بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله از روش تحلیل هموتوپی براي آنالیز ارتعاشات آزاد غیرخطی نانوتیرهاي تیموشنکو بر روي بستر الاستیک غیرخطی، استفاده شده است. ابتدا با فرض تئوري الاستیسیته غیرموضعی ارینگن معادله دیفرانسیل جزئی حاکم بر حرکت غیرخطی نانوتیر تیموشنکو استخراج شده و سپس با بهکاربردن روش تجزیه گالرکین، معادله حاکمه غیرخطی به یک معادله دیفرانسیل عادي غیرخطی کاهش داده شده است. به منظور بدست آوردن یک حل بسته براي این معادله دیفرانسیل، روش تحلیلی هموتوپی که داراي دقت بسیار بالایی است، پیشنهاد شده است. در پایان، اثر پارامترهاي مختلفی همچون بزرگی دامنه، بستر الاستیک غیرخطی و شرایط مرزي گوناگون بر روي ارتعاشات نانوتیر بررسی شده است.
-1 مقدمه
وابستگی خواص مواد به اندازه آنها در مقیاسهاي بسیار کوچک، به صورت تجربی اثبات شده است. با کاهش اندازه و نزدیک شدن حداقل یکی از ابعاد جسم به محدوده نانومتري، خواص بسیار متفاوتی از جسم بروز مینماید. در نانو ساختارها، فضاي خالی بین اتمها نسبت به ابعاد نانو ساختار شایان توجه بوده و نمیتواننآ را نادیده گرفت ضمناً، طول مشخصه داخلی نانو ساختارها در مرتبه طول مشخصه خارجی آنها میباشد. با این اوصاف اگر قرار باشد از تئوريهاي مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته براي مدلسازي نانوساختارها استفاده شود بایستی وابستگی به اندازه در معادلات ساختاري ظاهر شود.
در میان نانوسازههاي مختلف، نانوتیرها داراي کاربردهاي مهم و فراوانی هستند. از آنجا که آمادهسازي و انجام آزمایشهاي تجربی براي بررسی رفتار نانوتیرها بسیار سخت و پرهزینه هستند، غالبا مدلهاي تئوري بدین منظور به-کار گرفته میشوند. تئوريهاي مکانیک محیط پیوسته، راه حلی اثربخش براي بررسی مشخصات مکانیکی نانوتیرها - ارتعاشات آزاد و واداشته، خمش، کمانش و موارد مشابه - میباشند.
تئوريهاي مکانیک محیط پیوسته کلاسیک بدلیل اینکه اساساً بر فرض پیوستگی استوارند در پیشبینی رفتارهاي مکانیکی وابسته به اندازه ناتوان هستند و این نقص پژوهشگران را بر آن داشت تا با ارائه تئوريهاي اصلاح شده این مشکل را مرتفع سازند. تئوريهایی همانند الاستیسیته گرادیان کرنش، الاستیسیته تنش کوپل شده و الاستیسیته غیر موضعی ارینگن1 توانایی در نظر گرفتن اثرات وابسته به اندازه و ناپیوستگی ذاتی نانو ساختارها را دارا میباشند. با استفاده از تئوري غیرموضعی در تحلیل نانوتیرها، توانایی درك رفتار مکانیکی مواد در مقیاسهاي کوچک بیشتر می-شود. تفاوت اصلی بین تئوري کلاسیک و تئوري الاستیسیته غیرموضعی در تعریف تنش است.
از سوي دیگر تا کنون براي حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی حاکم بر مسائل مهندسی، روشهاي عددي مختلفی ارائه شده است که میتوان به روشهاي المان محدود و دیفرانسیل کوادریچر اشاره کرد. اما مسئله پیچیدهتر، استخراج نتایج براي مسایل غیرخطی به نحوي است که امکان بررسی اثر پارامترهاي مختلف مسئله امکانپذیر باشد. در سالهاي اخیر به منظور بررسی میزان تاثیر پارامترهاي مختف بر سیستمهاي مهندسی، حلهاي نیمهتحلیلی و یا تحلیلی- تقریبی مورد استقبال وسیعی قرار گرفتهاند. یکی از پرکاربردترین روشهاي تحلیلی، روش اغتشاشات2 می-باشد. اما این روش داراي یک نقص بزرگ بوده و آن وابستگی به ترمهاي غیرخطی ضعیف است.
