بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله یک مدل جدید برای شبیه سازی استاتیکی یک میکرو ورق دایرهایی ارائه میگردد. این سیستم توسط میدان الکترواستاتیک راه اندازی میشود. بر مبنای تئوریهای وابسته به ابعاد برای میکرو ورق مدلسازی انجام و معادلات حرکت استخراج میگردد. در مدلسازی، تئوری غیر کلاسیک کوپل تنش اصلاح شده و اصل همیلتون در استخراج معادلات حرکت در نظر گرفته شده است.
معادلات مربوطه به صورت استاتیکی مورد مطالعه قرار گرفته و همچنین ناپایداری استاتیکی مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج نشان میدهند که اختلاف فاحشی میان دادههای حاصل از دو نظریه وجود دارد و همچنین مقدار محاسبه شده مربوط به خیز استاتیکی و سختی میکروورق به ترتیب بیشتر و کمتر از مقدار واقعی میباشد بنابراین در این مطالعه جهت پیشبینیهای دقیق استفاده از نظریه رایج غیرکلاسیک کوپل تنش اصلاح شده مورد توجه قرار گرفته است.
-1 مقدمه
سیستمهای میکروالکترومکانیکی - MEMS1 - ابزارها و ساختارهای الکترونیکی مکانیکی هستند که با کمک تکنولوژیهای جدید در مقیاس میکرو ساخته شدهاند. این سیستمها از حالت ساده، بدون قطعات متحرک تا حالت پیچیده با چندین قطعهی متحرک در مدار ظاهر میشوند . در دهههای اخیر، ابداع سیستمهای میکروالکترومکانیک منجر به ایجاد تحولات بزرگ و قابل توجهی در زمینههای مختلف علوم و تکنولوژی شده است. برای مثال بسیاری از تجهیزات پیشین با استفاده از بهرهگیری از این فنآوری در ابعاد بسیار کوچک و با عملکرد قابل قبول ارائه شده است. از جمله مهمترین ویژگیهایی که سیستمهای میکروالکترومکانیک را از سایر سیستمهای پیشین متمایز میکند میتوان به راندمان بالا، مصرف انرژی پایین و هزینهی تولید و راهانذازی بسیار کم اشاره کرد.
سیستمهای میکروالکترومکانیک معمولا به روشهای مختلفی تحریک میشوند که از جملهی مهمترین این روشها تحریک مغناطیسی، تحریک حرارتی، تحریک پیزوالکتریک و تحریک الکترواستاتیک می-باشد. پرکاربردترین و بهینهترین روش تحریک برای سیستمهای میکروالکترومکانیک روش الکترواستاتیک می-باشد که از شاخصترین ویژگیهای آن میتوان سرعت و بازدهی بالا و همچنین سادگی مکانیزم را نام برد.
میکروورقها کاربردهای گستردهایی در سیستمهای میکروالکترومکانیک همچون شتابسنجها، میکروسوئیچها و بخصوص حسگرهای جرم را دارا میباشند. محققان زیادی رفتارهای استاتیکی میکروورقها را مورد بررسی قرار دادهاند. به طور مثال اسماعیل و همکارانش [1] به تحلیل ، بررسی و تولید میکروحسگر جرم پرداختهاند که این حسگر از یک میکروورق دایرهایی از جنس سیلیکون تک کریستال تهیه و به روش تحریک الکترواستاتیک به ارتعاش درآمده است. همچنین معین فرد و همکارانش به بررسی تغییر شکل استاتیکی میکروورقها پرداختهاند و بر روی معادلات حرکت و تنشهای موجود بحث کردهاند..
ساختمان میکرو ورق مورد مطالعه از یک میکرو ورق دایرهای کاملا متقارن و یک الکترود ثابت تشکیل شده است. میکرو ورق با یک فاصله هوایی از الکترود ثابت قرار گرفته است. با اعمال ولتاژ و برقراری میدان الکتریکی میان میکرو ورق و الکترود زیرین میکرو ورق شروع به پایین آمدن به سمت الکترود زیرین میکند.پس از عبور مقدار ولتاژ اعمالی از یک حد مشخص میکرو ورق خمیده شده و با صفحه زیرین برخورد میکند،این پدیده ناپایداری کششی نام دارد. به ولتاژ مربوط به این پدیده ولتاژ بحرانی گفته میشود.
