بخشی از مقاله
خلاصه
روشهای عددی مرتبه دوم متعددی برای حل معادله تعادل دینامیکی سازهها پیشنهادشدهاند. پایداری مشروط، خطای کشیدگی دوره تناوب، خطای وجود فرکانسهای جعلی و وابستگی این روشها بهاندازه گام زمانی از مهمترین مشکلات این روشها میباشند. در میان روشهای مرتبه دوم، روش شتاب متوسط نیومارک علیرغم دارا بودن خطای وجود فرکانسهای جعلی، به دلیل پایداری نامشروط از بقیه روشها کاربردیتر است. در سالهای اخیر روشهای مرتبه اول زیادی برای غلبه بر مشکلات فوق پیشنهادشده است. لیکن این روشها نیز دارای مشکلات پایداری، دقت و خطای معکوس ماتریس حالت میباشند. اگر ماتریس حالت منفرد یا بدحالت باشد، خطاهای عددی در محاسبات وارد میشود. هدف روشهای مرتبه اول پیشنهادشده بهبود پایداری، دقت و حذف اثر معکوس ماتریس حالت بوده است. لیکن این روشها دارای پایداری مشروط بوده و بررسی خطاها برای بارگذاری دینامیکی مسکوت مانده است. هدف اصلی این مقاله، بهکارگیری روش تجزیه ماتریس حالت بر اساس مقادیر ویژه منفرد SVD برای اصلاح روش PIM میباشد. با بهکارگیری روش معکوس سازی SVD مشکل این روش برطرف شده است. همچنین، با روش پیشنهادی برای بارگذاریهای مختلف خطای پاسخهای دینامیکی بررسیشده است. نتایج نشان میدهد که روش ارائهشده PIMS پایدار بوده و در مقایسه با روش مرتبه دوم نیومارک و روشهای مرتبه اول موجود از دقت بالاتری برخوردار میباشد.
روشهای عددی انتگرالگیری مستقیم برای محاسبهی پاسخهای دینامیکی سازهها از دهه 70 میلادی توسعه دادهشدهاندو معمولاً در دودسته طبقهبندی میشوند. یکی بر اساس حل مستقیم معادلات تعادل مرتبه دوم و دیگری تبدیل معادله مرتبه دوم به مرتبه اول و انتقال آن به فضای حالت. روشهای مرتبه دوم به دو نوع صریح و ضمنی تقسیمبندی میشوند که هرکدام نیز میتوانند در قالب تک گامی و یا چند گامی قرار گیرند .[1] پایداری مشروط، خطای کشیدگی دوره تناوب، خطای کاهش دامنه، خطای وجود فرکانسهای جعلی و وابستگی این روشها بهاندازه گام زمانی از مشکلات این روشها میباشد. لیکن، روشهای مرتبه دوم بهصورت گستردهای مورداستفاده قرارگرفتهاند و در بین آنها تعدادی دارای کاربرد بیشتری میباشند. محققین مختلف درگذشته تحقیقات جامعی را درزمینهی روشهای مرتبه دوم انجام دادهاند. بته و ویلسون [2]، وود [3] و هوگس [4] تعدادی از روشهای عددی را معرفی نمودند. ساباراج و دوکانیش [5] بررسی دقیقی از روشهای عددی قبل از زمان خود را ارائه دادند. از میان روشهای مرتبهی دوم، روش شتاب متوسط نیومارک با توجه بهدقت مناسب این روش و پایداری نامشروط آن، دارای خطای فرکانسهای جعلی بوده و توانایی حذف اثر نامطلوب مدهای بالا را ندارد. بااینوجود، این روش پرکاربردتر از بقیه روشها میباشد. برای دستیابی به دقتی بالاتر و فائق آمدن بر مشکل پایداری و دقت روشهای مرتبه دوم، با کاهش مرتبه و تبدیل معادلات به فضای حالت، روشهای عددی مرتبه اول به وجود میآیند. این روشها نیز دارای مشکلات پایداری، دقت و خطای معکوس ماتریس حالت میباشند.
