بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله درک دانشجویان سال اول دانشگاه را از یک مسئلهی نموداری در ارتباط با مشتق اول و دوم بررسی کردهایم. یک مسئلهی غیر متعارف که حاوی شرایطی روی علامتهای مشتق اول و دوم تابع است به دانشجویان ارائه کردیم و از آنها خواستیم نمودار تابع را رسم کنند. برای بررسی پاسخهای دانشجویان از طرحوارهی نموداری حساب دیفرانسیل بیکرٌ و همکاران استفاده کردهایم. بیشتر دانشجویان حاضر در تحقیق ما در حل این مسئله مشکل داشتند. در مصاحبههایی که با دانشجویان انجام دادیم درک آنها را در قسمتهایی که قادر به انجام آن بودند و قسمتهایی که مشکلاتی در انجام آن داشتند، کشف کردیم.
مقدمه
معمولا دانشجویان میتوانند از یک تابع دارای ضابطهی مشخص، مشتق اول و دوم بگیرند و توابع ′ - - و ′′ - - را به دست آورند. اما همین دانشجویان درک کمتری از بازنمایی نموداری مشتق اول و دوم دارند و در رسم نمودار بر اساس اطلاعات مشتق اول و دوم با مشکل مواجه میشوند . - [2],[6] - در این تحقیق درک نموداری دانشجویان سال اول دانشگاه را از مشتق اول و دوم بررسی کردهایم. اطلاعاتی در مورد علامت مشتق اول، ′، و دوم، ′′، روی بازههای مشخص به دانشجویان دادیم و از آنها خواستیم که نمودار یک تابع با شرایط داده شده را رسم کنند.
همانطور که نتایج تحقیقات نشان میدهد - [3],[4] - بیشتر دانشجویان و دانشآموزان در کلاسهای حساب دیفرانسیل و انتگرال میتوانند از توابع جبری مشتق بگیرند و فرمول ′ را به دست آورند یا معادلهی خط مماس به یک منحنی با ضابطهی جبری مشخص را در یک نقطهی دلخواه به دست آورند ولی آیا دانشجویان و دانشآموزان میتوانند این مفاهیم را درک کنند، اگر به فرم ضابطههای جبری ارائه نشده باشند و تنها در قالب نموداری بیان شده باشند؟ نظریه - APOS نظریهی APOS به طور اساسی توصیف میکند که مفاهیم ریاضی چگونه یاد گرفته میشوند.
در واقع به عنوان یک چارچوب توضیح میدهد که چگونه فراگیران درکشان را از یک مفهوم ریاضی میسازند. طبق نظریهی APOS مفاهیم ریاضی به طور مستقیم یادگرفته نمیشوند بلکه در ابتدا ساختارهای مرتبط با آن مفهوم در ذهن فراگیران ساخته میشود، که به فرضیهی یادگیری ریاضیات معروف است. همچنین دانش ریاضی یک فرد یعنی تمایل وی برای پاسخگویی به یک موقعیت مسئلهی ریاضی از طریق ساخت یا بازسازی ساختارهای ذهنیٍ که در موقعیتهای مختلف از آنها استفاده مینماید.
ساختارهای ذهنی نظریه APOS عبارتند از عملَ، فرایندُ، شئِ و طرحوارهّ. نظریه پیشرفت طرحواره - پیشرفت طرحوارهها به عنوان ارتباطهایی بین اعمال، فرایندها و اشیاء قبلی و جدید و دیگر طرحوارههایی که از قبل ساخته شدهاند و یا از نو در حال ساخته شدن هستند، میباشد. پیشرفت آنها ممکن است توسط سه مرحله که پیاژهْ و گارسیاَ تحت عنوان Triad، سه گانه، معرفی کردهاند قابل توصیف باشد.
در مرحلهی اول، با نام Intra، اشیاء ریاضی در حال ساخته شدن هستند اما در اکثر موارد آنها نسبت به یکدیگر ایزوله باقی میمانند. در مرحلهی دوم، Inter ، شناسایی ارتباط بین فرایندها و اشیاء مختلف و انتقال بین آنها در حال شروع شدن است. مرحلهی آخر، Trans، زمانی است که ارتباطهای شناسایی شده در مرحله قبل به صورت یک ساختمان از ساختارهای منسجم ظاهر شوند. تحقیقات مرتبط. تحقیقات زیادی با استفاده از نظریه APOS و نظریهی پیشرفت طرحواره پیرامون یادگیری شاخههای مختلف ریاضیات از جمله ریاضیات گسسته، جبر، جبر خطی، حساب دیفرانسیل و انتگرال و حتی ریاضیات فازی انجام شده است . - [1],[7] - دامنهی این تحقیقات حتی از حوزهی ریاضی فراتر رفته و از این نظریه در مهندسی کامپیوتر، علوم کامپیوتر و آمار نیز استفاده شده است . - [1] -
روش انجام تحقیق شرکت کنندگان - 14 دانشجوی سال اول یکی از دانشگاههای دولتی خراسان رضوی که در نیمسال اول تحصیلشان در حال گذراندن واحد ریاضی عمومی 1 بودند به طور کاملا داوطلبانه در این تحقیق شرکت کردند. جلسات مصاحبه با تمام دانشجویان به طور کامل در قالب فایلهای صوتی ضبط میشد. چارچوب نظری. برای بررسی درک دانشجویان از چارچوب نظری بیکر و همکاران - [3] - استفاده کردهایم. طبق نتایج آنها پیشرفت طرحوارهی نموداری حسابدیفرانسیل و انتگرال میتواند توسط تعامل دو طرحوارهی خصوصیتُ و طرحوارهی فاصلهًٌ توصیف شود.
پیشرفت طرحوارهی خصوصیت. طرحوارهی خصوصیت دو جنبهی مهم را شامل میشود: - 1 فهمیدن هر شرط تحلیلی - شرطهایی که در صورت مسئله وجود دارد - به عنوان رابطهای که با یک خصوصیت نموداری تابع دارد و - 2 هماهنگ کردن این شرایط با یکدیگر. شرایط شامل اطلاعات مشتق اول و دوم - آیا آنها مثبت، منفی یا صفر هستند - ، حد مشتق اول و پیوستگی تابع است. اینها شرایط اصلی و مهم یک مسئلهی نموداری حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. چارچوب Triad به کار برده شده برای این طرحوارهی خاص در زیر توصیف شده است.
در سطح Intra از طرحوارهی خصوصیت، دانشجو میتواند یک شرط ایزوله را تفسیر کند و آن را با یک خصوصیت نموداری از تابع مرتبط کند. یک دانشجو در این سطح به عنوان نمونه تنها شرط مشتق اول را استفاده میکند و اغلب اوقات از خصوصیات دیگر آگاه است اما نمیتواند آنها را جهت تولید نمودار هماهنگ کند. اگر دو خصوصیت روی هم قرار بگیرند، دانشجو رفتار نمودار را با استفاده از تنها یک خصوصیت توصیف میکند. اگر او سعی در استفاده کردن بیش از یک خصوصیت داشته باشد، دانشجو نمیتواند توصیفش را کامل کند و نمیتواند استفاده کردن تنها یک خصوصیت را ترمیم کند.
در سطح Inter از طرحوارهی خصوصیت، دانشجو شروع به هماهنگ کردن دو یا تعداد بیشتری شرط به طور همزمان میکند. این هماهنگی، به هر حال، در سراسر همهی شرایط روی هم افتاده شده به کار برده نمیشود. دانشجو در سطح Trans از طرحوارهی خصوصیت در نظر گرفته میشود اگر او بتواند همه شرایط تحلیلی را با خصوصیات نمودار تابع روی یک بازه هماهنگ کند. در اینجا دانشجو یک انسجام از طرحواره را نشان میدهد به این معنا که او به طور واضح تشخیص میدهد چه رفتارهایی از یک تابع می توانند در نمودار وجود داشته باشند و چه رفتارهایی نمیتوانند.
پیشرفت طرحوارهی فاصله. جنبههای مهم از طرحوارهی فاصله یا بازه عبارتند از فهمیدن نماد بازه، اتصال کردن فاصله های مجاور، و هماهنگ کردن فاصلههای روی هم افتاده. تمائز قائل شدن بین بخشهای مختلف از دامنه یک مسئلهی مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی است. در مسئلهی مصاحبه، هر بازه شرایط مخصوصی را دارد و تسلط دانشجو روی فاصلهها جهت رسم نمودار ضروری است. Triad برای توصیف این طرحوارهی خاص مورد استفاده قرار گرفته است که در ادامه به توصیف آن میپردازیم.
در سطح Intra از طرحوارهی فاصله، دانشجو تنها روی فاصلههای ایزوله کار میکند. اطلاعات فاصله به فاصله توصیف میشوند. رویهم افتادگی فاصلهها یا اتصال فاصلههای مجاور سبب دست پاچگی او میشوند. در سطح Inter ، دانشجو شروع به هماهنگ کردن دو یا تعداد بیشتری از فاصلههای مجاور را به طور همزمان میکند. این هماهنگی، به هرحال، در سرتاسر همهی فاصلههای متصل اتفاق نمیافتد. دانشجو در سطح Trans از طرحوارهی خصوصیت در نظر گرفته میشود اگر قادر به هماهنگ کردن فاصلهها در سرتاسر دامنه باشد. او قادر خواهد بود فاصلهها را روی هم قرار دهد و فاصلههای مجاور را باهم هماهنگ کند.
