بخشی از مقاله
خلاصه:
در این مقاله، حل تحلیلی میدان دما در استوانه توو خالی تحت شرایط مرزی آمیخته - روبین - در مرز داخلی و خارجی، ارائه شده است. استوانه بصورت همگن و خواص فیزیکی آن مستقل از دما در نظرگرفته شده است. با تفکیک جواب مساله به دو جواب که یکی از آن ها وابسته به مکان و زمان و دیگری فقط وابسته به مکان می باشد، مشکل ناهمگن بودن شرایط مرزی بر طرف شده و با استفاده از روش تفکیک متغییرها،وپدید آمدن یک سری فوریه جدید که بر حسب توابع بسل حاصل شده است حل تحلیلی آن قسمت از جواب که وابسته به مکان و زمان می باشد، میسر شده است. در ادامه برای بررسی رفتار سری حاصل شده یک تابع دلخواه، با جملات این سری بسط داده شده است که مشاهده می شود انطباق بسیار خوبی بین سری و تابع وجود دارد. سپس توزیع دما برای دو مساله با شرایط اولیه مختلف ترسیم شده است.
کلمات کلیدی: استوانه توخالی، هدایت حرارتی، میدان حرارتی، جدایی متغییرها، شرایط مرزی آمیخته، سری فوریه
.1 مقدمه
تاکنون حل معادله گرما به منظور به دست آوردن توزیع دما در استواته توو خالی برای شرایط مرزی مختلف شامل دیریکله ناهمگن، نیومن ناهمگن و روبین همگن در یک مرز برای مسایل یک بعدی و چند بعدی از روش های تحلیلی و عددی مختلف، در مقالات گزارش شده اند که در اینجا به بعضی از آنها اشاره میکنیم. هسلر [1] در سال 1947 میدان دمای ناپایدار را در استوانه بلند و توپر، کره توپر و دیوار تخت بینهایت، با شرایط مرزی همگن بدست آورده است. تروستل [2] تنشهای ایجاد شده در اثر بارهای حرارتی مختلف را مورد بررسی قرار داده است. همچنین اوزیسک [3] توزیع دمای گذرا در استوانه تو خالی و تو پر تحت شرایط مرزی پریودیک محاسبه کرده است. مقیمی [4] در سال 1383 حل تحلیلی دما وتنش ناشی از آن در کره توخالی تحت شرایط مرزی پریودیک را بدست آورد.
.2تعیین معادلات حاکم بر مساله
معادله هدایت حرارتی یک بعدی گذرا برای یک استوانه بلند ، بدون چشمه حرارتی و خواص ثابت عبارت است از: پارامتر G در این رابطه ضریب نفوذ حرارتی می باشد. شرایط مرزی مساله که به فرم آمیخته می باشد، به این شکل فرضشده است:مقادیر D و E به ترتیب شعاع های داخلی و خارجی استوانه می باشند. کمیت .L +L در روابط بالا نسبت رسانندگی حرارتی لوله به ضریب انتقال حرارت جابه جایی است. پارامترهای J1 و J2 مقادیری ثابت، در نظر گرفته شده اند. شرط اولیه مساله به این صورت می باشد:
.3حل تحلیلی میدان دما:
به منظور حل تحلیلی معادله - 1 - ، با شرایط مرزی مذکور، دو حل برای مساله در نظر میگیریم؛ حل حالت پایدار Ɵ0 - U - و حل در شرایط گذرا Ɵ1 - U'W - ، به عبارت دیگر حل کلی معادله - 1 - بصورت زیر در نظر گرفته می شود:با جانشینی این حل در معادله اصلی به دو معادله تفکیک شده زیر خواهیم رسید: مشاهده می شود که معادله - 5 - ، یک معادله همگن مستقل از زمان و معادله - 6 - ، یک معادله همگن وابسته به زمان با شرایط مرزی همگن می باشد.
.1-3حل قسمت پایا:
معادله - 5 - یک معادله اویلر می باشد که جواب آن به این صورت می باشد:که ضرایب A و B ثابت های حل می باشند، با اعمال شرایط مرزی مربوط به معادله - 5 - ، خواهیم داشت: شرط وجود جواب برای دستگاه معادلات جبری - 8 - این است که دترمینان ضرایب معادلات مخالف صفر باشد یعنی:
با برقرار بودن این شرط، ضرایب A و B به صورت زیر محاسبه می شوند:
در نهایت جواب قسمت پایدار مساله با توجه به معادلات - 7 - و - 10 - ، به این صورت خواهد شد:
.2-3حل قسمت گذرا:
به منظور حل قسمت گذرای مساله یعنی معادله - 6 - ، از روش تفکیک متغییرها استفاده می کنیم:
با جانشینی معادله - 12 - در معادله - 6 - ، خواهیم داشت:
