بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بررسی سطح آزاد سیال در پدیده تلاطم((sloshing دوبعدي به روش المان مرزي
چکیده: پدیده تلاطم (Sloshing) یکی از پدیده هاي مهم مکانیک سیالات است که در طراحـی مجموعـه هـاي سـازه-سـیالی کـاربرد فراوانی دارد. در مواردي مانند کپسولهاي گاز LNG، کشتی ها و ... که سیال با سطح آزاد در آنها نقش مهمی را ایفا مـی کنـد و نیروهـاي سیالی وارد بر اجزاء، منجر به انتخاب جنس و شکل هندسی مناسب براي تجهیزات می شود، بررسی پدیده تلاطم بسیار حائز اهمیت است.
در این مقاله این پدیده به صورت دوبعدي در یک ظرف مستطیلی محتوي سیال آب با روش المان مرزي مورد بررسی قرار گرفتـه است. موقعیت سطح آزاد به روش مستقیم و با المان ثابت، خطی و ترکیبی بر حسب زمان به دست آمده است. نتایج المان خطی دقیق تـر از المان ثابت است ولی تفاوت شرایط مرزي در نقطه مشترك دو مرز باعث می شود خطاي جواب المان خطی نسبت به المان ثابت افزایش یابد. براي رفع این مشکل المان ها به صورت ترکیبی انتخاب گردیده اند. بدین صورت که تمام المانها به استثناء المانهایی که یـک سـمت آنها بین دو مرز با شرایط مرزي متفاوت واقع شده اند، به صورت خطی در نظر گرفته شـده انـد. در نقـاط اشـتراك مرزهـا از المـان ثابـت استفاده شده است. این موضوع سبب شده با تعداد المان کمتري دقت قابل قبولی در جوابها بـه دسـت آمـده و زمـان حـل بـه طـور قابـل ملاحظه اي کاهش یابد. در تحلیل این پدیده فرض جریان پتانسیل و شرط مرزي خطی مورد استفاده قرار گرفته است.
نتایج تحلیل نشان می دهند در صورتیکه ابعاد ظرف کوچک باشد، اختلاف نتایج با مقادیر به دست آمده از مقـالات دیگـر تفـاوت دارد. این اختلاف ناشی از تأثیرگذار بودن لزجت در ابعاد کوچک ظرف می باشد. لکن درصورتیکه ابعاد ظـرف بـزرگ شـوند تطـابق بـسیار خوبی بین نتایج این مقاله و مقالات دیگر وجود دارد. همچنین اگر پدیده تلاطم باعث ایجاد دامنه حرکت زیاد در سـطح آزاد سـیال گـردد نتایج قابل قبول نخواهند بود. زیرا با افزایش دامنه، فرض خطی بودن شرط مرزي سطح آزاد سیال مخدوش می شود. نتایج این تحلیـل بـا فرض کوتاه بودن دامنه تلاطم و بزرگ بودن ابعاد ظرف، تطابق بسیار خوبی با نتایج مقالات دیگر دارد.
واژه هاي کلیدي: روش المان مرزي دوبعدي، پدیده تلاطم، المان خطی، المان ترکیبی.
.1 مقدمه
یکی از پدیده هاي مهم مکانیک سیالات، تلاطم است. این پدیده در طراحی مجموعه هاي سازه سیالی کـاربرد فراوانـی دارد. به عنوان نمونه در طراحی مخازن LNG محاسبات مربوط به این پدیده بسیار حائز اهمیت است. استفاده از گـاز طبیعـی مایع جهت حمل توسط کشتی ها و به عنوان سوخت براي خودروها به دلیل ایمنی بیشتر و آلودگی کمتر یکی از تکنولوژیهـاي به روز در دنیا می باشد. به دلیل اینکه در خودروها و کشتی ها تکانهاي زیادي وجود دارند، نیروهاي نوسانی زیادي بـه مخـازن حاوي گاز طبیعی مایع وارد می شود. بنابراین یکی از موارد مهم در طراحی این مخازن چگونگی تلاطم مایع درون آنهـا اسـت.
موارد مشابهی که پدیده تلاطم در آنها اهمیت ویژه اي دارد، فراوان هستند. سازه هاي شناور در اقیانوسـها کـه محتـوي سـیال هستند، سازه هایی از قبیل سدها که در معرض تکانهاي زمین یا انفجار قرار می گیرند، مخازن ته باز نفتی کـه نفـت درون آن در اثر حرکت امواج متلاطم می گردد و بسیاري موارد دیگر از این جمله هستند.
١
تلاطم یکی از پدیده هاي جریان سطح آزاد است. روش المان مرزي یکی از روشهایی است که جریانهاي سطح آزاد را با دقت خوب و با صرف زمان حل کمتر تحلیل می نماید.
محققین به طور گسترده بر روي جریانهاي سطح آزاد به روش المان مرزي کار کرده اند. [1] Grilli حرکت و شکست موج را به عنوان یکی از پدیده هاي سطح آزاد با روش المان مرزي تحلیل نموده است. تعدادي از نویسندگان پدیده تلاطم را با روش المان مرزي تحلیل نموده اند. از آن جمله می توان Hamano وهمکاران [2]، Gedikli و همکاران [3] و [4] Jamali
را نام برد. با توجه به تحقیقات صورت گرفته هنوز مطالب مبهم یا روشهاي جدید براي رفع مـشکلات ایـن نـوع مـسائل وجـود دارند. نقاط مشترك بین دو مرز (نقاط گوشه) از جمله مواردي هستند که عدم بکارگیري راهکار مناسب براي آنها باعث کاهش دقت حل عددي می شوند. براي حل مشکل نقاط گوشه راه حلهاي متفاوتی پیشنهاد شده است. در این تحقیـق بـراي افـزایش دقت براي المانهاي گوشه از المان ثابت و براي دیگر المانها از المان خطی استفاده شده است.
.2 روابط حاکم بر مسأله
بر اساس تئوري پتانسیل در مکانیک سیالات، معادله حاکم بر مسأله معادله لاپلاس می باشد. روش المان مرزي نیز بر اساس معادله لاپلاس پایه گذاري شده است. در این مسأله نیز معادله حاکم معادله پتانسیل است. معادله پتانسیل به صورت زیر می باشد:
که در آن φ تابع پتانسیل است.
شکل 1 ظرفی مستطیلی را نشان می دهد که سطح آزاد آب در آن به صورت مثلثی است. رابطه هندسی سطح آزاد در آن در زمان صفر به صورت زیر می باشد.
که در آن ξ دامنه حرکت سطح آزاد در هر نقطه از آن و ξ0 دامنه موج در وسط ظرف و در لحظه شروع حرکت هستند.
در این ظرف آب با سرعت اولیه صفر رها شده و شروع به تلاطم می نماید. شرایط مرزي براي این شکل به این صـورت در نظر گرفته شده است.
در دیواره سمت چپ، سمت راست و کف ظرف مستطیلی سرعت عمود بر سطح صفر است. بنابراین داریم.
که در آن n بردار عمود بر سطح و به سمت خارج آن می باشد.
با فرض موج با دامنه کوتاه و خطی بودن موج، شرط مرزي سینماتیکی و دینامیکی سطح آزاد به صورت زیر می باشند.
در این رابطه t زمان و g شتاب ثقل هستند. از این دو رابطه شرط مرزي زیر براي تعقیب حرکت سطح آزاد به دست می آید.
بنا به نظر Salmon و همکاران [5] بهترین مقادیر براي a و b براي پایداري جواب و دقت آن براي این نوع از مـسائل هنگامی است که مجموع این دو ثابت یک باشد. براي این مسأله خاص a=0/17 و b=0/83 در نظر گرفته شده اند.
.3 روش عددي المان مرزي
روش المان مرزي بر اساس معادله لاپلاس و اتحاد دوم گرین پایه گذاري شده است. اتحاد دوم گرین به صورت زیر بیان می شود.
در این رابطه ψ حل اساسی (Fundamental solution) معادله زیر بوده و Ω و S به ترتیب نمایانگر حجم و سـطح مرتبط می گردد. همانطورکه گفته شد، ψ به گونـه اي در نظر گرفته می شود که داشته باشیم.
که در آن δ دلتاي دیراك و p0 نقطه منبع می باشند.
با این مفروضات رابطه زیر که در حل عددي به کار می رود به دست می آید.
که در آن p نقطه اي است که مقدار تابع پتانسیل در آن مطلوب مسأله بوده و q نقاط روي مرز ناحیه حل هستند. α نیز زاویه اي است که رأس آن نقطه p بوده و درون آن ناحیه حل را جارو می نماید. اگر p درون ناحیه حل باشد، α مقـدار 2π، اگـر p
روي مرز صاف ناحیه حل باشد، α مقدار π، و اگر خارج ناحیه حل باشد مقدار صفر خواهد داشت. [6]
گسسته سازي معادله فوق به روشهاي متفاوتی انجام می شود. به کارگیري المانهاي ثابت و خطی دو روش مهـم بـراي تحلیل عددي به روش المان مرزي هستند. این دو نوع المان به صورت شماتیک در شکل 2 نشان داده شده اند. روي هر المـان دو موضوع باید در نظر گرفته شود. یکی هندسه المان و دیگري نوع تغییر مقدار مرزي روي این هندسـه المـان مـی باشـد. در هرکدام از این المانها نقاط گرهی (Nodal points) و نقاط ابتدا و انتهایی (Extreme points) اهمیت پیدا مـی کننـد. در این المانها مقادیر مرزي به نقاط گرهی منصوب می شوند. در المان ثابت هر المان به صورت یک پاره خط می باشد کـه شـامل یک نقطه گرهی در وسط آن است و مقدار مرزي مربوط به این نقطه گرهی می باشد. همچنین فـرض مـی شـود کـه در تمـام نقاط المان، مقدار مرزي ثابت است. در المان خطی نیز هر المان به صورت یک خط است و نقاط گرهی در ابتدا و انتهاي المان واقع هستند. مقدار مرزي روي این المان به صورت خطی تغییر می کند.
٣
در المان ثابت گسسته سازي به صورت رابطه زیر است.
در المان خطی نیز گسسته سازي به صورت رابطه زیر می باشد.
که در آن با فرض اینکه مختصات به مختصات ملی تبدیل شده اند، داریم.
.4 نتایج حل عددي
مطابق شکل 1 و رابطه 2 در این تحقیق دامنه ماکزیمم یا به عبارتی ξ0 مقدار 0/01 در نظـر گرفتـه شـد. از آنجاییکـه فرض خطی بودن شرط مرزي مورد استفاده قرار گرفته است، دامنه هاي موج بیشتر باعث ایجـاد خطـا شـده و نتـایج از دقـت کافی برخوردار نیستند. از طرفی ابعاد ظرف مطابق شکل 1، L=9.8 و H=9.8 متر در نظر گرفته شده اند. با ابعاد کمتر از این مقدار به دلیل غیرچرخشی درنظر گرفتن جریان جوابها با حل تحلیلی Liu و [7] Liggett تطابق نداشتند.
در ابتدا مسأله تلاطم مطرح شده، با المان ثابت تحلیل گردید. نمودار شکل 3 نتایج به دسـت آمـده از حـل عـددي در مقایسه با حل تحلیلی این مسأله که توسط Liu و [7] Liggett ارائه شده است را نشان مـی دهـد. همـانطور کـه در نمـودار نشان داده شده است. هرچه تعداد المانهاي سطح آزاد افزایش یابد دقت حل نیز افزایش می یابد. در این نمودار جابجایی سطح
