بخشی از پاورپوینت
--- پاورپوینت شامل تصاویر میباشد ----
اسلاید 1 :
مقدمه
رفتار يك متغير تصادفي با تابع توزيع احتمال آن توضيح داده مي شود.
تابع توزيع احتمال را مي توان در قالب شكل، هيسنوگرام، جدول يا يك فرمول رياضي بيان نمود.
گاهي نتايج حاصل از آزمايشهاي آماري كه داراي فضاي نمونه گسسته هستند داراي رفتار عمومي از نوع خاصي هستند.
lمثل: رفتار عمومي تمامي ازمايشهايي كه تنها يك نتيجه موفقيت يا شكست دارند.
در نتيجه اين متغيرها داراي توزيع جرمي احتمال يكساني هستند كه با آن مي توان رفتار متغير تصادفي را توضيح داد.
با در دست داشتن توزيع هاي جرمي احتمال مهم كه مدلهاي احتمال گسسته ناميده مي شوند مي توان رفتار بسياري از متغيرهاي تصادفي گسسته را توضيح داد.
در اين فصل در مورد مدلهاي احتمالي كه بيشترين كاربرد را در علوم مهندسي، مديريت و تحقيق در عمليات دارند بحث مي گردد.
اسلاید 2 :
توزيع يكنواخت گسسته
خواص توزيع يكنواخت گسسته
قضيه: ميانگين و واريانس توزيع يكنواخت گسسته با پارامتر n عبارت است از
lاثبات:
اسلاید 3 :
توزيع يكنواخت گسسته
خواص توزيع يكنواخت گسسته
lگر برد مقادير متغير تصادفي X كه داراي توزيع يكنواخت گسسته است شامل مقادير صحيح a,a+1,…,b باشد آنگاه داريم
lثبات:
قضيه: تابع مولد گشتاور توزيع يكنواخت گسسته به صورت زير است:
اسلاید 4 :
توزيع برنولي
گاهي يك آزمايش آماري از دنباله اي از آزمايشهاي كوچكتر تشكيل مي شود كه هر يك مي تواند فقط دو نتيجه به دو صورت موفقيت(S) و شكست(F) تلقي شود.
مثلا در يك نمونه 10 تايي از قطعات هر يك از آنها يا سالم است يا خراب اگر سالم بودن را موفقيت و خراب بودن را شكست تلقي كنيم آنگاه آزمايش ما به 10آزمايش كوچكتر تقسيم مي شود كه فقط مي تواند دو نتيجه داشته باشد.
اگر متغير تصادفي X را براي يك آزمايش برنولي طوري تعريف كنيم كه به ازاي نتيجه موفقيت مقدار يك و به ازاي نتيجه شكست مقدار صفر بگيرد توزيع احتمال جرمي X عبارت است از
f(0)=P(X=0)=P(F)=1-p
f(1)=P(X=1)=P(S)=p
اسلاید 5 :
توزيع برنولي
خواص توزيع برنولي
قضيه 1: ميانگين و واريانس توزيع برنولي با پارامتر p به ترتيب p و p(1-p) است.
اثبات:
lقضيه 2: تابع مولد گشتاور يك توزيع برنولي با پارامتر p عبارت است از M(t)=pet+(1-p)
lاثبات:
اسلاید 6 :
üتوزيع برنولي
oخواص توزيع برنولي
lتوزيع برنولي در حيطه وسيعي مانند كنترل كيفيت، پزشكي، پايايي قطعات و سيستمها و ... به كار مي رود.
l مثلا يك تلكوپ فضايي يا يك نيروگاه اتمي را در نظر بگيريد كه از n قطعه تشكيل شده است كه مي تواند سالم يا خراب باشد. حالت قطعه iام مي تواند به وسيله يك متغير تصادفي برنولي Xi نمايش داده شود كه Xi=1 نشاندهنده سالم بودن قطعه iام و Xi=0 مبين خراب بودن آن است در اين صورت پايايي قطعه iام ((Pi به صورت Pi =P(Xi=1)=E(Xi) تعريف مي شود. حالت كل سيستم نيز مي تواند به وسيله متغير تصادفي برنولي X كه X=1 در حال كار بودن سيستم و X=0 كار نكردن سيستم را نشان مي دهد نمايش داده شود. در اين حالت پايايي سيستم به صورت R=P(X=1)=E(X) تعريف مي گردد.
lحالت كل سيستم (X) تابع سيستم نام دارد و خود تابعي از حالتهاي قطعات سيستم است.
lسيستم هاي متشكل از n قطعه سه نوعند:
–سيستمهاي سري: موقعي كار مي كنند كه تمام قطعات آن كار كند.
–سيستمهاي موازي: موقعي كار مي كنند كه حداقل يكي از قطعات آن كار كند.
–سيستمهاي –k از n-: موقعي كار مي كند كه حداقل k قطعه از n قطعه كار كند.
اسلاید 7 :
üتوزيع برنولي
oخواص توزيع برنولي
lتابع سيستم سيستمهاي سري عبارت است از X=(X1)(X2)…(Xn)
lتابع سيستم سيستمهاي موازي عبارت است از
X=1-(1-X1)(1-X2)…(1-Xn)
lتابع سيستمهاي –kاز n- مانند هواپيمايي كه اگر دست كم دو موتور از سه موتورش سالم باشد كار مي كند عبارت است از
X=X1X2X3+X1X2(1-X3)+X2X3(1-X1)+X1X3(1-X2)
lسيستمها بايد طوري طراحي شوند كه خراب شدن يكي از قطعات مستقل از خرابي ديگر قطعات باشد يعني خرابي قطعات بايد مستقل از هم لحاظ شود.
lبا فرض مستقل بودن متغيرهاي تصادفي پايايي به شكل زير خواهد بود:
–پايايي سيستم سري عبارت است از
R=E(X)=E[(X1)(X2)…(Xn)]=E(X1)E(X2)...E(Xn)=p1p2p3…pn
–پايايي سيستم موازي عبارت است از
R=E(X)=E[1-(1-X1)(1-X2)…(1-Xn)]=1-E(1-X1)E(1-X2)…E(1-Xn)
=1-(1-p1)(1-p2)…(1-pn)
–پايايي براي يك سيستم -2 از -3 به صورت زير است:
R=E(X)=p1p2p3+p1p2(1-p3)+p2p3(1-p1)+p1p3(1-p2)
اسلاید 8 :
توزيع برنولي
خواص توزيع برنولي
lمثال 7: با فرض اينكه هر يك از قطعات متشكله يك سيستم موازي از يك توزيع برنولي با پارامتر p برخوردارند
–الف: اين سيستم چند قطعه داشته باشد تاپايايي آن دست كم برابر 0.99 باشد؟
–ب: اگر اين سيستم 3 قطعه داشته باشد پارامتر توزيع برنولي را طوري به دست آوريد تا پايايي سيستم 0.99 گردد.
lپاسخ:
اسلاید 9 :
توزيع دوجمله اي
برخي از آزمايشهاي آماري از تعدادي آزمايش مستقل برنولي تشكيل مي شود كه احتمال موفقيت در آنها دچار تغيير نمي گردد در اين صورت با يك فرآيند برنولي يا فرآيند دوجمله اي مواجهيم.
تعريف: يك فرآيند برنولي(دوجمله اي) به اندازه n(n يك عدد صحيح و مثبت) بايد داراي ويژگي هاي زير باشد:
آزمايش آماري از n آزمايش تكرار شونده كوچك تشكيل شود.
lنتيجه هر يك از آزمايشهاي كوچك بتواند به صورت شكست يا موفقيت تعريف شود.
احتمال موفقيت (p) در ازمايشهاي كوچك ثابت بماند.
آزمايشهاي كوچك مستقل از هم باشند.
اگر متغير تصادفي X به عنوان تعداد موفقيتهاي يك فرآيند برنولي به اندازه n در نظر گرفته شود، گفته مي شود X توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p يعني b(x;n,p) دارد و توزيع برنولي با پارامتر p حالت خاصي از مدل احتمال دوجمله اي با پارامترهاي p و n=1 است
اسلاید 10 :
توزيع دوجمله اي
تابع توزيع جرمي احتمال يك متغير تصادفي دوجمله اي با پارامترهاي n و p عبارت است از:
oنام توزيع از قضيه بسط دوجمله اي آمده است:
