بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
ارائه یک مدل حرارتی – سیالات جهت شبیه سازی انتقال حرارت خون در بدن انسان
چکيده
گردش خون نقش مهمي در انتقال حرارت بين بافت هاي زنده خصوصاً رگ هاي محيطي که در آن ها دما عموماً وابستگي بيشتري به شدت جريان خون دارد، ايفا مي کند. فرآيندهاي توليد حرارت از طريق اکسايش مواد زيستي ، مسايل انتقال حرارت در بدن (شامل دفع حرارت به محيط ، کار مثبت و منفي و انتقال حرارت در بدن )، کاربردهاي انتقال حرارت زيست شناختي (شامل کاربرد در تشخيص هاي پزشکي ، اندازه گيري دماي بدن ، تصوير برداري حرارتي ، تخمين ميزان جريان خون با استفاده از اندازه - گيري دما) و کاربردهاي انتقال حرارت زيست شناختي در درمان پزشکي (شامل کاهش حرارت بدن ، افزايش حرارت بدن ، جراحي سرد، جراحي الکتريکي و گرما درماني ) مهم ترين موارد حرارتي مطرح در بدن هستند. در اين مقاله ، با استفاده از يک مدل سيالاتي - حرارتي يک بعدي , داراي تقارن محوري جهت جريان در درون رگ ها با يک ساختار درختي و با فرض غير نيوتني بودن خون , در قسمت خاصي از بدن (دست ها) توزيع دما در سرخرگ ، سياهرگ و مويرگ ها بدست آمده است . براي اولين بار مدل - سازي انتقال حرارت خون در بدن با فرض تابعيت خون از يک مدل سيال غير نيوتني انجام شده است .
حل عددي معادلات با استفاده از روش دو مرحله اي Lax-Wendroff انجام شده و نتايج حاصل براي سيال غيرنيوتني با سيال نيوتني ونتايج تجربي مقايسه شده اند.
کلمات کليدي : انتقال حرارت زيستي - جريان غيريکنواخت - الاستيسيتة رگ - رئولوژي خون - مدل سازي رياضي .
۱- مقدمه
انتقال حرارت داخلي بدن توسط سيستم گردش خون کنترل مـي شـود. سيـستم گـردش خون باعث حداقل کردن اختلاف دما در بدن مي گردد. از مهم ترين کاربردهاي مـدل سـازي انتقـال حرارت خون در بدن مي توان به جراحي ها (خصوصاً جراحي قلب باز)، دستگاه دياليز و نيـز سـاخت رگ هاي مصنوعي اشاره نمود.
اولين رابطة کمي که انتقال حرارت در بافت هاي بدن انسان را بررسي کرده و اثرات جريان
خون بر روي دماي بافت را در بر داشت توسـط پـنس (Pennes) در سـال ۱۹۴۸ منتـشر شـدچ۱چ .
مطابق مدل وي نرخ انتقال جرم بين خون و بافت متناسب با اختلاف بين مقدار يک ماده در بافـت و در خون ضرب در شدت جريان خون است . بنابراين گرماي منتقل شده از خون به بافت با اختلاف دما بين خون سرخرگي وارد شده به بافت و خون سياهرگي خارج شده از آن ، متناسب است .
مدل ديناميک سيالات يک بعدي در يک مدل لوله الاستيک جهت رگ هاي خوني متناوباً
براي تحليل فشار و جريان موجي شکل خون در سرخرگ ها بکار رفته است . کيتاواکي (Kitawaki)
چ۲چ يک مدل يک بعدي جهت بررسي اثر ويسکوزيته ناپايدار در يک لوله منفرد با استفاده از قانون لوله جهت بيان ويسکوالاستيسيته ديواره سرخرگ ها ارائه داده است .
مدل سيستم سرخرگي با ساختار درختي که توسـط اولافـسن (Olufsen)چچ ارائـه شـده يکـي از جديدترين مدل هايي است که فشار و جريان موجي شکل سيستم گردش خـون انـسان را در نظـر گرفته است . در مدل اولافسن جريان خون در سرخرگ هاي بزرگ با استفاده از معادلات يک بعـدي که از معادلات ناويراستوکس با تقارن محوري درجهت جريان براي لوله الاستيک حاصـل شـده انـد مدل سازي مي شود. براي جريان خون در سرخرگ هاي کوچک و سرخچه ها يک معادله حاکم خطي شده جهت محاسبه مقاومت شاخه اي ساختار درختي سرخرگ ها بکار رفته است .
بر همين مبنا هيمنو (Himeno) و همکارانش چ۴چ با ترکيب معادلات انـرژي و معـادلات حاصـل از مدل اولافسن توزيع دما در رگ هاي نيم تنة بالايي را با فرض نيوتني بودن خون بدست آورده اند.
کلر و سيلر (Keller &Seiler ) چ۵چ با توجه به مدل رياضي انتقال حرارت زيستي يک مـدل ارائـه کردند که انتقال حرارت را بين بافت هاي مجزا، سرخرگ ها و سياهرگ هـا درنظـر مـي گيـرد. آن هـا معادلات انرژي حالت پايدار را براي سرخرگ ها و سياهرگ ها و بافت ها بدست آوردند. امـا تغييـرات قطر رگ هاي خوني را درنظر نگرفتند.
علاوه بر مدل هاي فوق مدلهاي بسيار ديگري نيز ارائه شدند که هر يک فرضيات و ساده -
سازيهاي خود را دارند و تقريبا در همه آنها خون به صورت سيال نيوتني در نظر گرفته شده است .
چارني (Charny) چ۶چ شرح مفصلي از تعداد زيادي مدل هاي ارائه شده براي انتقال حرارت
زيستي را جمع آوري نموده است .
در اين مقاله سعي بر اين است که بتوان با استفاده از مدل هاي قبلي و با بهبود آن ها، رابطـه بـين شدت جريان و دما و نيز توزيع دما را در نيم تنه بالايي بدن از آئورت تـا رگ هـايي کـه بـه سـمت دست مي روند و سياهرگ هايي که خون را بر مـي گرداننـد بدسـت آورد. بـا اسـتفاده از يـک مـدل سيالاتي - حرارتي يک بعدي که داراي تقارن محوري در جهت جريان خون ، درون رگ هايي که بـه صورت نمايي باريک مي شوند و نيز داراي جريان غير لغزشي هستند، مدل ارائه شده است . گـردش خون به صورت يک ساختار درختي و خون به عنوان سيالي غير نيوتني در نظر گرفته شـده اسـت .
رگ ها نيز الاستيک فرض ميشوند. با استفاده از معـادله حالت و نيز معـادلات حـاکم (پيوسـتگي ، مومنتم ، انرژي ) و حل هم زمان آن ها تغييرات دما، شدت جريان حجمي و سطح مقطع بدست آمده است . سپس نتايج حاصل با نتايجي که با فرض سيال نيوتني به دست آمده اند، مقايسه شده اند.
جدول (۱) مدل هاي ارائه شده براي سيالات غير نيوتني [۷]
۲- رئولوژي خون
ويسکوزيته خون در حالت عادي حدود ۳ برابر ويسکوزيته آب است . عامل عمده اي که باعث افزايش چسبندگي خون مي شود تعداد زياد گلوبول هاي قرمز شناور در خون است که هر کدام از آن ها روي سلول هاي مجاور و روي ديواره رگ کشش سطحي ايجاد مي کند. هر چه هموتاکريت (درصد سلول هاي خوني ) بيشتر شود. بين لايه هاي خون اصطکاک بيشتري ايجاد مي - شود و ويسکوزيته خون به طور مؤثري افزايش مي يابد.
مدل هاي بسياري براي رفتار خون ارائه شده است که به صورت خلاصه در جدول (۱)
آورده شده اند. بهترين مدلي که با خون مطابقت دارد مدل کسن (Cassen) است . طبق اين مدل :
که در آن تنش تسليم است و از رابطه زير بدست مي آيد:
مقدار هموتاکريت (H)% و فيبرينوژن در ۱۰۰ميلي گرم خون (Cf) برابر ۰.۳ فرض مي شود.
۳- معادلات حاکم
براي بدست آوردن توزيع دما، بايد معادلة بقاء جرم و مومنتوم ، قانون الاستيسيته و قانون بقاء انرژي به صورت هم زمان حل شوند.
معادلة پيوستگي با فرض سيال تراکم ناپذير و جريان آرام و با در نظر گرفتن تقارن محوري و پس
از انتگرال گيري بر روي سطح مقطع رگ به صورت زير در مي آيد:
در جريان با تقارن محوري و بدون چرخش ، معادلة مولفه x مومنتم به صورت زير مي باشد:
هنگامي که خون درون رگ در حال حرکت مي باشد به جز در نزديکي ديواره رگ ها، پروفيل سرعت به صورت تخت مي باشد.
لايت هيل (Lighthill )چ۸چ ضخامت لايه مرزي را از رابطه تخمين زد.
بنابراين پروفيل سرعت خون به صورت زير خواهد بود :
با استفاده از رابطه (۱) براي عبارت تنش و نيز صرف نظر کردن از عبارت تنش در جهت طولي و
نيز با فرض ثابت بودن فشار در يک سطح مقطع و فرضيات لايت هيل معادله زير نتيجه مي شود:
معادله حالت در سرخرگ ها را مي توان به شکل زير نوشت :
رابطه بين مدول يانگ ، شعاع رگ و ضخامت ديواره به صورت تجربي به شکل زير بيان مي شود:
که در آن مي باشند.
معادله حالت در مويرگ ها و سياهرگ ها را مي توان به صورت زير نوشت
که در آن Kp ضريبي است متناسب با سختي خم ديواره لوله و فرض شده است که Kp در همه رگ هاي ريز چرخه ها و سياهرگ ها ثابت و برابر مي باشند.
از تلفيق رابطه (۶) با رابطه (۷) يا (۹)، معادله زير به دست مي آيد:
براي سياهرگ و مويرگ ها:
معادله انرژي براي رگ هاي الاستيک بر اساس روش تحليلي کلر و سيلر چ۵چ بدست مي آيد. بر
اساس شکل (۱) معادله موازنه انرژي براي يک المان سرخرگي را مي توان به صورت زير نوشت :