اگر ماتریس حالت منفرد و یا بدحالت باشد، خطای بسیاری در محاسبات داخل میگردد. محققین مختلف در سالهای اخیر تحقیقات جامعی را درزمینهی تحلیل دینامیکی در فضای حالت انجام دادهاند. در سال 1994 توسط زانگ و ویلیام روش مرتبه اولی معرفی شد که در آن با یک تغییر متغیر، معادلهی مرتبه دوم به روش مرتبه اول تبدیل میشود .[6] روش آنها به HPD-L معروف شد. این روش بر اساس معادلهی تعادل دینامیکی تحت اثر بار خطی استوار بوده و در نقاط انتگرالگیری جواب دقیقی را به دست میدهد. لیکن دقت این روش به دلیل خطای ذاتی ماتریس معکوس و معادلسازی نیرو بهویژه زمانی که سیستم غیر همگن است، بسیار کاهش مییابد. شن و لین [7] روش HPD-F را برای معادلهی تعادل غیر همگن ارائه نمودند؛ لیکن دقت آن نیز با معادلسازی بار و خطای معکوس سازی ماتریس حالت کاهش مییافت. گوو و زانگ [8] نسخه جدیدی از PIM را با استفاده از روش بسط ابعادی ارائه نمود که معادلهی غیرهمگن را به معادلهی همگن تبدیل میکند. محاسبات این روش نیازمند فضای زیادی برای ذخیرهسازی بوده و باوجوداینکه نیازی به محاسبهی معکوس ماتریس حالت ندارد، لیکن استفاده از آن غیرکاربردی است. ونگ و زوو [9] با بررسی جزییات پایداری مدل زانگ نشان دادند که این روش دارای پایداری مشروط میباشد. ونگ و آوو [10] روش PTSIM را ارائه نمودند که در آن از روش گوس برای حل معادلات استفادهشده است. دقت این روش تنها به تعداد نقاط گوسی و اندازه گام زمانی وابسته میباشد؛ لیکن این روش دارای پایداری مشروط است. ونگ و آوو روش NICPIM را ارائه نمودند که با استفاده از روش تجزیه ماتریس، نیاز به محاسبهی معکوس ماتریس را برطرف ساخته و پایداری آن را نامشروط گزارش کردند. لیکن، این روش نیز در صورت منفرد بودن و یا بدحالت بودن ماتریس حالت، دارای خطای بالایی میباشد. هدف روشهای مرتبه اول پیشنهادشده تا به امروز بهبود روش پایداری، دقت و حذف اثر معکوس ماتریس بوده است.
درنهایت وو و چوانگ [11] مدل جدیدی از روش PIM را ارائه دادند که با استفاده از اثر بازخورد دقت و پایداری روش PIM را بهبود بخشیدند: لیکن این روش نیز دارای خطای معکوس سازی ماتریس حالت میباشد. با توجه به مشکلات ذکرشده در فوق در تحقیقات پیشین، در این مقاله روش مرتبه اول برای معادلات ناهمگن تحت بارگذاری دینامیکی در نظر گرفتهشده است. ازآنجاکه این روش دارای دقت و پایداری مطلوب میباشد، در این تحقیق سعی شده است تا خطای محاسبهی ماتریس معکوس برطرف گردد. ازاینرو با بهکارگیری روش محاسبهی ماتریس معکوس با استفاده از مقادیر ویژهماتریس - SVD - این خطا حذف گردیده است. نتایج بیانگر آن است که دقت روش پیشنهادشده بهمراتب بهتر از روشهای مرتبه اول پیشین و مرتبه دوم رایج نیومارک میباشد. این روش برخلاف تمام روشهای مرتبه دوم قبل از خود بهاندازه گام زمانی حساس نبوده و در مقایسه با آنها دارای دقت بالاتری میباشد. معادله تعادل دینامیکی مرتبه دوم را بهصورت رابطهی - 1 - در نظر بگیرید.
که در آن معادله M ماتریس جرم، C ماتریس میرایی، K ماتریس سختی و F بردار نیروهای خارجی را نشان میدهد و ,̈ ,̇ به ترتیب بیانگر جابجایی، سرعت و شتاب درجات آزادی سازه میباشند. درروش PIM با انتقال معادلهی مرتبه دوم - 1 - به معادلات مرتبه اول در فضای حالت، معادلهی - 2 - بهصورت زیر به دست میآید. که در آن متغیر حالت، c ماتریس حالت، D ماتریس کوپلینگ ورودی-خروجی، ماتریس ورودی نامیده میشود و کنترلکنندهی F میباشد. اگر صفر باشد کنترلی روی F وجود نداشته و مستقل از زمان میباشند.[12] فرم گسسته شدهی معادلهی - 2 - بهصورت معادلهی - - 3 نوشته میشود.که در آن ، ماتریس انتقال حالت نامیده میشود و دقت روش وابسته بهدقت محاسبهی ماتریس انتقال حالت میباشد. در معادلهی - - 3 ماتریس T - W - بهصورت رابطهی - - 4 نوشته میشود.
در این مقاله بنا بر پیشنهاد مولار و لئن m = 2N [13] و بنا بر پیشنهاد وو و چوانگ 5 [11] یا N=4 در نظر گرفتهشده است. - τ - با استفاده از بسط سری تیلور بهصورت رابطه - 5 - محاسبه میگردد. که در آن I ماتریس واحد میباشد و به دلیل دقت مناسب چند جملهی نخست سری تیلور از محاسبهی جملات بالاتر صرفنظر کرده و بنا بر پیشنهاد ونگ و آوو، محاسبات برای L=4 صورت میگیرد [10] و بهصورت رابطه - 6 - نوشته میشود. بر اساس روابط بازگشتی ماتریس ai بهصورت رابطه - 7 - بازنویسی میشود. مقدار ai ها بسیار کوچک میباشند و برای اجتناب از گرد شدن و حذف مقادیر در خلال محاسبات کامپیوتری مقادیر آنها محاسبه و با ماتریس یکه جمع میگردد. بدینصورت، دقت محاسباتی ماتریس - ∆t - افزایش مییابد .[11] مطابق رابطهی - - 3 محاسبه پاسخ سازه درروش PIM نیازمند محاسبهی معکوس ماتریس حالت c میباشد؛ بنابراین زمانی که ماتریس حالت منفرد و یا بدحالت باشد محاسبات دارای خطا خواهد بود. در این مقاله برای اجتناب از این خطا از روش معکوس ماتریس SVD استفادهشده است.[15]
یکی از مشکلات روشهای مرتبه اول محاسبهی معکوس ماتریس حالت میباشد که اگر این ماتریس بدحالت یا منفرد باشد، خطای بسیار زیادی در محاسبات وارد میشود. در این مقاله با استفاده از روش محاسبهی معکوس ماتریس بر پایهی مقادیر ویژه - SVD - این ضعف برطرف گردیده و حتی در صورت منفرد و یا بدحالت بودن ماتریس حالت نیز محاسبات دارای دقت مناسب میباشد. در روش SVD، ماتریس Am×n با مرتبه K را میتوان بهصورت A= 8 9T تجزیه نمود. پارامترهای Um×m=[u1 … Xm] و Vn×n=[v1 … Ym]ماتریسهای متعامدی هستند که ستونهای ماتریس Um×m از بردارهای ویژهماتریس AAT و ستونهای ماتریس Vn×n از بردارهای ویژهماتریس ATA تشکیل میشوند و m×n یک ماتریس قطری است که عناصر روی قطر آن مقادیر منفرد غیر صفر ماتریس AAT یاATA میباشند
در اینجا σ1 و σK به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر منفرد غیر صفر ماتریس A میباشند. برای ماتریس مربعی An×n معکوس ماتریس بهصورت زیر تعریف میشود؛ که در آن -1=GLDJ - 1/ 1.1/ 2'…'1/ n - میباشد. دقت روش بهبودیافته برای سازه یک درجه آزادی میرا نیز در این مقاله بررسیشده است. برای این منظور، یک سازهی یک درجه آزادی با جرم 100 هزار کیلوگرم، سختی - 100 - kN/m و نسبت میرایی بحرانی 5 درصد و بارگذاری P - t - =50sin - W - - N1 - 0 W 1 با فرکانس بار 2 در نظر گرفته میشود. برای مقایسه دقت روش پیشنهادشده، مشخصات سازه با مرجع [11] یکسان میباشد. پاسخ دینامیکی سازه برای روشهای، PIM
