بخشی از مقاله
چکیده
در مطالعات علمیِپژوهشی و آموزشی ، بهره گیری از ابزارهای بروزِ موجود میتواند کمک به سزایی در یادگیری هرچه عمیقتر مفاهیم پایهای به علاقمندان نماید. بنابراین در این مختصر، به کمک ابزار محاسباتی MATLAB بر آن شدیم تا به طور خلاصه معادله شرودینگر یک بعدی را برای ذره در جعبه مورد بررسی قرار داده و حل عددی معادله را به کمک کدهای نوشته شده در نرم افزار MATLAB به روش " " Shooting ارائه دهیم.
مقدمه
فیزیک کلاسیک عمدتاً پدیدههای ماکروسکوپی را مورد بررسی قرار میدهد. بیشتر اثرهایی که نظریهی کلاسیک با آنها سروکار دارد یا مستقیماً قابل مشاهدهاند و یا میتوان آنها را با وسایل نسبتاً سادهای مشاهدهپذیر کرد. رابطهی نزدیکی میان جهانِ فیزیک کلاسیک وهانِج ادراک حسی وجود دارد.در دهههای اول قرن بیستم، فیزیکدانان توجه خود را به مطالعهی سیستمهای اتمی که ذاتاً از دسترس مشاهدات مستقیم خارجاند معطوف میداشتند. به زودی روشن شد که مفاهیم و روشهای فیزیک کلاسیک را نمیتوان مستقیماً در مورد پدیدههای اتمی بهکار برد. اگر بنا باشد که بهطور کلی از قوانین کلاسیک فیزیک در مورد سیستمهایی با اندازهی اتمی استفاده کنیم باید این قوانین را فقط در ارتباط با مدلهای این سیستمها بهکار ببریم. این مدلها را معمولاً به صورت سیستمهای ذرات میپندارند که بر طبق قوانین سادهی مفروضی با یکدیگر و نیز با تابش الکترومغناطیسی برهمکنش دارند.
سعی میشود مدلی میکروسکوپی بنا شود که بتواند تا سرحدامکان اثرهای ماکروسکوپی مشاهده شده را بازسازی کند.ولی بیشتر مشخصات مشاهده شدهی سیستمهای اتمی چناناند که نمیتوان آنها را با هیچ مدلی که از قوانین کلاسیک پیروی میکند بازسازی کرد. تحول اولیهی نظریه اتمی با کوششهایی به منظور رفع این مشکلات از طریق اصلاح قوانین فیزیک کلاسیک و خواص مدلهایی که این قوانین در آنها بهکار برده میشدند همراه بود.این کوششها بین سالهای 1925 تا 1935، وقتی که یک رشته نظری کاملاً جدید، بهنام مکانیک کوانتومی، توسط شرودینگر، هایزنبرگ، دیراک و سایرین تکامل یافت. اولین شواهد ضرورت تجدید نظر درمفاهیم کلاسیک از حوزهی دانش شیمی سر برآورد.به این دلیل که رفتار شیمیایی اتمها و مولکولها به عنوان ذرات باردار الکتریکی با قوانین کلاسیک قابل توجیه نیست.[1]
نظریه مکانیک کوانتومی شرودینگر
شواهد تجربی بهدست آمده قاطعانه نشان میدهد که ذراتِ دستگاههای میکروسکوپی طبق قوانین مربوط به نوعی حرکتِ موجی حرکت میکنند و نه بنابر قوانین حرکت نیوتنی که ذرات ماکروسکوپی تابع آنهایند. آزمایشهای در دست بررسی تنها با موارد سادهای - مانند ذرات آزاد یا نوسانگرهای هماهنگ ساده و ... - قابل تحلیل هستند ولی ما قطعاً میخواهیم توانایی بررسی موارد پیچیدهتری را داشته باشیم که در طبیعت روی میدهند، زیرا این موارد جالب و مهماند. برای اینکه بتوانیم این کار را انجام دهیم باید روش کلیتری داشته باشیم که در بررسی رفتار ذرات دستگاه میکروسکوپی قابل استفاده است.
نظریه مکانیک کوانتومی شرودینگر چنین روشی را در اختیار ما قرار میدهد. این نظریه قوانین حرکت موجی را که ذرات هردستگاه میکروسکوپی از آن پیروی میکنند مشخص میکند.[2] در تعبیری که توصیف شرودینگر از مکانیک کوانتومی بدست میدهد، حالت هر سیستم فیزیکی در هر لحظه به وسیلهی یک تابع موج مختلط توصیف میشود. چون تابع موج یک کمیت مختلط است، خود مستقماًی مبین یک کمیت فیزیکی نیست، اما با استفاده از این تابع میتوان احتمال بهدست آمدن مقادیر مختلف حاصل از اندازهگیری یک کمیت فیزیکی را پیشبینی کرد. در حقیقت این
احتمال با ضریبی از مربع قدرمطلق تابع موج - که کمیت اخیر حقیقی است - برابر است.
بعنوان مثال از کاربرد این تابع احتمال، با آن میتوان احتمال یافتن الکترون در ناحیهی خاصی در اطراف هسته در یک زمان مشخص؛ یا احتمال بدست آمدن مقدار خاصی برای کمیت تکانه زاویهای سیستم را محاسبه کرد. یمثلاًا به کمک تابع موج و توزیع احتمال بدست آمده از آن، میتوان محتملترین مکان - یا مکانهای - حضور یک ذره در فضا را یافت - که در مورد الکترونهای یک اتم به آن اُربیتال میگویند - . البته معنی این حرف این نیست که الکترون در تمام ناحیه پخش شدهاست و الکترون در یک ناحیه از فضا یا هست و یا نیست.[3] در سادهترین حالت، یک سیستم مورد مطالعه،شاملِ یک ذرهی تنها و آزاد در نظر گرفته میشود.
معادله مستقل از زمان شرودینگر
در سیستمهای مورد مطالعه، یک ذره در جعبه سه بعدی در نظر گرفته میشود. معادله شرودینگر برای چنین سیستمی به شکل زیراست:
که در آن ℏ ثابت پلانک، جرم ذره، انرژی پتانسیل، انرژی ذره و تابع موج است. در اینجا کمیت کلیدی، تابع موج است که معادل مستقیمی در دنیای کلاسیک ندارد.در اغلب حالتهای عمومی یک تابع پیچیده از موقعیت ذره بوده و اگر خوب نرمالیزه شود، مقدار ∗ - ⃗ - - ⃗ - احتمال یافتن ذره در ⃗را نشان میدهد. واقعیت این است که حل عددی این معادله حتی برای حالت یک بعدی آن نیز میتواند بسیار مشکل باشد.به این دلیل که این یکمعادله دیفرانسیلِ مشابه با معادلات مربوط به تابع موج است با این تفاوت که مقدار E نامعلوم است. راه حل کامل باید شامل تعیین هم و هم مقدار انرژی متناظر آن باشد. همچنین مقادیر شناخته شدهای به عنوان مقدارویژه و تابعویژهی معادله نیز وجود دارند.
یک ویژگی جالب مسائل مقدارویژه این است که در بسیاری ازحالتها فقط برای مقادیر معینی از مقدارویژه - در این مثال - E راه حل وجود دارد. از نظر ریاضی، این نشانگر ناحیه سطوح انرژی گسستهی تئوری کوانتوم است. برای توصیف این نقاط مفید است مثالی را که میتوان آنرا به روش تحلیلی حل نمود، بیان کنیم: یک ذره آزاد متحرک در فضای آزاد را در نظر بگیرید، ناحیهای که در آن پتانسیل مقدار ثابتی دارد. چون ما برای جابجایی مبدأ انرژی پتانسیل آزادیم، مقدار آنرا در همه جا برابر 0 میگیریم - - = 0 همچنین برای سادگی، فضا را یک بعدی فرض میکنیم که در آن = - - و عملگر ∇2 معادله - 1 - به یک مشتق مرتبه دوم 22 تبدیل میشوند. معادله مستقل از زمان شرودینگر به این شکل درمیآید :
که در آن = √−1 و و مقادیر ثابت هستند. این در واقع یک جواب برای معادله - 2 - است که با جاگذاری تایید میشود و معادله زیر را نتجه میدهد: معادله موج - 3 - یک شکل از موج مسطح با بردار موج = 2 است، طول موج ذره است. همچنین فقط به تکانه حرکتی ذره - - مربوط است که عبارت است از . = ℏدر این مسئله خاص معادله شرودینگر برای تمامی مقادیر دارای جواب است و بنابراین تمامی مقادیر غیر منفی E قابل قبول هستند. وقتی ذره را در یک چاه پتانسیل یک بعدی در نظر میگیریم معادله در واقع تبدیل به یک معادله با مقادیر مرزی میگردد که در آن، مقدار پتانسیل داخل جعبه = 0 است به شرطی که | | ≤ L باشد و پتانسیل در خارج از جعبه 0 در نظر گرفته میشود. اگر 0 = ∞ باشد به آن جعبه سخت و اگر 0 متناهی باشد به آن جعبه نرم میگویند.[4]
میخواهیم جهت حل معادله شرودینگر برای ذره در جعبه یک بعدی از روشهای عددی استفاده نماییم.باید در نظر داشت که معادلات دیفرانسیل با مقادیر مرزی از روشهای حل عددی معمول مانند اویلر، رانگهکوتا، درونیابی و ... قابل حل نیستند. یکی از روشهای حل چنین معادلاتی تبدیل آنها به معادلاتی از نوع معادلات با مقادیر اولیه و یافتن جواب آنها با استفاده از حدسهای مورد قبول میباشد. روش پرتابی یا shooting یکی از این روشهاست که به طور مختصر به آن میپردازیم.در این روش فرض بر این است که میخواهیم گلوله ای را از نقطه مرزی اول به نقطه ی مرزی دوم شلیک کنیم.
مسیر پرتاب گلوله همان جواب عددی مساله است که باید از نقطه ی مرزی اول شروع شده به نقطه ی مرزی دوم خاتمه یابد. از نقطه ی مرزی اول ارتفاعیرا برای پرتاب گلوله بطور تصادفی انتخاب کرده - حدس اولیه - و گلوله را پرتاب می کنیم. اگر گلوله به نقطه ی مرزی دوم برخورد کرد مسیر گلوله همان جواب عددی خواهد بود اما در غیر اینصورت با اصلاح حدس اولیه گلوله ی دیگری پرتاب می کنیم و این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا گلوله به هدف برخورد کند.[5] برای ذره در جعبه یک بعدی میتوان مشتق مرتبه دوم معادله - 2 - را به صورت زیر نوشت :
که در را بهصورت = - ∆ - مینویسیم و از علامت ≈ برای تاکید بر اینکه این معادله فقط تخمینی از معادله دیفرانسیل اصلی است استفاده مینماییم.نهایتا با مرتب سازی و مقادیر قراردادی ℏ = 1 و = 1میتوانیم مقدار تابع +1 را براساس مقادیر و −1بدست آوریم :بنابراین میتوانیم به روش عددی جواب معادله را بدست آوریم. حال کدهای مربوط به حل معادله را به زبان Matlab ببینیم:
