دانلود مقاله بررسی خواص مقدماتی و رفتار فرایندهای شاخه ای گالتون – واتسون

word قابل ویرایش
58 صفحه
6700 تومان

بررسی خواص مقدماتی و رفتار فرایندهای شاخه ای گالتون – واتسون

چکیده
هدف از این تحقیق بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی با تابع خانواده زیر جمعی و احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است.
مدلی از فرآیند شاخه ای دو جنسی مفروض است به طوری که توزیع زاد و ولد به اندازه جمعیت بستگی دارد. همچنین حالت خاص را در نظر می گیریم که در آن نرخ رشد جمعیت (میانگین توزیع زاد و ولد)، وقتی به میل می کند .

برای این نوع از فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی شرط لازم برای همگرایی فرآیند در و ارائه می گردد.
همچنین شرط کافی برای همگرائی در به دست خواهد آمد.

مقدمه
تا کنون مطالعات زیادی روی نحوه رشد جمعیت و احتمال انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد انجام شده است. در حالت دوجنسی (که مدل مناسبی برای جامعه انسانی است) تعمیم این قضایا لازم به نظر می رسد. زمانی که ما چگونگی رشد جمعیت را بدانیم، می توانیم زمان انقراض رفتار مجانبی رشد جامعه را بررسی کنیم و مدل مناسبی برای آن بدست آوریم.
فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون دو جنسی اولین بار توسط دالی در سال ۱۹۶۸ و پس از آن توسط آسمونس در سال ۱۹۸۰ تعریف و بررسی شد. دالی نشان داد که فرآیند شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی یک زنجیر مارکوف با ماتریس احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای با فضای حالت صحیح و نامنفی است.

در نظریه فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد می دانیم که فرآیند با احتمال ۱ منقرض می شود اگر و فقط اگر میانگین تولید مثل برای هر فرد دلخواه کمتر از ۱ باشد.
حال ما می خواهیم بدانیم «آیا قوانین متشابهی برای احتمالات انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی وجود دارد؟»

در سال ۱۹۶۸ دالی یک شرط لازم و کافی برای احتمال انقراض ۱ برای فرآیندهای با توابع خانواده خاص به دست آورد.
هدف از این تحقیق معرفی فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی و فرآیند زوجهای هم خانواده و بیان ویژگی های آنها و مقایسه احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است ابتدا شروط انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی را بررسی می کنیم سپس قوانین کلی انقراض و در نهایت گشتاورهای فرآیند و برخی خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم.

فصل اول

فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد

۱-۱-مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
۱-۲-فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد

مقدمه
هدف از این فصل ارائه مطالب کلی و مورد نیاز برای مطالعه فصل های بعدی می باشد در بخش اول برخی از تعاریف و قضایای مقدماتی را که بعداً به آنها نیاز خواهیم داشت بررسی می کنیم و در بخش دوم فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد و برخی خواص عمومی آن را مورد مطالعه قرار می دهیم.

۱-۱- مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف ۱-۱-۱: یک فرآیند تصادفی عبارتست از گرد آیه ای مانند از متغیرهای تصادفی ، که در یک فضای احتمال مشترک و با مقادیر در فضای حالت S تعریف می‌شوند. T زیر مجموعه‌ای از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبیر می‌شود .
هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان پیوسته می نامند و هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان گسسته نامند.
معمولاً اگر فرآیند را به صورت نمایش می دهند.

فرآیند مورد نظر ما در این رساله فرآیند با زمان گسسته است.
تعریف ۱-۱-۲: فرض کنید فرآیند تصادفی با زمان گسسته و فضای حالت شمارای S باشد گوئیم این فرآیند یک زنجیر مارکوف است اگر به ازای هر و هر و y از حالتها، رابطه زیر برقرار باشد:
(۱-۱)

یعنی فقط اطلاع از حالت فرآیند در مرحله n برای تعیین توزیع حالت فرآیند در مرحله کفایت می کند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.
احتمال شرطی را احتمال انتقال یک مرحله ای از x در مرحله n ام به y در مرحله ام می نامیم. احتمالات انتقال را با نشان می‌دهیم بنابراین:

ماتریس را که درایه های آن احتمالهای انتقال یک مرحله است ماتریس احتمال انتقال یک مرحله ای می‌نامیم.
سطر x ام این ماتریس احتمالهای انتقال از x به یکی از حالتهای زنجیر در یک مرحله است، اگر احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان مستقل باشد گوئیم فرآیند مارکوف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد.

تعریف ۱-۱-۳: فرض کنید دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده بر فضای احتمال باشد. همچنین دنباله ای از میدانهای باشد که برای هر n داشته باشیم :

است اگر:
یک زیر مارتینگل نسبت به است اگر :
آ.به ازاء هر n.، روی اندازه پذیر باشد.
ب : به ازاء هر n ،
ج : به ازاء هر n ،
هر گاه یک زیر مارتینگل باشد ، آنگاه یک زیرمارتینگل است .
هر گاه و یک زیر مارتینگل باشند آنگاه یک مارتینگل نسبت به می باشد .
تعریف ۱-۱-۴ : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشند ،‌دنباله همگرای a.s. به متغیر تصادفی X است اگر :

تعریف ۱-۱-۵ : فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد . گوئیم این دنباله در به متغیر تصادفی X همگراست هر گاه :

تعریف ۱-۱-۶ : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد دنباله همگرا در احتمال به متغیر تصادفی X است . هر گاه بازاء هر

لم ۱-۱-۱ : فرض کنید متغیرهای تصادفی در یک فضای احتمال باشند ، اگر وقتی همگرا در به X باشد‌ ، آنگاه همگرا a.s. به X است .
لم ۱-۱-۲ : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد . اگر وقتی ، همگرایی a.s. به X باشد آنگاه همگرا در احتمال به X است .
لم ۱-۱-۳ : (قضیه همگرائی مارتینگل ها) : آ : فرض کنید یک زیر مارتینگل صادق در :

باشد . در این صورت یک متغیر تصادفی متناهی مانند X وجود دارد که با احتمال یک به همگراست یعنی
(۱-۲)
لم ۱-۱-۴ : (نامساوی جانسن) : آ : متغیر تصادفی X مفروض است . اگر g(x) تابعی مقعر باشد آنگاه :

ب : متغیر تصادفی X مفروض است . اگر g(x) تابعی محدب باشد آنگاه :

لم ۱-۱-۵ : به فرض f انتگرالپذیر و نزولی بر باشد ، و در این صورت :

اگر و فقط اگر :

لم ۱-۱-۶ : فرض کنید f تابع نزولی مثبت باشد . در این صورت برای هر و داریم :

لم ۱-۱-۷ : فرض کنید f(x) یک تابع مثبت و نزولی بر باشد بطوریکه xf(x) صعودی باشد و . همچنین فرض کنید دنباله ای از اعداد مثبت باشد . اگر به ازاء یک و هر داشته باشیم .

آنگاه : آ : موجود است .
ب: ای که فقط به f و m بستگی دارد موجود است به طوریکه اگر آنگاه .

۱-۲- فرایندهای شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد :
فرآیندهای شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد را می توان به شکل زیر تشریح کرد : فرض می کنیم فرآیند در نسل آغازین (صفر ام) N عضو داشته باشد ، یعنی در نسل صفر پس از یک نسل هر فرد با احتمال ، k فرزند به وجود می آورد . یعنی که در آن تعداد فرزندان فرد ام است . عده‌ نسل اول خواهد بود . لذا تعداد فرزندان نسل آغازین و اندازه جمعیت در نسل اول خواهد بود . اگر آنها را ۱ و ۲و … و بنامیم هر فرد به تعداد فرزند بوجود می آورد . پس عده نسل دوم برابر است با و نسل ادامه می یابد . به طور کلی :

تعریف ۱-۲-۱ : فرض کنیم موجود زنده ای در پایان عمرش تعداد تصادفی نوزاد با توزیع احتمال :
(۱-۳)
به وجود می آورد که در آن و همچنین تمام فرزندان مستقل از هم عمل می کنند و در آخر عمرشان فرزندانی بر طبق توزیع احتمال (۱-۳) خواهند داشت . بدین ترتیب نسلشان ادامه خواهد یافت .
اندازه جمعیت در نسل n‌ام و تعداد فرزندان خانواده k ام از نسل nام است .
; (۱-۴)
(با مجموع تهی تعریف شده صفر)
را فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد می نامیم .
اصولاً فرایندهای شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد با ۲ پارامتر زیر مشخص می‌شوند :‌
۱- : اندازه جمعیت در نسل‌آغازین
۲- : قانون احتمال زاد و ولد . یعنی احتمال اینکه یک فرد دلخواه n فرزند داشته باشد است .
لم ۱-۲-۱ : فرض می کنیم فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد باشد . یک زنجیر مارکف با فضای حالت صحیح و نامنفی است . همچنین وضعیت صفر ، وضعیت جاذب است و احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای مانا است .
تعریف ۱-۲-۲ : برای فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد تابع مولد احتمال نسل nام را با نمایش داده و تعریف می کنیم :
(۱-۵)

بنابراین خواهیم داشت :
(۱-۶)
یعنی توزیع را یافته ایم .
لم ۱-۲-۲ : برای فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد به همواره رابطه زیر برقرار است :
(۱-۷)
لم ۱-۲-۳ : با شرایط لم (۱-۲-۲) برای هر رابطه زیر برقرار است :
(۱-۸)
(۱-۹)

اگر به جای داشته باشیم آنگاه
و (۱-۱۰)
زیرا
با فرض رابطه (۱-۷) برقرار است . اما رابطه (۱-۸) و (۱-۹) دیگر برقرار نخواهد بود. رابطه (۱-۸) به ازاء برقرار خواهد بود . از این به بعد فرض می کنیم ، مگر آنکه عکس این مطلب بیان شود .
لم ۱-۲-۴ : فرض می کنیم و موجود و متناهی باشد آنگاه :
آ : (۱-۱۱)
یعنی رشد متوسط جمعیت نمائی است .
ب:
= (۱-۱۲)

تعریف ۱-۲-۳ : احتمال انقراض در نسل n ام را با نمایش می دهیم و برابر است با :
(۱-۱۳)
از رابطه (۱-۱۳) به راحتی به دست می آید :
(۱-۱۴)
زیرا :
لم ۱-۲-۵ : فرض می کنیم فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد باشد و احتمال انقراض در نسل n ام باشد ، در این صورت موجود است . که در آن q کوچکترین ریشه مثبت معادله می باشد .
تعریف ۱-۲-۴ : q را احتمال انقراض نهائی می نامیم و تعریف می کنیم :
(۱-۱۵)
لم ۱-۲-۶ : برای هر فرآیند گالتون – واتسون استاندارد رابطه زیر برقرار است .
(۱-۱۶)
که در آن
لم ۱-۲-۷ : برای هر فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد داریم :
(۱-۱۷)
تعریف ۱-۲-۵ : در فرایندشاخه ای گالتون – واتسون استاندارد ، را به شکل زیر تعریف می کنیم به طوریکه
لم ۱-۲-۸ : در یک فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد ، دنباله یک مارتینگل است .
لم ۱-۲-۹ : در یک فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون استاندارد ؛ وقتی ، دنباله به صورت a.s. ، همگرا به یک متغیر تصادفی متناهی و نامنفی مانند w است .

برهان : یک مارتینگل است پس با توجه به قضیه همگرائی مارتینگلها یک متغیر تصادفی متناهی مانند w موجود است به طوریکه :

فصل دوم

فرآیند های شاخه ای گالتون – واتسون دوجنسی (GWBP) تعاریف و خصوصیات اصلی

۲-۱- فرآیند های شاخه ای گالتون – واتسون دوجنسی (GWBP)
2-2 توابع خانواده زیر جمعی
۲-۳ فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده

مقدمه :
در این فصل ابتدا تعریف فرآیند های شاخه ای گالتون – واتسون را می آوریم سپس به خصوصیات اصلی و پارامترهای آن می پردازیم . در ادامه تابع خانواده زیر جمعی را تعریف می کنیم و در نهایت فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده را بررسی می کنیم هدف کلی از این فصل درک مفاهیم کلی درباره فرآیند های شاخه ای گالتون – واتسون دوجنسی که تابع خانواده زیر جمعی دارند می باشد .

۲-۱-فرآیند های شاخه ای گالتون – واتسون دو جنسی (GWBP)
فرآیند های شاخه ای گالتون – واتسون دوجنسی را می توان به صورت زیر خلاصه نمود : تولید مثل موفق یک روند تکاملی شامل تعداد زنان و تعداد مردان می باشد که زوج را تشکیل می دهند که در آن یک تابع با مقدار عددی صحیح و غیرمنفی که بر حسب غیرنزولی است فرزندان زوج تشکیل نسل ام را می دهند ، به طوریکه که در هر نسل زوجها به طور مستقل تولید مثل می کنند .
به طور کلی گروه (GWBP) شامل ۴ پارامتر زیر می باشد .

۱-تعداد زوجها در نخستین نسل را برابر می گیریم .
۲-تابع خانواده را با L نشان می دهیم .
۳-قانون احتمال تولید مثل را با نشان می دهیم به این معنی که احتمال اینکه یک زوج اختیاری n فرزند داشته باشد برابر است .
۴-احتمال این را که یک فرد متولد شده مذکر باشد با نشان می دهیم . دالی در سال ۱۹۶۸ نشان داد که یک زنجیر مارکوف با احتمال انتقال تک مرحله ای است .

فضای حالت از اعداد صحیح غیرمنفی تشکیل می شود حالت صفر وضعیت جاذب و بقیه حالات وضعیت گذرا یا انتقال هستند .
عناصر ماتریس احتمالهای انتقالی به صورت زیر محاسبه می شود :

در اینجا ها زنان و مردانی را که توسط i امین زوج در ( ) امین نسل تولید شده‌اند نشان می دهند .

۲-۲- توابع خانواده زیر جمعی
تعریف ۲-۲-۱ : یک تابع خانواده مانند را زبر جمعی است اگر برای هر یک از زوجهای و از اعداد صحیح غیرمنفی در رابطه زیر صدق کند .

با توجه به تعریف فوق برای هر مجموعه متناهی و از اعداد صحیح غیرمنفی رابطه زیر برقرار است :

در عمل اکثر توابع خانواده‌ای که با آنها سروکار داریم زبرجمعی هستند (نه فقط فرآیند های شاخه ای دو جنسی) این توابع شامل موارد زیر می شوند :
نشان دهنده جزء صحیح x است .
خانواده تصادفی (a)

: میانگین حسابی (b)

: میانگین هندسی (C)

: میانگین موزون (d)

(e)

اگر چون

۲-۳- فرآیند شاخه ای زوجهای هم خانواده (SMOBP)
تعریف ۲-۳-۱ : فرآیند شاخه ای زوجهای هم خانواده (SMOBP) یعنی اینکه یک زن و مرد فقط زمانی تشکیل یک زوج می دهند که از یک نسل و از یک زوج مشترک باشند (یک پدر و مادر داشته باشند) بنابراین اگر یک نسل j زوج داشته باشد ، نسل بعدی زوج خواهد داشت . منظور از ( ) زنان و مردان متولد شده توسط i امین زوج است .و تمامی شرطهای (GWBP) توسط (SMOBP) پوشش داده می شود ، بطوریکه همان ۴ پارامتر را نیز داراست . در یک (SMOBP) زوجهای مختلف در نسلهای مختلف به طور مستقل تولید مثل می کنند و حتی به طور مستقل تشکیل خانواده می دهند .

فصل سوم

احتمالات انقراض

۳-۱- انقراض در فرآیند هایی که تابع خانواده زیرجمعی دارند
۳-۲-معیارهای کلی انقراض

مقدمه
هدف کلی از این فصل بدست آوردن معیاری کلی برای انقراض در فرایندهای شاخه‌ای گالتون – واتسون دو جنسی است . در ابتدا انقراض در فرایندهایی را که تابع خانواده زیرجمعی دارند بررسی می کنیم . سپس احتمال انقراض در فرایندهای شاخه‌ای گالتون – واتسون دو جنسی را با فرایند شاخه ای زوجهای هم خانواده مقایسه می کنیم . و در نهایت معیارهای کلی انقراض را مورد بررسی قرار می دهیم .

۳-۱- انقراض در فرایندهایی که تابع خانواده زبرجمعی دارند
تعریف ۳-۱-۱ : احتمال انقراض فرآیند با شروع از یک نفر در نسل صفر را با Q نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم .

دالی در سال ۱۹۶۸ یک شرط لازم و کافی برای اینکه احتمال انقراض برابر یک شود به دست آورد به این صورت که فرآیند باید از نوع یکی از دو تابع خانواده زیر باشد :
تشکیل زوجها به صورت کاملاً بی قاعده

و دیگری زمانی که یک مرد می تواند چند زن داشته باشد

که d یک عدد صحیح مثبت است (یک مرد می تواند تا d همسر داشته باشد) مشکلی که در اینجا مطرح است ساختن یک توضیح کلی راجع به احتمال انقراض برای همه توابع خانواده ممکن است .
قضیه ۳-۱-۱ : فرض کنید یک (GWBP) و یک (SMOBP) با پارامترهای مشابه و تابع خانواده زبرجمعی هستند ، Q و به ترتیب احتمالات انقراض را نشان دهند در آن صورت خواهد بود .
اثبات : داریم :

دالی در سال ۱۹۶۸ نشان داد که هر یک از فرآیند های و تصادفی یکنوا هستند . بنابراین

دالی همچنین رابطه :

را که از آن برای اثبات فرضیه اش استفاده کرده است به دست آورد .
از آنجایی که یک (SMOBP) مانند یک فرآیند شاخته ای استاندارد عمل می کند اگر و تنها اگر و در آن است . از قضیه بالا نتیجه زیر را فوراً بدست می‌آوریم .

نتیجه : اگر آنگاه و یا به طور مساوی اگر آنگاه است . برای اینکه نشان دهیم عکس قضیه همیشه درست نیست ، فرض کنید یک با تابع خانواده زبرجمعی است .

L(x,y)=
در جاهای دیگر
فرض کنید . و برای بقیه و است به راحتی می توانیم مساله را برای و یا امتحان کنیم و می بینیم که

بنابراین اگر بخواهیم عکس قضیه را درست در نظر بگیریم است .
از طرف دیگر :

و از آنجایی که :
و
در نتیجه بسط حاصلضرب در بالا همگراست و بنابراین بزرگتر از صفر است ، یعنی اینکه است (با قرار دادن ، ) بنابراین شرط موجود در نتیجه فوق لازم است ولی کافی نیست و ما برای چنین شرایطی نمی توانیم یک راه حل قطعی ارائه دهیم.

۳-۲- معیارهای کلی انقراض
هال در سال (۱۹۸۲) انقراض در یک فرآیند شاخه ای گالتون – واتسون (GWBP) در دوره هایی از میانگین تولید مثل یعنی در دوره هایی از را مورد بررسی قرار داد او توجه اش را روی توابع خانواده زبرجمعی معطوف کرد . یعنی تابع خانواده از فرمول

تبعیت می‌کند .‌ او ‌ثابت‌ کرد‌ برای ‌واحدهایی که قادر به تشکیل خانواده هستند برای اینکه:

برابر یک شود ، یک شرط لازم است ولی با یک مثال می توان فهمید که شرط موجود کافی نیست . هال نتوانست راه حل مناسبی برای ارائه شرط کافی به دست آورد . ما می‌خواهیم برای توابع خانواده دو جنسی اختیاری در دوره هایی از میانگین واحد تولید مثل جواب مناسبی بدست آوریم . ملاحظه یکی از مثالهای عددی هال آموزنده است ، اگر
جاهای دیگر
L(x,y)=
x=
و با توجه به اینکه ( ) و در نتیجه فرآیند موردنظر میراست اگر و تنها اگر نسلی وجود داشته باشد که همه فرزندانش فقط زن یا فقط مرد باشد یعنی اینکه

است و با انتخاب و
می شود اما برای Q کوچکتر از یک به دست می آید . نکته ای که باید به آن توجه کنیم اینست که

یعنی برای هر بزرگتر از ۳ است. بنابراین فرآیند به اندازه کافی بزرگ است . این فرآیند شبیه به یک (GWBP) با میانگین واحد تولید مثل بزرگتر از یک عمل می کند . انقراض یک روند ممتد و دنباله دار است و این واضح است که دوره های (۳-۱) باید در ملاحظات ذکر شود .

قضیه ۳-۲-۱ : فرض کنید ( ) یک (GWBP) با توزیع تولید مثل و یک تابع خانواده دو جنسی اختیاری باشد . اگر میانگین تولید مثل برای هر زوج برای همه kها محدود باشد و برای k های بزرگ کوچکتر از یک باشد . آنگاه
اثبات : فرض کنید و همچنین
اگر
b= (3-2)
جاهای دیگر
طبق فرض داریم که و است . فرض کنید f(s) یک تابع تولیدمثل از توزیع تولید مثل باشد .

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 6700 تومان در 58 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد