بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل دقيق معادله شرودينگر براي حالت پايه با استفاده از هاميلتونين غير هرميتي
چکيده
در سالهاي اخير نشان داده شده است که برخي از هاميلتونينهاي غير هرميتي با پتانسيل محتلط خاص، مي توانند داراي ويژه مقدارهاي حقيقي باشند. در اين مقاله با استفاده از اين حقيقت جواب دقيق معادله شرودينگر يک بعدي را در حالت پايه بدست مي آوريم . روش مبتني بر مختلط کردن پارامتر پتانسيل x→u+v و يافتن ويژه مقدار حقيقي هاميلتونين غيرهرميتي است که با اين مختلط سازي ساخته مي شود. در انتها به عنوان يک مثال، حل دقيق يک پتانسيل خاص را که بواسطه دشواري حل ، در مقالات ديگر تاکنون بررسي نشده، بدست مي آوريم .
مقدمه
استفاده از پتانسيلهاي مختلط براي درک پديده هاي فيزيکي داراي قدمتي ديرينه در فيزيک است . به عنوان مثال مي توان به بکارگيري پتانسيل مختلط در مدل اپتيکي هستة اتمي و مدل واپاشي ذره در مکانيک کوانتومي غير نسبيتي اشاره کرد [١و٢]. اخيراً مطالعه سيستمهاي کوانتوم مکانيکي با هاميلتوني مختلط به دستاوردهاي مهم و جالبي در پديده هاي جديد منجرشده است [٧-٣]. دسته اي از اين مطالعات مبتني بر جنبه هاي کوانتومي سيستمهاي با هاميلتوني مختلط يک بعدي است [٥-٣و ٩-٨]. در سالهاي اخير نشان داده شده است که با وجود مختلط سازي عملگرهاي هاميلتوني استاندارد کوانتومي بصورت رابطه (١) و با پتانسيل مختلط
طيفي بدست مي آيد که کاملاً حقيقي است [٣]. در اين مقاله روشي را بررسي مي کنيم که بر اين حقيقت استوار بوده و با استفاده از آن مي توان ويژه مقدار حالت پايه را براي معادله شرودينگر بدست آورد.
روش
روش حل دقيق معادله شرودينگر براي حالت پايه مبتني بر تغيير متغير x→u+v است . با اين تغيير متغيير، تمامي کميتها از جمله انرژي ، تابع موج ، هاميلتوني ، پتانسيل و... به دو جزء حقيقي و موهومي تبديل مي شود. بدين ترتيب با توجه به مختلط بودن پتانسيل ، ويژه مقدار انرژي E وتابع موج هم کميتهايي مختلط خواهند بود. بدين ترتيب با انتخاب انديس i و r در پايين هر کميت بعنوان قسمتهاي حقيقي وموهومي و انتخاب ١= mh ، معادله شرودينگر به صورت زير خواهد شد:
با توجه به اينکه قسمتهاي موهومي و حقيقي هر کميت مختلطي به صورت بايد در شرط شرط کوشي و ريمان به صورت صدق کنند،
قسمت هاي حقيقي و موهومي رابطه (٢) را مي توان به صورت زير نوشت
حال يک تابع خاص را براي حل معادله مربوط به حالت پايه بصورت زير در نظر مي گيريم :
که نرماليزه نيست و gيک تابع مختلط دلخواه بصورت
با قرار دادن رابطه (٣) در معادلات (١ و٢) و استفاده از شرط کوشي -ريمان براي تابع g، معادلات حاکم بر قسمت حقيقي و موهومي g به شورت زير خواهد شد:
فيزيک نظري
حال براي هر پتانسيل خاص ، يک تابع مناسب براي که داراي ضرايب نامعلومي است پيدا مي کنيم . انتخاب تابع مناسب براي g، نکتة کليدي در اين روش به حساب مي آيد. ضرايب نامعلوم در بوسيلة شرايط کوشي و ريمان بهم مرتبط اند. با حل معادلات (٥ و ٦)، تابع دقيق براي و ويژه مقادير مشخص مي شوند. بدين ترتيب با انتخاب حقيقي بودن ويژه مقدار، جواب حالت پايه معادله شرودينگر بدست خواهد آمد.
مثال
براي بررسي صحت روش ، با استفاده از آن جواب حالت پايه را براي پتانسيل بدست مي آوريم .
با تغيير متغير x→u+v، پتانسيل به دو قسمت حقيقي وموهومي جداسازي مي شود:
