدست مي‌آيد.
2- ويژگي‌ها و نمودار تابع f(x) =cos x.

نمودار تابع cos x با استفاده از اتحاد sin (x+ فرمول تحويل به بهترين روش ممكن رسم مي‌شود. از اين اتحاد استنباط مي‌شود كه نمودار تابع sin x از انتقال نمودار تابع cos x به اندازه روي محورxها به طرف چپ حاصل مي‌شود. در به ازاء هر نقطه‌اي مانند x) (x, sin از نمودار تابع sin x نقطه . روي نمودار تابع cos x قرار دارد . دليل امر رابطه زير است: عكس اين نكته نيز درست است: به ازاء هر نقطه‌اي مانند (x,cosx) از نمودار تابع cos x نقطه روي منحني تابع sinx قرار دارد. دليل اين موضوع، است.

3- تابع cos x يك تابع زوج بوده و نمودار آن نسبت به محور عرض‌ها متقارن محسوب مي‌شود: اگر نقطه (x,cosx) روي نمودار تابع cosx واقع باشد آنگاه نقطه نيز روي آن قرار خواهد گرفت.
4- COS X=0 به ازاء و
5- تابع COS X در هر بازه‌اي به شكل و از 1 تا -1 كاهش و در هر بازه‌اي به شكل از -1 تا 1 افزايش مي‌يابد. به ازاء و مقدار بيشينه 1 را اختيار مي‌كند.
2-4. محاسبه حدود.
تئوري حدود در تبيين مفاهيم اساسي پيوستگي و ديفرانسيل‌پذيري يك تابع و يافتن مشتق‌ها و انتگرال‌ها نقش اساسي دارد. ما با مسائلي از قبيل يافتن حدود تابعي برحسب عبارات مثلثاتي در نقاط معيني مواجه مي‌شويم.

تعريف. فرض مي‌كنيم كه تابع f(x) D تعريف شده باشد. نقطه a را طوري انتخاب مي‌كنيم كه هر همسايگي آن نقاط بيشماري از D(f) را شامل شود. (اين نقطه را نقطه انباشتگي يا نقطه حدي مجموعه D(f) ناميده مي‌شود.) آنگاه عدد b حد تابع f(x) در نقطه a ناميده مي‌شود با اين شرط كه به ازاء هر عدد مثبت عدد مثبتي مانند 8 وجود داشته باشد بطوريكه به ازاء هر نقطه‌اي مانند كه در صادق است نامساوي برقرار باشد. حد يك تابع را بصورت زير مي‌نويسيم:

تعريف. تابع f(x) با شرط lim f(x)= f(a) در نقطه‌اي مانند پيوسته خوانده مي‌شود.
قضيه 1-4. توابع sin x,cos x, tan x, cot