بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل تحلیلی معادله شرودینگر با پتانسیل مورس، براي مولکول HCL
چکیده:
در این مقاله معادله شرودینگر با پتانسیل مورس به صورت تحلیلی حل شده و ترازهاي انرژي و توابع موج آن تعیین می گردند و از روي آن، ترازهاي انرژي و توابع موج مولکول HCL براي لایه هاي مختلف مشخص می گردند.
مقدمه:
معادله شرودینگر نقش قوانین نیوتن و پایستگی انرژي را در مکانیک کلاسیک دارد. به عبارت دیگر این معادله رفتار دینامیکی سیستم کوانتومی را بیان می کند. در آغاز قرن بیستم آزمایشهایی از قبیل پراش الکترون نشان داد که ذرات اتمی خواص موج گونه از خود نشان می دهند. بنابراین می توان از معادله موج براي توصیف رفتار ذرات اتمی استفاده کرد.
معادله مستقل از زمان شرودینگر به صورت Hψ Eψ می باشد که در آن H اپراتور هامیلتونی و E ویژه مقادیر انرژي هستند و ψ ویژه تابع متناظر با ویژه مقدار E می باشد.
هامیلتونی سیستم برابر است با مجموع اپراتورهاي انرژي جنبشی و پتانسیل آن:
که معادله شرودینگر در حالت یک بعدي به صورت زیر خواهد بود:
حل تحلیلی این معادله تنها براي تعداد کمی از پتانسیل ها امکان پذیر است البته این معادله را می توان به صورت عددي نیز حل کرد اما براي درك مفاهیم فیزیکی مسئله بایستی آن را به صورت تحلیلی بررسی کرد. ما در این مقاله، معادله شرودینگر فوق را براي مولکول HCL، حل می نمائیم و لایه هاي انرژي و توابع موج این مولکول را با استفاده از خصوصیات این مولکول محاسبه می نمائیم.
پتانسیل مورس:
پتانسیل مورس بیان کننده انرژي پتانسیل در یک مولکول دو اتمی می باشد که به فرم زیر است:
که در آن De عمق تابع پتانسیل و r فاصله بین اتمها و re فاصله تعادلی می باشد و a پارامتري است که پهناي پتانسیل را مشخص می کند. براي مولکول HCL، مقادیر آزمایشگاهی اندازه گیري شده براي re و De و a به ترتیب عبارتنداز:
همچنین جرم اتم هیدروژن و اتم کلر به ترتیب عبارتند از:
را خواهد داشت. 1−4 شکل(١)نمودار تغییرات پتانسیل مورس را بر حسب x نسبت به پتانسیل نوسانگر هما هنگ نشان می دهد.
حل معادله شرودینگر با در نظر گرفتن پتانسیل مورس:
معادله شرودینگر در ازاء پتانسیل مورس به صورت زیر در می آید:
باانتخاب تغییر متغیر x r −re می توان آن را به صورت زیر نوشت:
و نیز با انتخاب و کمی ساده سازي خواهیم داشت
که در آن
را می دهیم باز هم براي حل معادله فوق تغییر متغییرو بدست می آوریم
که در آن
این رابطه یک معادله دیفرانسیل معمولی از مرتبه دو می باشد و با حل این معادله تابع موج پتانسیل مورس به صورت زیر بدست می آید:
که در آن
همان تابع فوق هندسی می باشد
که در آن:
و نیز طیف انرژي نظیر آن عبارتست از:
