بخشی از مقاله
چکیده
در اجرای پروژه های عمرانی، برنامه ریزی برایتخمین نزدیک به واقعیتِ زمان و هزینه پروژه مورد توجه بوده است. یکی از روش های مورد استفاده برای اعمال احتمالات در پروژه ، روش PERT می باشد. در این روش فرضیات و تقریباتی در نظر گرفته می شود. در مقاله حاضرفرضِ بکارگیری توزیع بتا و تخمین هایی که برای ساده سازی این توزیع و تبدیل آن به توزیع نرمال وجود دارد، مورد بررسی قرار می گیرد و در مقایسه با آن از توزیع وایبل که دارای قابلیت انعطاف پذیریانطباقو بر منحنیِ توزیعِ واقعیِ حاکم بر داده ها را دارد استفاده شده است و بدین صورتامکانِتخصیصِ توزیعِ آماریِ گوناگون به هزینه های خوش بینانه، بد بینانه و محتملانجامِ فعالیت ها ، به وجود می آید. با مقایسهنتایج هر دو روشِ وایبل و پرت همراه با ارائه یک مثال، نتیجه گرفته می شود که توزیع وایبل با انطباق مناسب تر با هزینه های یک فعالیت و قابلیت اعمال نظر فرد خبره، میتواند نتایج بهتر و دقیق تری نسبت به توزیع بتا در روش پرت به دست بدهد.
-1 مقدمه
در صنعت و در سطح انجام پروژه ها، زمانبندی و تخمین زمان و هزینهاتمامِ پروژه ، از اهمیت خاصی برخوردار است. از این رو، روش های مختلفی برای اعمال قطعیت ها و عدم قطعیت ها در پروژه وجود دارد. از جمله این روش ها می توان به روش مسیر بحرانی 1 - CPM - اشاره کرد. این روش از سال ابداع آن یعنی 1950 به طور گسترده ای در آنالیز شبکه ها و برنامه ریزی پروژه مورد استفاده قرار می گیرد. این روش به صورت قطعی عمل می کند و تخمینی قطعی و تک عددی از زمان اتمام پروژه ارائه می دهد. بنابراین مشکل فقدان انعطاف پذیری و در نظر گرفتن عدم قطعیت ها در این روش، محققین را بر آن داشت که به ارائه روشی اقدام کنند که احتمالات و عدم قطعیت در تخمین زمان پروژه را لحاظ نماید. لذا تکنیک ارزیابی و بازنگری پروژه 2 - PERT - که می توان آن را نوع بهبود یافته روش CPM دانست ، ابداع شد. در این روش هک برای تخمینِ زمان و هم هزینه پروژه می تواند مورد استفاده قرار گیرد، عدم قطعیت و آنالیز ریسک وجود دارد. این روش با فرضیاتی به کاربرده می شود که در مواردی از آن جای بحث و نقد دارد.
به منظور اعمال عدم قطعیت در زمان و هزینه پروژه، از ترکیب دو روش تئوری فازی و پرت نیز استفاده گردیده است. یوآن و همکاران[1] در سال 2010 برای مدیریت بهتر پروژه های عمومی-خصوصی ، پانزده ویژگی عملکردی را از منظر ذینفعان پروژه پیشنهاد داده اند . بدین منظور آنها از مدل آنتروپی فازی و مدل تاپسیس - - TPSIS بهره برده اند. گان و سو[2] مدلی براساس برنامه های ارزیابی ریسک ارائه نموده اند. آنها نشان دادند که این روش باعث افزایش کارایی پروژه در تشخیص ریسک های پروژه و برنامه زمانبندی آن می شود. آنها برای مشخص کردن عدم قطعیت ترکیبی "ریسک و زمانبندی" از مدل "دوسطحی چند هدفی عدم قطعیت" استفاده کرده اند. در سال 2013 کرایسافیز و همکاران[3] با ترکیب توزیع بتا و روش های تخمین فازی به یک مدل هیبریدی فازی- اتفاقی دست پیدا کرده اند. آنها اولین کسانی بودند که در مورد معایب ذاتی هر دو روش کلاسیک و فازی پرت بحث نموده اند. نتیجه مدل آنها تعیین خروجی هایی چون زمان فازی فعالیت ها ، شناوری فازی و درجه بحرانی برای هر فعالیت و مسیر و احتمالات فازی برای تکمیل هر فعالیت و کل پروژه می باشد.
در این مقاله سعی شده است فرض بکارگیری توزیع بتا و تخمین هایی که برای ساده سازی این توزیع و تبدیل آن به توزیع نرمال وجود دارد ، مورد بررسی قرار گیرد. این کار با جایگزینی آنالیز وایبل3 انجام می شود که قابلیت بهتر انعطاف پذیری و انطباق بر داده ها در توزیع وایبل- حتی با تعداد داده کم- را دارد. این مدل به ارائه توزیع وایبل برای تخمین هزینه فعالیت ها ، به جای توزیع بتا در روش - PERT که در آن، از فرمول های تقریبی برای محاسبات استفاده می شود- پرداخته است. در بخش های بعدی ابتدا مروری بر روش PERTو سپس توضیحاتی در مورد توزیع وایبل و خواص آن ارائه می شود. در ادامه نیز به ارائه و توضیح مدلِ PERT ترکیب شده با آنالیز وایبل، به همراه یک مثال، و بیانِ نتیجه گیری می پردازیم.
-2 مراحل تکمیل روش PERT
روش PERT توسط نیروی دریایی آمریکا در سال 1958 ابداع شد و از آن برای زمان بندی پروژه توسعه سیستم جنگ افزارها استفاده شده است.[4] این روش پروژه را به صورت شبکه ای از فعالیت ها و رویدادهای غیرچرخه ای در نظر میگیرد. هزینه وزمانِ هر فعالیت دارای یک مقدار مورد انتظار و یک واریانس است. همچنین مسیر بحرانی شامل فعالیت هایی می شود که نباید در انجام آن ها تاخیری رخ دهد و رخ دادن این تاخیر باعث تاخیر در زمان نهایی کل پروژه می شود. روش PERT می تواند زمان و هزینه اتمام پروژه ، تخمین احتمالِ اتمامِ پروژه و هر یک از فعالیت ها و همچنین تعیین زمان و هزینهمربوط به احتمالِ اتمامِ هر فعالیت یا پروژه را ارائه نماید.[5] مرحله اول در کاربرد PERT، کشیدن شبکه زمان بندی پروژه است که در آن هر پیکان نشان دهنده فعالیت و هر گره نشان دهنده رویداد است. در مرحله بعد به هر فعالیت سه هزینه انجام تخصیص داده می شود که عبارتند از زمان خوش بینانه - a - و بدبینانه - b - و زمان با احتمال بالا . - m - احتمالات کمتر به هزینه های خوش بینانه و بدبینانه مربوط می شود. در روش PERT اصلی، a کمترین هزینه ای است که می توان به فعالیت اختصاص داد و احتمالِ هزینه های کمتر از آن مقدار برای فعالیت، صفر است. به طور مشابه، b بیشترین هزینه ای است که می توان به فعالیت نسبت داد و احتمال رخداد آن هزینهتقریباً %100 است. برای محل قرار گیری m نسبت به a و b هیچگونه فرضی در نظر نگرفته شده است. a دوb مقدار نهایی ، توزیعِ فرضیِ بتا و mبه عنوان مٌد برای این روش در نظر گرفته شده است. توزیع بتا که برای ارتباط این سه پارامتر در نظر گرفته شده است ، می تواند به صورت متقارن و هم به صورت کشیده ظاهر شود.[6] در مرحله سوم، هزینه مورد انتظار و واریانس برای هر فعالیت در شبکه زمان بندی حساب می شود. در توزیع بتا، معادله تعیین میانگین، یک معادله درجه 3 است که در روش PERT با تقریب خطی رابطه - 1 - تخمین زده شده است:
- 1 - که در آن τe هزینه مورد انتظار برای فعالیت است. بادیرو[7] اظهار کرده است که فرمول فوق زمانی صحیح است که m در توزیع ، مد شود و این زمانی اتفاق می افتد که a وb به صورت قرینه در اطراف m باشند. فرض دیگر در این روش این است که انحراف استاندارد به اندازه یک ششم محدوده موجود بین a وb است.[8] با فرض این که محدوده بین a و b، %100 احتمالات برای زمان فعالیت را پوشش دهد، تخمین موجود برای واریانس به صورت رابطه - 2 - است:
- 2 - که در آن واریانسِσ2 متغییرِ هزینه فعالیت می باشد. مودر و رودگر[9] اظهار کرده اند که تعیین نقاط پایانی برای فعالیت ها در آمار غیر ممکن است، آن ها a وb را مقادیری به ازای احتمالات %5 و %95 انتخاب کرده اند. بنابراین آن ها فرمول واریانس را تغییر داده و به صورت رابطه - 3 - ارائه نمودند:
- 3 - پِری و گریچ[10] عدد 3/25 را در مخرج فرمول فوق انتخاب کرده اند و اظهار کرده اند که میل به پهن بودن در توزیع ارائه شده ، بیشتر از میل به قله ای بودن است و عدد 3/25 برای منحنی های زنگوله ای مناسب تر است. در مرحله چهارم، اطلاعات موجود برای فعالیت ها مانند هزینه های a وb و m ، هزینه مورد انتظار و واریانس ها، در جدولی جمع آوری می شود. سپس با حرکت پیشرو و پسرو روی شبکه و استفاده از تئوری حد مرکزی، هزینهمورد انتظار کلِ پروژه و واریانس مربوطه و حتی مسیر بحرانی شبکه مشخص می شود. در تئوری حد مرکزی، مجموع واریانس ها و میانگین ها با جمع تک تک واریانس ها و میانگین ها برابر است. همچنین این تئوری بیان می کند که توزیعِ حاصل از جمع هزینههای مورد انتظار روی مسیر بحرانی بدون در نظر گرفتن شکل توزیع احتمالِ هر فعالیت ، تقریباً نرمال است و این مسئله زمانی که تعداد فعالیت ها روی مسیر بحرانی افزایش یابد، درست تر است.
از سال 1960 ، انتقادات و تغییرات زیادی بر روش PERT اعمال شده است. در کل ، 5 مسئله در رابطه با این روش مطرح شده است. اولین مشکل این است که برای مهندسان و برنامه ریزان، تخمین درست هزینه هایبدبینانه، خوش بینانه و زمانِ با احتمالِ زیاد ، دشوار است . گرابس [11] و مودر و همکاران[12] عنوان کرده اند که تخمین هایی که از a و b و m زده می شود، تنها بر اساس قضاوت بوده و رابطه ای با نمونه گیری آماری از هزینه فعالیت ها ندارد. مک کریمون و ریوک[13] حساسیت فرمول های - 1 - و - 2 - را نسبت به اشتباه در تخمین مقادیر a وb وm محاسبه کرده اند. اسوانسون و پازر [14] ابراز کرده اند که » بدبینانه « و » خوش بینانه « کلماتی مبهم هستند و نیاز به تغییر دارند. برای مثال تعریف را اینگونه بیان کرده اند که b هزینه ای است که کوچکترین شانس وقوع را دارد و یک صدم احتمال افزایش در آن وجود دارد.[14] همچنین لیتل فیلد و راندوف [15] عنوان کرده اند که بر اساس تحقیقات گذشته " انسان ها تخمین گری های خوبی برای مقادیر نهایی نیستند". مودر و رودگر[9] این مسئله را با ارائه فرمول - 3 - رفع کرده اند. مشکل دوم، این است
