بخشی از مقاله
چکیده
یکی از مهمترین مسائل هیدرودینامیک کاربردي بررسی هیدروفویل متحرك در نزدیکی سطح آزاد است. در این مقاله به شبیهسازي جریان حول هیدروفویل در نزدیکی سطح آزاد پرداخته شده است.
براي این شبیهسازي از روش المان مرزي مبتنی بر تئوري گرین استفاده شده است. براي این منظور مسئله به دو قسمت هیدروفویل و سطح آزاد تقسیم شده و اثرات هریک بر دیگري محاسبه میشود و پتانسیل اختلالی روي سطح آزاد و هیدروفویل بدست میآید. سپس به کمک یک الگوریتم تکرار مقادیر پتانسیلها در هر مرحله اصلاح میشوند تا جواب ها به مقادیر واقعی همگرا شوند. سپس به وسیله این پتانسیلها توزیع فشار روي هیدروفویل، ضریب لیفت و همچنین منحنی موج روي سطح آزاد بدست میآید. مشاهده میشود این نتایج مطابقت خوبی با سایر روشهاي بکار رفته در سایر مقالات دارد.
پس از اعتبارسنجی روش به بررسی عوامل مختلف روي عملکرد هیدروفویل از قبیل اثر ضخامت، انحنا، زاویه حمله، و عدد فرود پرداخته شده است.
مقدمه
یکی از مهمترین مسائل هیدرودینامیک کاربردي بررسی هیدروفویل متحرك در نزدیکی سطح آزاد است. در سالهاي گذشته تحقیقاتی توسط افراد مختلف براي تعیین پتانسیل سرعت اجسام تحت شرط مرزي نیومن انجام گرفته است.
هوگ و موران [1] با استفاده از نظریه ایرفویل نازك جریان حول صفحه تخت وهیدروفویل را بررسی کردند.
جسینگ و اسمیت [2] با استفاده از توزیع چشمه بر روي سطح جسم شرط مرزي سینماتیکی روي جسم را ارضا کردند و براي سطح آزاد از شرط مرزي خطی شده استفاده کردند و معادله انتگرالهاي بدست آمده را به صورت عددي محاسبه نمودند.
باي [3]از روش المان محدود براي حل عددي خود استفاده کرد و معادله انتگرالها را با استفاده از روش گالرکین محاسبه نمود.
یانگ و بوگر[4] با استفاده از روش معادلات انتگرالی پیوندي بر اساس تئوري گرین و خطی کردن شرط مرزي سطح آزاد تحقیق خود را انجام دادند.
سالواسن [5] براي بررسی اثرات غیرخطی سطح آزاد از تئوري اختلالی مرتبه دوم استفاده کرد. کنل [6] اثرات مرتبه دوم سطح آزاد را بر روي هیدروفویل نازك بررسی کرد.
کووه و همکاران [7] با استفاده از توزیع یکنواخت چشمه روي سطح آزاد و توزیع دوگان بر روي جسم و استفاده از شرط مرزي دریشله به جاي نیومن و خطی فرض کردن شرط مرزي سطح آزاد محاسبات خود را انجام دادند.
بال[8] با استفاده از توزیع چشمه و دوگان روي جسم و محاسبه معادلات انتگرالی با استفاده از تئوري گرین تحقیق خود را انجام داد.
وي براي ارضا شرط مرزي سطح آزاد از روش تصویرکردن استفاده کرد. بال و کیناس [9] با استفاذه از روش المان مرزي و حل جداگانه سطح آزاد و هیدروفویل و محاسبه پتانسیل ناشی از هر قسمت بر دیگري تحقیق خود را انجام دادند.
بال [10] با استفاده از همین روش به بررسی همزمان اثر سطح و کف بر هیدروفویل مغروق در آب پرداخت.
در این مقاله براي تحلیل جریان حول یک هیدروفویل دو بعدي با سرعت ثابت و زاویه حمله مشخص در نزدیکی سطح آزاد از یک روش تکرار مبتنی بر تئوري گرین استفاده می شود. در این روش هیدروفویل و سطح آزاد به عنوان دو مسئله جداگانه در نظر گرفته میشوند و سطح هیدروفویل و سطح آزاد با پانلهایی شامل چشمه و دوگان تقریب زده می شود، سپس اثرات هر یک روي دیگري محاسبه میشود.
براي ارضا شرط مرزي روي سطح آزاد از ترکیب شرط مرزي سینماتیکی و دینامیکی روي سطح آزاد به صورت خطی شده استفاده میشود. با حل عددي معادله انتگرالها، مقادیر مجهول پتانسیلهاي اختلالی روي سطح آزاد وهیدروفویل بدست میآید و در هر تکرار اصلاح می شود، تا مسئله همگرا شود. این کد عددي داراي سرعت بالایی میباشد و نتایج مطابقت خوبی با نتایج سایر مقالات دارد. بعد از اعتبارسنجی این روش به بررسی پارامترهاي موثر بر عملکرد هیدروفویل از قبیل ضخامت، انحنا، عدد فرود، نسبت ارتفاع به کورد و زاویه حمله پرداخته شده است.
معادلات حاکم
مطابق شکل - 1 - هیدروفویل با زاویه حمله مشخص و در ارتفاع معین از سطح آزاد که جریان با سرعت ثابت به صورت یکنواخت با آن برخورد می کند، نشان داده شده است.
در مسائل زیر سطحی معیار سرعت بر حسب عدد فرود بیان میشود.
شکل :1 نماي دوبعدي هیدروفویل مغروق در نزدیکی سطح آزاد
به طوریکه منظور از - U - سرعت جریان آزاد، و - c - طول کورد هیدروفویل است.
در این مطالعه فرض براین است که کاویتاسیون رخ نمیدهد، همچنین جریان پایدار، غیر چرخشی و غیرلزج میباشد.
مطابق رابطه - 2 - پتانسیل کل را می توان با دو ترم اختلالی و جریان
آزاد نشان داد.
شرطهاي مرزي که میبایست ارضا شوند:
الف : شرط مرزي سینماتیکی روي سطح جسم: براي این که سطح هیدروفویل خط جریان باشد، می بایست سرعت عمودي بر روي هیدروفویل برابر صفر باشد به طوریکه منظور از بردار یکه نرمال بر سطح هیدروفویل است.
ب : شرط کوتا در لبه فرار هیدروفویل: مطابق با این شرط می بایست سرعت در لبه فرار هیدروفویل محدود باشد.
ج : شرط مرزي سینماتیکی روي سطح آزاد: طبق این سیال می بایست سطح آزاد را دنبال کنند. ,
منظور از - F - تابعی است که سطح آزاد را توصیف می کند و منظور از - ζ - تابع منحنی موج می باشد. اگر از ترم هاي مرتبه دوم صرف نظر کنیم می توان شرط مرزي سینماتیکی را به صورت زیر نوشت.
د : شرط مرزي دینامیکی روي سطح آزاد: فشار روي سطح آزاد باید برابر با فشار اتمسفر باشد. با نوشتن معادله برنولی روي سطح آزاذ وصرف نظر کردن از ترم هاي مرتبه دوم خواهیم داشت:
با ترکیب شرط مرزي دینامیکی و سینماتیکی روي سطح آزاد داریم: ∂ 0 - 9 - منظور از عدد موج است
مطابق شکل - 1 - مشاهده می شود این شرط میبایست در پایین دست جریان و در فاصله اي در بالادست جریان - - ارضا شود.
بال [11] به بررسی فواصل مختلف براي شرط مرزي سطح آزاد پرداخت و نتیجه گرفت که طول مناسب براي ناحیه بالادست
باید نصف طول موج باشد =.5λ - - . که منظور از - λ - طول موج ایجاد شده در سطح آزاد است.
ه : شرط مرزي انتشار: به منظور جلوگیري از ایجاد موج در بالادست جریان میبایست مشتق اول و دوم پتانسیل اختلالی نسبت به جهت افق صفر باشد
براي بدست آوردن ترم هاي مشتق مرتبه اول و دوم نسبت به محور افق از رابطه ارائه شده توسط داسون [13] که بر مبناي طرح تفاضل محدود مرتبه چهارم است استفاده می کنیم.
ضرایب بالا در مقاله داسون [13] ارائه شده است.