همانطور که گفته شد در دهههای اخیر سیستمهای میکرو کاربرد گستردهایی در تمام زمینههای علوم و فناوری دارا میباشند و محققین زیادی در این زمینه به تحقیق و بررسی پرداختهاند. بر طبق نتایج بدست آمده در سیستمهای میکرو رفتار ارتعاشی و تغییر شکل استاتیکی پیشبینی شده توسط نظریهی کلاسیک با نتایج آزمایشگاهی انحراف چشمگیری دارد. به عنوان مثال در آزمایشی که توسط فلک و همکاران بر روی سازه های میکرو انجام شد نشان داد که سختی سازه ها در این حالت به میزان قابل توجهی - حدود سه برابر - بیشتر از مقدار پیش بینی شده در نظریه ی کلاسیک می باشد.
درحالیکه تئوریهای غیرکلاسیک، نظیر کوپل تنش اصلاحی، بهطور قابل قبولی قادر به تفسیر رفتار وابسته به اندازه سیستمها هستند و به خوبی میتوانند نتایج آزمایشگاهی میکروسازهها را دنبال نمایند5]،.[4 محققان بسیاری در دهه های جدید از این تئوری برای تحلیل میکرو تیرها استفاده کرده اند که به عنوان نمونه می توان به این موارد اشاره کرد: کنگ از اصول همیلتون استفاده کرده و مدل تیر اولر برنولی را براساس این نظریه توسعه دادند.[6] همچنین وانگ از این تئوری برای تحلیل رفتار میکرو لوله های حاوی سیال استفاده کرد و بعد از آن رهایی فرد و همکاران با استفاده از این روش به بررسی رفتار دینامیکی وابسته به ابعاد میکرو نوسانگرها تحت یک ولتاژ ناگهانی پرداخته اند
در فعالیتهای گذشته بررسی میکروورقها براساس نظریهی کلاسیک بوده و بر اساس آنچه که بیان شد این نظریه در تحلیل و بررسی دقیق سازههای میکرو ناتوان است. هدف از این مقاله تحلیل استاتیکی یک میکرو ورق دایرهایی بر اساس نظریهی کوپل تنش اصلاح شده بوده که به عنوان روشی جهت تحلیل دقیق میکرو سازهها می-باشد. در این نظریه وابستگی ابعادی به عنوان یک پارامتر اساسی و مهم در نظر گرفته شده است. در مدلسازی، از معادلهی حرکت ورق دایرهایی استفاده کرده و این معادله با استفاده از تئوری کوپل تنش اصلاح شده بسط داده میشود.
-2 مدلسازی
ابتدا معادله حرکت کلی ورق را طبق تئوری کوپل تنش اصلاح شده در دستگاه مختصات کارتزین به کمک اصل همیلتون به دست میآوریم. سپس برای پیدا کردن معادلهی حرکت برای حالت خاص ورق دایرهایی از روش تغییر دستگاه مختصات از کارتزین به قطبی استفاده میکنیم. میدان جابهجایی برای ورق در در دستگاه کارتزین به صورت زیر درنظر گرفته میشود
که w خیز عرضی ورق در راستای محور z می باشد چگالی انرژی کرنشی بر طبق تئوری کوپل تنش اصلاح شده برابر است با :
که l پارامتر مقیاس طول است و همان وابستگی ابعادی میکروسازهها را نشان میدهد.
با پیدا کردن تمامی جملات مربوط به انرژی کرنشی و انتگرالگیری روی حجم ورق و سادهسازی، انرژی کرنشی کل به صورت زیر بدست میآید:
انرژی جنبشی و کار خارجی مطابق با روابط زیر به دست میآید:
که نیروی الکترواستاتیک مربوطه برای ورق دایرهایی به صورت زیر میباشد :
که d فاصلهی اولیه ی میکرو ورق از پایه ی ثابت است. بر طبق اصل همیلتون داریم:
با قرار دادن انرژی کرنشی و کار خارجی و انرژی جنبشی در اصل همیلتون، انتگرالگیری معادلهی حرکت به صورت زیر بهدست میآید و در نهایت با بیان عملگر در دستگاه قطبی، معادلات در سیستم مختصات قطبی بدست می آید.
