بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله فرآیندی عددی براساس روش رونگ-کوتا نشان می دهد که روش مذکور می تواند برای حل معادله شرودینگر جهت الکترون های آزاد در یک نانوذره هسته-پوسته متقارن شعاعی به کار رود. معادله شرودینگر در مورد یک ذره در مختصات کروی حل و منجر به معادله بسل کروی می شود. حل این معادله از الکترون های آزاد موجی می دهد که از نظر خواص فیزیکی مهم اند.با توجه به این که احتمال الکترون ها و حاﻻت کوانتومی نتیجه ای از توابع موج اند، روش فوق برای نانوذرات هسته - - Znو پوسته - ZnO - استفاده شده است.
مقدمه
نانو ذرات پوسته هسته که با استفاده از روشهایی مثل روش شیمیایی یا سل-ژل سنتز میشوند و دارای ویژگیهای خاصی هستند در سالهای اخیر بطور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته اند .[1,2] بررسی ویژگی های الکتریکی و نوری این مواد جز با بررسی ساختار کوانتومی الکترونی آن ها امکان پذیر نیست. در این مقاله قصد داریم با بررسی رفتار موجی الکترونهای آزاد در نانو ذرات
هسته-پوسته ای، جوابهای معادله شرودینگر در دستگاه کروی را که تابع بسلی کروی است بدست آوریم و به کمک آن به چگالی احتمال حضور الکترون پی ببریم. برای حل معادله شرودینگر در دو ناحیه با پتانسیلهای متفاوت از پیوستگی تابع موج و مشتق آن در مرز دو ناحیه استفاده می نماییم. در انتها نیز توابع موج را بهنجار نموده و روی جوابها بحث خواهیم نمود.
تئوری:
هامیلتونی یک الکترون را می توان بشکل زیر نوشت:
که p در ان تکانه الکترون و V پتانسیل الکترون و r بردار مکان الکترون است. با اعمال این عملگر بر تابع موج الکترون خواهیم داشت:
می توان در دستگاه کروی این تابع را بشکل زیر نوشت:
که RE - r - بخش شعاعی تابع موج و Yl ,m - , - بخش زاویه ای تابع موج است. در یک نانو ذره کروی که تابع موج بستگی زاویه ای ندارد میتوان اطﻻعات ﻻزم را صرفاً از بخش شعاعی بدست آورد:
این معادله به معادله بسل کروی مرتبه l ام معروف است و با تغییرمتغیر x k r داریم:
با جایگزینی n بجای E می توان نوشت:
پتانسیل یک نانو ذره هسته-پوسته را می توان با :نشان داد. شرط مرزی صفر شدن تابع در مرز ذره سبب می شود:
با دانستن مقدار k و قرار دادن در معادله - - 8 به تابع موج ذره یا به عبارتی ویژه تابع انرژی الکنترون در ذره می رسیم که در شرایط مرزی نیز صادق است. برای یک نانو ذره پوسته-هسته پتانسیل را باید بشکل زیر باز نویسی نماییم:
برای چنین پتانسیلی یافتن حل کﻻسیکی تقریباً محال است و به سادگی آن چه در پتانسیلهای یک بعدی و پله های پتانسیل در مکانیک کوانتومی دیده ایم نیست و حل عددی را می طلبد. برای حل معادله دیفرانسیل - 6 - با پتانسیل تعریف شده در - 11 - از روش رونگ-کوتای مرتبه چهارم استفاده می کنیم. سیستمی از دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول به شکل زیر را در نظر بگیرید:
در فرآیند رونگ-کوتای مرتبه چهارم برای محاسبه yو z در هر مرتبه با گام h خواهیم داشت:
این روش می تواند برای محاسبه معادله شرودینگر در نانو ذرات چند ﻻیه استفاده شود.
نتایج و بحث:
ابتدا فرض می کنیم تمام ماده در پتانسیل پوسته - - V0 است. حل این چنینی برای فقط بخش پوسته معتبر است. حل این بخش به کمک توابع کﻻسیکی موجود برای بسل کروی به راحتی امکان
پذیر است تابع موج باید در دیواره ذره صفر شود. شرایط مرزی می تواند باشرطnlk - nl2 - ارضا شود. اندیس 2 به محیط پوسته اشاره دارد. برای یافتن تابع موج در پوسته تابع بسل را بر حسب r رسم می کنیم بکمک. r این باعث میشود صفر تابع در دیواربیفتد.یک ذره روی را که با شعاع a 7nm که با اکسیدش احاطه شده - - V0 3.3ev باb 10nm در نظر میگیریم .[3,4] درویژه مقدار انرژی الکترون توسط رابطه - 5 - قابل محاسبه است که در دو محیط مقدار ثابتی دارد و ما آنرا Enl می نامیم. عدد موج در ناحیه هسته knl - 1 - را می توان با رابطه زیر به دست آورد:
