بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بررسی عددی معادله لایه مرزی بلازیوس با استفاده از روشهای اختلاف محدود
خلاصه
هدف این مقاله بررسی معادله غیرخطی لایه مرزی بلازیوس بوسیله روشهای اختلاف محدود عددی با استفاده از نرمافزار برنامهنویسی فُرترن میباشد. معادله غیرخطی لایه مرزی صفحه تخت ثابت که توسط بلازیوس به دست آمده، با استفاده از روشهای عددی مختلف در قالب یک برنامه به زبانفُرترن کدنویسی شده است. جریان سیال به صورت پایا، دو بعدی، آرام و تراکمناپذیر در نظر گرفته شده است. روشهای عددی که برای حل معادله غیر خطی لایه مرزی بلازیوس استفاده شدهاند عبارتند از: (1 روش ضمنی کلر باکس1 (شبکه یکنواخت و غیر یکنواخت) (2 روش رانگ کوتا مرتبه دو(3 2 روش رانگ کوتا مرتبه چهار.3 تغییرات نمودارهای'' f , f ', f برحسب نشان داده شده است. ماکزیمم مقدار η برابر 8 در نظر گرفته شده است. زمانی که به سمت 8 میل میکند، پروفیل ' f , f با افزایش ، افزایش یافته، در صورتی که پروفیل'' f با افزایش ، کاهش یافته است. هر سه روش مطابقت خوبی باهم دارند. از میان این سه روش عددی، روش کلر-باکس از دقت بالاتری برخوردار است.
کلمات کلیدی: لایه مرزی، روش اختلاف محدود، معادله بلازیوس، کلرباکس، رانگ کوتا
.1 مقدمه
در بسیاری از مسائل جریان، معادلات حاکم بر حرکت سیال، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیر خطی می-باشند. و به طور کلی به روش عددی حل میشوند که در ادامه به آن پرداخته میشود. با توجه به معادله بلازیوس محققان زیادی تلاش کردهاند تا معادله بلازیوس را حل کنند. این پژوهش از کارهای اخیر این محققان الهام گرفته شده است. بلازیوس[ 1] 4 نخستین کسی میباشد که راهحل دقیقی برای معادله لایه مرزی پرانتل ارائه داد. در حقیقت معاله بلازیوس یک حالت خاص از معادله فالکنر اسکن[ 2] 5 میباشد.
هر دو معادله یک پدیده را بررسی میکنند در صورتی که سرعت جریان آزاد به متغیرm وابسته باشد . پارلانژ1 و همکاران [3] یک روش تجزیهای برای بدست آوردن راهحلی مانند یک سری همگرای بینهایت ایجاد کردند. عبدالمجید وازواز[4] 2 از روش تکرار متغیرها برای حل دو حالت از معادله غیرخطی مرتبه سوم استفاده کرده است. این مطالعه راه حلی بدون محدودیت بر رفتار خطی ارائه میکند. همچین اخیراً عباسبندی[5] 3 از یک روش تجزیهای اصلاح شده برای حل معادله بلازیوس استفاده کرده است. اغلب نویسندگان معادله بلازیوس را با روش خاصی حل کرده یا روشهای دیگر محققان را گسترش دادهاند. پارلانژ و همکاران [3] این معادله غیر خطی را به صورت تحلیلی برای مهیا کردن شرایط انتگرالی بوسیله روش متغیرها حل کردند همانند ویژگیهای فیزیکی مرتبط که میتواند حتی با حل تقریبی، به طور دقیق محاسبه شوند. مبنای این روش به این گونه است که شرط انتگرالی به صورت مستقیم نوشته میشود. بطور همزمان سینگ4 و همکاران [6] برای بدست آوردن اثر اصطکاک سطحی لایه مرزی آرام بر روی صفحه تخت، از اصل گیرامتی5 استفاده کردهاند. معادلات جزئی غیر خطی را نمیتوان به سادگی حل کرد. انواع روشهای عددی وجود دارند که از آنها برای حل مسائل جریان استفاده میشود. از میان روشهای مختلف دو روش کرنکنیکلسون6 وکلرباکس کاربردیتر می-باشند. روش جعبهای توسط کلر[7] 7 برای حل مسائل جریان ابداع شد و توسط خودش برای انواع مسائل لایه مرزی به کار گرفته شد 7]و.[8 جمان 8 و همکاران [9] با استفاده از سه روش عددی که عبارتند از: روش رانگ کوتا، شوتینگ9 و سویگرت10، معادله بلازیوس را برای بدست آوردن پروفیل سرعت در لایه مرزی، هنگامی که جریان از روی یک صفحه تخت میگذرد حل کردهاند. هدف این مقاله استفاده از روشهای عددی که عبارتند از: روش ضمنی کلر -باکس(شبکه یکنواخت و غیر یکنواخت)، روش رانگ کوتا مرتبه 2 و روش رانگ کوتا مرتبه 4 برای حل معادله بلازیوس میباشد. لازم به ذکر است که نتایج روشها با حل تحلیلی پارلانژ[3] مقایسه شده است و از تطابق خوبی برخوردار میباشند.
.2 معادله بلازیوس
اگر سیال از روی یک جسم جامد عبور کند، لایهای از سیال نزدیک به مرز جامد تشکیل شده که لایه مرزی نامیده میشود. و دارای ویسکوزیته بالایی میباشد. جریان تراکم ناپذیر از روی یک صفحه نیمه بینهایت که در راستای جریان قرار گرفته است میگذرد. لبه جلویی صفحه تخت در راستای محور x قرار داشته که همان مسیر جریان یکنواخت بوده و محور y عمود بر صفحه میباشد. سرعت جریان به دلیل صفر بودن گرادیان فشار ثابت است. معادلات حاکم بر جریان عبارتند از:
با شرایط مرزی :
در اینجا u و v به ترتیب نشان دهنده اجزای بردار سرعت در راستای x و y میباشند.
برای بدست آوردن فرم مناسبی از معادله که بتوان از آن انتگرالگیری کرد پارامترهای زیر را برای متغیرهای وابسته و غیر وابسته تعریف میکنیم.
در معادله بالا، متغیر تشابهی و تابع جریان میباشد که به صورت زیر تعریف میشود:
که معادله (2) را ارضا میکند.
با اعمال تغییر متغیرهای فوق، معادله (3) به فرم زیر کاهش مییابد:
شرایط مرزی مناسب برای معادله (6) بصورت زیر میباشد:
مدل فیزیکی و موقعیت جریان در شکل((1 نشان داده شده است:
.3 روش کلر-باکس
روش کلر- باکس یکی از روشهای کاربردی برای حل معادله سهموی جریان، مخصوصاً معادلات لایه مرزی میباشد. یک روش ضمنی با دقت مرتبه دوم در بعد زمان و مکان در حل عددی معادلات دیفرانسیل پارهای است. این روش گسستهسازی اجازه میدهد تا گامهای زمانی و مکانی بدون کاهش دقت مرتبه دوم تغییر کنند . در این روش مشتق-های مرتبه دوم به وسیله مشتقهای مرتبه اول و به کمک تغییر متغیر جایگزین میشوند. به این ترتیب یک دستگاه از معادلههای مرتبه یک به دست میآید. از معایب این روش این است که حجم زیادی از محاسبات در هر بازه زمانی برای تبدیل مشتق مرتبه بالاتر به مشتق مرتبه اول صورت میگیرد(شکل .((2)
با تعریف متغیرهای u و v که به ترتیب مبین مشتق مرتبه اول و دوم نسبت به تابع تشابهی f(η) هستند، میتوان دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول زیر را تشکیل داد:
تقریب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با استفاده از روش کلر-باکس:
میتوان با بکارگیری روش زیر آن را به مقادیر متناظرشان در گام زمانی n با یک مقدار خطایی از جنس خود متغیر تعریف نمود. سپس در تحلیل عددی، معیار همگرایی کوچک شدن تمام خطاها به طور همزمان از یک مقدار ԑ در نظر گرفته خواهد شد.
حدس اولیه:
که در آن j تعداد تقسیمات شبکه است. اگر شبکه غیر یکنواخت باشد:
گسسته سازی دامنه محاسباتی شامل تقسیم عرض لایهمرزی در راستای عمود بر جهت حرکت سیال میباشد. در این راستا از شبکههای یکبعدی غیر یکنواخت استفاده شده است. در این شبکه، مقدار jmax مجهول است که بنحوی باید محاسبه گردد.
که در آن h عرض لایه مرزی و k مقدار ثابت و بزرگتر از 1 میباشد.
برابر 8 میباشد.
اگر شبکه یکنواخت باشد:
در این حالت تقسیمات شبکه در عرض لایه مرزی (h) ثابت است.
.4 رانگ کوتا
روش تیلور مرتبه (.....3.2.1) n در عمل برای مراتب بالا قابل استفاده نیست زیرا به مشتقات مرتبه بالا نیاز دارد. حالت خاص n = 1 یعنی روش اویلر نیز چندان مفید نیست، مگر اینکه h را خیلی کوچک در نظر بگیریم. لذا برای حل معادله دیفرانسیل از روشهای دیگر استفاده میشود که در آن نیازی به محاسبه مشتقهای مرتبه بالای f نیست، در عین حال از دقتی در حد دقت روش تیلور و مرتبه بالا برخوردار است. روش اویلر برای تقریب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کاربرد دارد، و برای معادلات دیفرانسیل مراتب بالاتر دقیق نیست. بطور واضح بین درستی و پیچیدگی محاسبات و مقدار انتخاب شده h وابستگی زیادی وجود دارد. هرچه مقدار h کوچکتر شود، محاسبات طولانیتر ولی دقیقتر میشود. حال اگر مقدار h خیلی کوچک شود، برای اینکه نمیتوان آنرا به درستی در کامپیوتر نشان داد خطا ایجاد میشود. برای سیستمهای مرتبه بالاتر، تقریب اویلر بسیار سخت است. به همین دلیل، دقت بالاتر و تکنیکهایی با جزییات بیشتر توسط دو ریاضیدان به نامهای Runge و Kutta ساخته شد. در روش اویلر (خطا از مرتبه (O(h2) 2 با افزایش طول گام و یا افزایش بازه، خطای قابل ملاحظهای ایجاد میشود. در اینگونه موارد روش رانگ کوتای مرتبه2 و مرتبه 4، جایگزین بسیار مناسبی برای دستیابی به همگرایی بسیار بالاتر میباشد.
.5 رانگ کوتا مرتبه 2
در روش رانگ کوتای مرتبه 2، الگوریتم تکرار بصورت زیر در میآید :
.6 رانگ کوتا مرتبه 4