روش تکرار تغییرات [4]، روش توازن انرژي [5] و روش تحلیلی هموتوپی [6] نیز از روش هاي تحلیلی- تقریبی جدیدتر و پرکاربردي می-باشند که کوشیدهاند تا این ضعف را جبران نمایند.
پیربوداگی [7] از روش تحلیل هوموتوپی براي بررسی و تحقیق عملکرد ارتعاشی غیرخطی تیرهاي اولر- برنولی استفاده کرد که درمعرض بارهاي محوري بودند و عبارات تحلیلی را براي ارتعاشات غیرخطی هندسی تیرها فراهم کرد.
پیلاي و رائو [8] مسئله ارتعاشات دامنه آزاد از تیرهاي یکنواخت تقویت شده ساده را آزمایش کردند و بواسطه شیوههایی چون روش تابع بیضوي، روش تعادل هارمونیک و روشی که درآن نوسانات هارمونیک ساده فرض می شوند، واکنش فرکانس سیستم را بدست آوردند.
ژانگ و لیائو [9] ارتعاشات غیرخطی مرتبه بالاتر تیرهاي تیموشنکو را با انتهاهاي غیرمتحرك مطالعه کردند. آنها تاثیرات غیرخطی تغییرشکل محوري، انحناهاي خمشی و کرنشهاي برش عرضی را درنظرگرفتند و معادلات دیفرانسیل غیرخطی را با استفاده از روش دیفرانسیل تربیع مبنی براسپلاین حل کردند.
فودا [10] از روش مقیاس-هاي چندگانه براي تحلیل ارتعاشات غیرخطی یک تیر با انتهاهاي مفصل دار با درنظرگرفتن تاثیرات تغییرشکل برشی و اینرسی چرخشی استفاده کرد.
رمضانی [11] از روش مشابهی براي همان مسئله با شرایط مرزي دوگیردار استفاده کرد. آنها نتیجه گرفتند که زمانی که نظریه تیرها براي مطالعه میکرو/ نانو سازه هاي الکترومکانیکی استفاده می شود، تاثیرات تغییرشکل برشی و اینرسی چرخشی باید براي یک تحلیل دینامیک صحیح درنظرگرفته شود.
-2 استخراج معادلات حاکمه
اگر دامنه ارتعاشات بزرگ باشد و یا اصطلاحا خیز تیر زیاد باشد، دیگر تار خنثایی وجود نخواهد داشت و تار واقع در وسط تیر تحت کشش قرار خواهد گرفت و از روابط ون کارمن تبعیت میکنند. لذا معادله ارتعاش نانوتیر تیموشنکو داراي ترمهاي غیرخطی میشود.
با استفاده از تئوري الاستیسیته غیرموضعی معادله ارتعاشی غیرخطی نانوتیر تیموشنکو بر روي فونداسیون غیرخطی بصورت زیر میباشد :
در این رابطه مدول الاستیسیته، ممان اینرسی، خیز تیر، مدول برشی، پارامتر غیرموضعی،چگالی، سطح مقطع تیر، ضریب تصحیح برش براي تیرتیموشنکو ونیروهاي فونداسیون غیرخطی میباشد. همچنین ترم غیرخطی است که از کشش تار وسط تیر ایجاد میشود
به منظور استخراج نتایج کلی و عمومی مستقل از ابعاد و اندازه خاص میتوان معادله حاکمه را به کمک تعریف یک سري پارامتر بیبعد، بصورت یک رابطه بیبعد شده نوشت.