استخراج معادله انتگرالها:
با بکارگیري تئوري سوم گرین براي سطح آزاد وهیدروفویل می توان نوشت :
الگوریتم حل
روش تکرار شامل دو قسمت میباشد، قسمت هیدروفویل که براي پتانسیلهاي مجهول روي سطح هیدروفویل نوشته میشود و قسمت سطح آزاد که براي پتانسیلهاي مجهول روي سطح آزاد نوشته میشود. طبق معادله - 17 - پتانسیل اختلالی در میدان حل که ناشی از هیدروفویل میباشد به صورت زیر است.
همچنین طبق معادله - 18 - پتانسیل اختلالی در میدان حل که ناشی از سطح آزاد میباشد به صورت زیر می باشد.
با جاگذاري معادله - 17 - در معادله - 14 - وهمچنین جاگذاري معادله - 18 - در معادله - 14 - به دو معادله - 19 - و - 20 - می رسیم:
با حل تکراري این دو معادله به طوریکه ابتدا معادله - 19 - بدون در نظر گرفتن ترم سطح آزاد حل می شود، سپس با استفاده از پتانسیل هاي بدست آمده از معادله - 19 - پتانسیل ناشی از هیدروفویل در میدان جریان را با استفاده از معادله - 17 - بدست می آوریم. در مرحله بعد معادله - 20 - با در نظر گرفتن ترم ناشی از هیدروفویل که در مرحله قبل بدست آمد حل میشود، سپس با مقادیر پتانسیل جدید پتانسیل ناشی از اثر سطح از معادله - 18 - بدست میآید. سپس دوباره معادله - 19 - این بار با در نظر گرفتن اثر سطح حل میشود.
این دو مرحله آنقدر تکرار میشود تا اختلاف بین پتانسیل محاسبه شده از دو معادله - 19 - و - 20 - ناچیز شود.
نتایج عددي
براي شبیهسازي عددي لازم است استقلال از شبکه بررسی شود به این منظور جریان حول هیدروفویل جوکوفسکی با ضخامت - =0,12 - در زاویه حمله - 5 - درجه، عدد فرود - 0,95 - و نسبت ارتفاع به کورد برابر - 1 - با نتایج باي [3] مقایسه شد. شکل هاي - 2 - و - 3 - به ترتیب نمودار توزیع ضریب فشار و منحنی موج در سطح آزاد به ازاي تعداد پانل هاي مختلف روي سطح آزاد و هیدروفویل میباشد. منظور از - NH - و - NFS - به ترتیب تعداد پانلها روي هیدروفویل و سطح آزاد است. مشاهده میشود که در تعداد 100 پانل روي هیدروفویل و200 پانل روي سطح آزاد جواب ها از تعداد پانل مستقل میشوند.
شکل :3 نمودار منحنی موج در سطح آزاد براي هیدروفویل جوکوفسکی در
زاویه حمله 5 درجه وعدد فرود 1و نسبت ارتفاع به کورد برابر 1
به منظور تایید درستی روش ارائه شده در این مقاله مقادیر محاسبه شده با نتایج بدست آمده از کار یانگ و بوگر محاسبه شده است.
شکل - 4 - توزیع ضریب فشار براي هیدروفویل در زاویه حمله 5 درجه وعدد فرود برابر 1 وارتفاع برابر کورد بدست آمده است.همچنین شکل - - 5 منحنی موج ایجاد شده توسط هیدروفویل در زاویه حمله 5درجه، عدد فرود برابر - - 0,9 و ارتفاع برابر کورد است.
شکل :4 نمودار توزیع ضریب فشار حول هیدروفویل ناکا 4412 در زاویه حمله 5 درجه و عدد فرود 1و نسبت ارتفاع به کورد برابر
شکل :2 نمودار توزیع ضریب فشار براي هیدروفویل جوکوفسکی در زاویه حمله 5 درجه وعدد فرود 1و نسبت ارتفاع به کورد برابر 1
شکل :5 نمودار منحنی موج در سطح آزاد براي هیدروفویل ناکا 4412 در زاویه حمله 5 درجه وعدد فرود 0,9 و نسبت ارتفاع به کورد برابر 1
