بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله برای حل معادلهی انرژی دئوکسی ریبونوکلئیک اسید - DNA - خطی از معادلهی اویلر لاگرانژ استفاده نموده و معادله حرکت بدست آمدهی مربوط به DNA خطی را به کمک تابع بیضوی وایرشتراس به صورت تحلیلی حل نمودیم. معادلات حل شده در اینجا برای شکل تعادلی از یک دو رشتهای کشسان DNA خطی، بر این فرض استوارند که، مارپیچ دوگانه، رفتار مکانیکی شبیه به یک میلهی کشسان خطی متقارن دارد.
مقدمه
در طبیعت با خمها و رویههای بیشماری مواجه میشویم که یکی از آنها یک مولکول پلیمری بهنام DNA است. DNA یا دئوکسی ریبونوکلئیک اسید، یک پلیمر دوگانهی مارپیچ است که به دو صورت خطی یا حلقوی در همهی سلولهای زنده یافت می-شود. مدل کشسانی از مولکول DNA موضوع جالب توجهی برای محققان در سی سال گذشته بوده است. در این میان رهیافتهای
بدست آمده شامل مکانیک لاگرانژی، دینامیک مولکولی و مکانیک آماری و... میباشند. با وجود پیشرفتهای قابل توجهی که در این زمینه شده است، هنوز توانایی یافتن یک حل عمومی تعادلی برای یک بخش خمیدهی پیچیده شده از مولکول وجود نداشته است. ساختارهایی از یک میلهی کشسان باریک و بلند به عنوان یک مسئلهی جالب توجه در تئوری کشسانی کلاسیک مورد بررسی قرار گرفته بود.
کیرشهف1]و[ 3 اولین کسی بود که پیشرفتی معنی-دار در این زمینه را بسوی یک راه حل کامل بدست آورد. تقریبایک قرن بعد، بدلیل اینکه پلیمرها بشدت مورد مطالعه قرار گرفنتد،یادگیری و فهمیدن دربارهی مسئله میلهی کشسان اهمیت پیدا کرد. کیرشهف یک چارچوب اصلی از تئوری کشسانی ارائه کرد. اومشاهده کرد که معادلات تعادلی که یک میلهی کشسان را توصیفمیکند از نظر شکل با معادلات حرکت یک فرفرهی متقارن چگال با یک نقطهی ثابت شده یکسان میباشد. هامیلتونین میله همانند لاگرانژین فرفره است که بهجای زمان، طول قوس پارامتر آزاد آناست. تئوری وایت [4] یکی دیگر از ابزارهای تجزیه تحلیل این مسئله را فراهم میکند. این تئوری به عدد اتصال - - - که در آن عدد اتصال ناوردایی مربوط به رشتهها و روبانها در نظریهی گره-ها است - مربوط میشود.
این پارامتر به دو مولفه مرتبط است کهاز نظر مقدار محلی قابل محاسبهاند. بر طبق تئوری وایت داریم: - 1 - که در آن پیچش - - ، نمایش دهندهی پیچ و تاب یک مولکولحول محور خود است و چرخش - - از شکل افتادگیها - اعوجاج - محوری را نشان میدهد .[3] در این مقاله حل معادلات مربوط به مدلسازی مولکول DNA خطی به عنوان یک میلهی کشسان انجام میشود. برای این منظور معادلهی انرژی این مدلسازی را که با استفاده از زوایای اویلر و ویژگیهای هندسی بیان شده، بدست میآوریم و با حل معادلات لاگرانژ، معادلهی حرکتمربوط به حالت مارپیچی بدست میآید.
مدلسازی
در مدل کشسانی از DNA، مولکول به صورت یک میلهی استوانهای باریک و کشسان نشان داده میشود. در این مدل نیروها و گشتاور میله در راستای محور توسط یک نیروی کشیده شدهاند و این مدل یک عدد اتصال - - ثابت دارد. میله توسططول قوس پارامترسازی شده است. اگر برای میله در حالت خمنشده و صلب حالتی که ساختار استراحت خود را دارد، مختصاترا در نظر بگیریم، در هر نقطه از روی میله میتوان مختصات نسبت به مختصات را در نظر گرفت و آن را توصیف کرد. روابط بین حالتهای کششی و غیرکششی محلی رامیتوان توسط زوایای اویلر توصیف کردکه در این حالتها مختصات نسبت به مختصات یکچرخش دارد.مسیر پارامترسازی شده که به صورت یک خم می-توان در نظر گرفت را بانشان میدهیم. بردار واحد مماس بر مسیر نامیده میشود. بردار نرمال و عمود بر بردار واحدمماس را مینامیم که مسیر پیچش را نشان میدهد. در اینجابرای راحتی کار، اغلب وابستگیهای به پارامتر را برای اختصارحذف کردهایم و همچنین منظور از مشتقگیریها در همهجا نسبت به پارامترمیباشد. اندازهی خم را به صورت زیر داریم:
انتگرالگیری ازمبدأ تا نقطهای با طول قوس میباشد. با توجه بهزوایای اویلربرای یک بردار فرضی روی خم مورد نظر بردار مماسواحد و بردار نرمال را به صورت زیر در نظر میگیریم:
انرژی حاصل از پیچش میلهی کشیده شده مجموعی از انرژیهای خمش و پیچش و انرژی پتانسیل حاصل از نیروی واردهی برسر آزاد آن میباشد. [3 ]
که انرژی خمش و انرژی پیچش به صورت زیر محاسبه میشوند:
که ثابت کشسانی، سفتی پیچش، انحنای خم و بردار واحد عمود بر بردار مماس است. با جاگذاری معادلات بالا انرژی کل به صورت زیر خواهد شد:
در این کار به عنوان یک ثابت در نظر گرفته شده است. اگرچهعدد اتصال معمولا مربوط به خمهای بسته است، اما سرهای آزادمقید از رشتهی مورد نظرمان، این اجازه را میدهد که یک کسری از عدد اتصال - - را برای آن تعریف کنیم. لازم به ذکر است کهعبارات خاصی که در این مقاله معرفی شده است برای مطالعه درساختار بیان شده معتبر هستند. همانطور که میدانیم تئوری وایتبه ما این اجازه را میدهد که عدد اتصال را در ترمهایی از مولفه-های آن پیچش و چرخش بیان کنیم.همانطور که دیدیم پیچش با استفاده از زوایای اویلر بدست میآید،اما معادلهی مربوط به چرخش هنوز برای استفاده از زوایای اویلر و ضرائب لاگرانژ مناسب نمیباشد. برای بیان کردن این جمله به عنوان یک انتگرال از کمیت محلی از تئوری فولر استفاده میکنیم
.[4] این تئوری به ما این اجازه را میدهد که چرخش را بطور محلی با استفاده از یک دیفئومورفیسم به داخل یک خم مرجع تعریف کنیم - برای هر پیکربندی خاص یک خم مرجع متفاوت که معرف عبارت محلی است، مورد نیاز میباشد - . با استفاده ار تئوریفولر چرخش به صورت زیر بیان میشود:
چرخش از خم مرجع است. انتخاب خم مرجع مناسب در اینجا که سادهترین نیز است، در نظر گرفتن یک خم مرجع به صورت یک خط راست، است. بردار مماس واحدمربوط به آن میباشد و صفر میباشد.
حال با استفاده از جاگذاری پیچش و چرخش بدست آمده در معادلهی مربوط به تئوری وایت خواهیم داشت:
بنابراین یک قانون پایستگی ساده بدست آمد که ناوردایی عدد اتصال را بیان میکند.
حل معادلات لاگرانژ
لاگرانژی مربوط به این مسئله را به صورت زیر در نظر میگیریم:
با استفاده از لاگرانژی به صورت زیربدست میآیند:
پس از بدست آوردن نوبت به محاسبهی میرسد، بااستفاده از معادلات بدست آمده و معادلهی لاگرانژ و در نظر گرفتن شرط [6] به صورت زیر محاسبه بدست میآید:
برای بدست آوردن رابطهای برای لازم میدانیم که معادلهی بالارا حل کنیم.
حل تحلیلی
معادلهی - 16 - نشان میدهد که برای بدست آوردن انتگرال درجه سوم - بیضوی - 3 ]و[ 7 را باید حل کنیم، اما در اینجا برای حل آن به جای انتگرالگیری از یک تغییر متغیر استفاده میکنیم:
رابطهی با اعمال تغییر متغیر به شکل زیر در میآید:
از دو معادلهی بالا داریم:
در نتیجه یک معادله درجه سوم بدست آمد. معادلهی - 17 - را می-توانیم به صورت سری زیر سادهسازی کنیم:
