تحقیق در مورد فیبوناچی رشته ای از اعداد

word قابل ویرایش
13 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

فیبوناچی رشته ای از اعداد

سری فیبوناچی رشته ای از اعداد است که توسط لئونارد فیبوناچی دا پیزا ریاضی دان قرن سیزدهم کشف شد (در اصل پس از یک دانشمند ایرانی دوباره کشف شد.) ما کمی از پیشینه تاریخی این مرد اعجاب انگیز نقل می کنیم و بعد از آن در مورد این سری که باعث شهرت او شد صحبت می کنیم. زمانی که اسم کوچک الیوت مشغول تدوین تئوری خود بود مبنای محاسبات خود را سری ریاضی فیبوناچی قرارداد و این سری پایه قواعد موج شد.

در اوایل سال های ۱۲۰۰ لئونارد فیبوناچی از شهر پیزا کتاب معروف خود – کتاب محاسبات – را چاپ کرد که بزرگ ترین کشف تاریخ تا آن زمان را به اروپاییان نشان می داد. در این کتاب سیستم ده دهی برای اولین بار نامگذاری شد و عدد صفر به عنوان مبدا در این مقیاس به کار گرفته شد.

قبل از این تاریخ عددگذاری و شمارش با سیستم یونانی و رومی انجام شد که جمع و تفریق کردن و ضرب و تقسیم آن کار ساده ای نبود. مخصوصاً زمانی که محاسبه گر با اعداد بزرگی سروکار داشت. در پی تلاش های فیبوناچی و همین طور ساده تر شدن محاسبات با این سیستم سرانجام سیستم رومی با سیستم محاسباتی هند و عربی جدید جایگزین شد. معرفی سیستم جدید به اروپا اولین دستاورد ریاضی از زمان سقوط رم باستان در ۷۰۰ سال قبل بود.

اگرچه بعدها تاریخ فیبوناچی را فراموش کرد اما این ادعای درستی است که بگوییم فیبوناچی بزرگ ترین ریاضی دان قرون وسطی بود.

سری فیبوناچی

در کتاب لیبرآباکی معمایی حل شده که جواب آن رشته اعدادی به این شرح است:

۱ و ۱و ۲ و ۳و ۵ و ۸ و ۱۳و ۲۱ و ۳۴ و ۵۵ و ۸۹ و ۱۴۴و الی بی نهایت که امروزه به عنوان سری فیبوناچی شناخته می شود. معما به این شرح بوده است:

در یک محیط بسته از یک جفت خرگوش چند جفت خرگوش می توان به دست آورد. اگر هر جفت در هر ماه یک جفت دیگر به دنیا بیاورد و هر جفت تولیدمثل را از ماه دوم زندگی خود آغاز کند؟

برای حل معما باید متوجه باشیم که هرجفت خرگوش یک ماه طول می کشد تا به حد بلوغ برسد و دوران بارداری نیز یک ماه طول می کشد پس تعداد خرگوش ها در دو ماه اول ثابت می ماند (یک ماه برای به بلوغ رسیدن و یک ماه طول دوره بارداری) پس سری به صورت ۱و ۱ تا آخر ماه دوم می شود. این جفت طی ماه دوم باردار می شوند و در ابتدای ماه سوم یک جفت دیگر به دنیا می آورند. پس تعداد جفت ها در ماه سوم برابر با ۲ است همین جفت در ماه آینده نیز جفت

دیگری را به دنیا می آورند جفت دیگر نیز طی این ماه به بلوغ می رسد. پس تا انتهای ماه چهارم سری به صورت ۱و۱و۲و۳ می شود تا انتهای ماه پنجم از سه جفت حاضر دو جفت قبلی دوباره باردار می شوند و دو جفت جدید به دنیا می آورند پس تعداد جفت های خرگوش ها به ۵ می رسد و سری به صورت ۱ و ۱و ۲و۳ و۵ می شود. در ماه بعدی سه جفت از خرگوش ها فرزند به دنیا می آورند و سری به صورت ۱و ۱و ۲و۳ و۵ و۸ در می آید و به همین ترتیب پیش می رود.

برخی از جذابیت های ریاضی سری فیبوناچی

۱- حاصل جمع هر دو عضو پیاپی در این سری عضو بعدی (بزرگ تر) در این سری می شود. به ترتیب ۱ به علاوه یک می شود ۲ که دو به علاوه یک می شود سه که سه به علاوه ۲ می شود پنج و باز پنج به علاوه ۳ می شود ۸ و به همین ترتیب ادامه می یابد.

۲- یکی از ویژگی های این سری این است که هر عضو به توان دو برابر است با عضو قبلی ضرب در عضو بعدی به علاوه یا منهای ۱:

…..،۵۵،۳۴،۲۱،۱۳،۸،۵،۳،۲،۱،۱

۱+۸*۳= ۵ T5

۱-۳ ۱*۵= ۸ ۸ T

۱+۱۲*۸ = ۱۳* ۱۳

…..،

۳- عدد فی، نسبت طلایی: بعد از پشت سر گذاشتن چند عضو از اعضای سری نسبت هر عضو به عضو بزرگ تر بعدی مانند نسبت ۰۶۱۸/۰ به ۱ می شود و هر عضو نسبت به عضو کوچک تر قبلی مانند نسبت ۱۶۱۸/۱ به ۱ می شود. با پیش روی در سری این نسبت دقیق تر می شود. این نسبت را فی نام گذاری کردند که عددی لایتناهی است… ۰۶۱۸۰۳۴/۰

فی تنها عددی است که حاصل جمع آن با عدد یک برابر معکوس آن است:

۰۶۱۸/۱=۰۶۱۸۸/۰ + ۱

این سری جذابیت های ریاضی دیگری هم دارد که در اینجا به جهت اطاله کلام از ذکر آن ها خودداری می کنیم. آن ها به این عدد نسبت طلایی می گویند

هر طولی را می توان با استفاده از این نسبت به دو قسمت کوچک تر و بزرگ تر تقسیم کرد که نسبت قسمت بزرگ تر به قسمت کوچک تر برابر ۰۶۱۵۸/۰ باشد.

این نسبت در طبیعت به کرات دیده می شود. ویلیام هوفر در دسامبر سال ۱۹۷۵ در مجله اسمیتسون می نویسد:… نسبت ۰۶۱۸۰۳۴/۰ به ۱ پایه ریاضی شکل های روی کارت های بازی و معبد خدایان یونان- گل آفتابگردان میوه درخت کاج گلدان های یونانی و شکل منظومه راه شیری (اسپیرال) است. خیلی از هنرها و صنایع دستی یونانی ها مبنایش همین نسبت است.

در حقیقت بدن انسان نیز از هر نظر چه حجم و نگاه خارجی و چه از نظر ساختار اعصاب یکی از تابلوهای زیبای این نسبت الهی است.

انسان از ناف به نسبت فی تقسیم می شود. در موسیقی ارتعاش نت ای به نت سی ۰۶۲۵۰۰/۰ است که تنها ۰۰۰۶۹۶۶/۰ با نسبت طلایی فاصله دارد. این نسبت نقش پیچیده ای در پدیده هایی مانند ساختار کریستال ها، سال های نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شکست نور در شیشه ترکیب های موسیقی ساختار سیاره ها و حیوانات بازی می کند. علم ثابت کرده است که این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلق جهان است.

مستطیل طلایی

مستطیل هایی که اضلاع آن ها بر پایه نسبت طلایی ساخته شده باشند نسبت ۱۶۱۸/۱ به ۱ مستطیل هایی طلایی نام دارند.

کارهای هنری زیادی می توان با شناخت مستطیل های طلایی انجام داد. لئوناردو داوینچی یکی از افرادی بود که ارزش والای نسبت طلایی را فهمید و آن را نسبت بسیار مناسبی دانست.

از زمانی که هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلایی کردند نشان داده شد که مخاطبان شیفتگی و شیدایی بیشتری نسبت به کارهای آن ها از خود نشان دادند. مستطیل های طلایی مانند نسبت طلایی فوق العاده ارزشمند هستند. در بین مثال های بی شمار از وجود این نسبت و یکی از برجسته ترین آن ها مارپیچ های DNA است. این دو مارپیچ فاصله دقیقی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ می کنند و دور یکدیگر می تابند.

در حالی که نسبت طلایی و مستطیل طلایی جلوه های زیبایی را از طبیعت و ساخته های دست انسان به نمایش می گذارد، جلوه دیگری از این شکوه وجود دارد که زیبایی های تحرک را به نمایش می گذارد. یکی از بزرگ ترین نمادهایی که می تواند رشد و حرکات کاینات را نشان دهد، اسپیرال طلایی است.

اسپیرال طلایی

با استفاده از مستطیل طلایی می توان اسپیرال طلایی را ترسیم کرد. هر مستطیل طلایی می تواند به مربع هایی تقسیم شود و مستطیل های طلایی جدیدی را به وجود بیاورد و این کار از نظر تئوری می تواند تا بی نهایت ادامه پیدا کند. در هر مرحله از سیر اسپیرال نسبت طول کمان به قطر آن ۱۶۱۸/۱ است. قطر و شعاع در چرخش نیز با نسبت ۱۱۶۱۸ نسبت به قطر و شعاع ۹۰ درجه آن سوتر متناسب هستند.

اسپیرال طلایی که به آن اسپیرال لگاریتمی و اسپیرال متساوی الزاویه نیز می گویند هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می توان به هر یک از دو سو تا بی نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می شود همان منظره ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می رویم، دارد. دیوید برگامینی در کتاب ریاضیاتش خاطرنشان می کند که منحنی ستاره های دنباله دار از خورشید کاملای شبیه به اسپیرال لگاریتمی است. عنکبوت شبکه تارهای خود را به صورت اسپیرال لگاریتمی می بافد. رشد باکتری ها دقیقاً براساس رشد منحنی اسپیرال است. هنگامی که سنگ های آسمانی با سطح زمین برخورد می کنند، مسیری مانند اسپیرال لگاریتمی را طی می کنند.

میوه درخت کاج، اسب های آبی، صدف حلزون ها، صدف نرم تنان، موج های اقیانوس ها، سرخس ها، شاخ های جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ های گل آفتابگردان و چیدمان گل مروارید همه به صورت اسپیرال لگاریتمی است. گردباد و منظومه ها از نگاه بیرون کاملاً در مسیری به صورت اسپیرال حرکت می کنند.

فیثاغورث برای تشریح نظم مجموعه ای شامل ۵ ستاره را انتخاب کرد که هر کدام نسبت به ستاره کوچک تر از خود براساس نسبت طلایی بود. ریاضی دان معروف قرن هفدهم، جاکوب برنولی اسپیرال طلایی را روی سنگ قبر خود حکاکی کرد. اسحاق نیوتن اسپیرال طلایی مشابهی را بر بالای تخت خواب خود حکاکی کرد (این تختخواب امروز در انجمن تحقیق روی جاذبه زمین در نیوبوستن وجود دارد.)

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 13 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد