بخشی از مقاله
چكيده
به تازگي روش جهش هاي كوانتومي غيرماركوفي به عنوان يك تعميم از روش تابع موجي مونت كارلو در سامانههاي ماركوفي، براي مطالعهي ديناميك سامانهها در رژيم غيرماركوفي ارائه شده است. در اين پژوهش به كمك اين رهيافت به شبيهسازي ديناميك غيرماركوفي اتم دوترازي جفت شده با يك اتلافگر ساختارمند پرداخته شده است. نشان دادهايم كه نتايج حاصل از اين روش در مطابقت كامل با نتايج بدست آمده از حل دقيق است. در گام بعد، ارتباط ميان دو رهيافت شبهمد و جهشهاي كوانتومي غيرماركوفي برقرار ميگردد. اين ارتباط تصوير روشني از سازوكار تأثير اتلافگر ساختارمند بر ديناميك سامانه ارائه ميكند و از اين رهگذر يك توصيف موثر از حافظهي محيط پيشنهاد ميشود.
پيشگفتار
در برخي سامانههاي باز وجود برهمكنش قوي با محيط و يا در موارد ديگر ساختار مدي محيط سبب القاي همبستگيهاي ماندگار ميان سامانه و محيط ميشود. از اين رو امكان بازيابي بخشي از اطلاعات نشت كرده به محيط از طريق فرآيندهاي وابسته به حافظه - غيرماركوفي - وجود دارد. رفتار غيرماركوفي در بسياري از سامانههاي نوين كوانتومي نظير سامانههاي ارتباطات و پردازش اطلاعات كوانتومي ديده شده است.روش تابع موجي مونت كارلو MCWF ، يك ابزار توانمند در تحليل ديناميك سامانهها در تقريب ماركوف است. تعميم روشMCWF به رژيم غيرماركوفي با مشكلاتي مواجه است كه از جملهي آن ميتوان به منفي شدن احتمال رخداد جهش كوانتومي در نتيجهي منفي شدن آهنگ گذار در برخي بازه هاي زماني اشاره نمود . يك راهحل براي تعميم روش MCWF به سامانههاي غيرماركوفي بهرهگيري از رهيافت شبه مد، يعني گسترش فضاي سامانه به كمك مدهاي مجازي است . در اين صورت سامانه گسترش يافته به طور مؤثر با يك اتلافگر ماركوفي جفت ميشود.
به طور كلي نوسانات غيرماركوفي را ميتوان به دورههاي متوالي تخريب و به دنبال آن بازسازي برهمنهيها و همدوسيهاي كوانتومي تعبير نمود. بر اين اساس، به تازگي روش جهش هاي
كوانتومي غيرماركوفي - ]NMQJ١[، به عنوان يك تعميم از روش MCWF ، براي مطالعهي ديناميك غيرماركوفي سامانههايي ارائه شده است كه معادلهي حركت عملگر چگالي آن جايگزيدهي زماني است، بدين معنا كه تفاوت آن با معادلهي اصلي ليندبلد در جابجايي لمب و آهنگفروافت وابسته به زمان است.در اين مقاله با بهرهگيري از روش NMQJ به بررسي ديناميك غيرماركوفي برهمكنش سامانهي اتمي و محيط در الگوي جينز-كامينگز ميپردازيم. همچنين با ارائهي حل دقيق اين مسأله نتايج شبيه سازي كامپيوتري تأييد ميشود. در گام بعدي، همارزي دو روش NMQJ و رهيافت شبه مد را نشان ميدهيم . همچنين مقايسهي رهيافت تصادفي NMQJ با رهيافت شبه مد بينش نويني به مفهوم حافظه و رفتار غير ماركوفي به دست ميدهد.
طرحواره
فرض ميكنيم يك سامانه دو ترازي با اتلافگري متشكل از پيوستاري از مدهاي كوانتيده درون يك كاواك با سازهي كيفيت Q بزرگ برهمكنش ميكند. هاميلتوني اين سامانهي برهمكنشي در چارچوب الگوي جينز-كامينگز چنين است كه در آن،ω1 ، بسامد گذار سامانه و σ − σ عملگرهاي بالابرنده - پايين آورنده - ي سامانه دوترازي است. همچنين gk معياري از قدرت جفتشدگي مد k ام از ميدان اتلافگر با سامانه است.با معرفي حالتهاي B S ⊗ 0 ψ 0 0، B S ⊗ 0 ψ 1 1و B S ⊗ k ψ k 0، كه به صورت ضرب تانسوري حالتهاي سامانه و اتلافگر هستند، حالت سامانه در زمان t به صورت برهمنهي حالتهاي فوق است، .φ - t - c0ψ0 c1 - t - ψ1 ck - t - ψk تحول زماني دامنه احتمال حضور سامانه در حالت برانگيختهاست كه در آن تابع همبستگي f t −t1 ، تبديل فوريه تابع چگالي طيفي اتلافگراست.
در اين مسأله چگالي طيفي J ωبه شكل لورنتسي فرض كردهايم كه عبارت آن چنين است،كه در آن ∆ ω0 −ωC وادنيدگي ميان بسامد مركزي كاواك ωC ، و بسامد گذار سامانهي اتمي ω0 ، عامل λ پهناي طيفي اتلافگر وپارامتر γ0 موبوط به آهنگ فروافت تراز برانگيخته سامانه دو ترازي در حد ماركوفي است.حل دقيق: با توجه به حالتهاي معرفي شده و به كمك تبديل لاپلاس، معادلهي جمعيت تراز برانگيخته چنين به دست ميآيد:كه درآن λ −i∆ 2 − 2γ 0λ d است. معادلهي اصلي دقيق غير-ماركوفي حاكم بر ديناميك سامانهيدوترازي چنين به دست ميآيد، - ٥ - . 2σ σ , ρ 2iσ σ, ρ γ t σρσ − 1 - dt = β - t d ρدراينجا c t - β - t - = −2 Im{c - t جابجايي لمب را معرفي مي-كند. c t - γ - t - = −2 Re{c - t ، آهنگ فروافت است كه عبارت صريح آن چنين به دست ميآيد. - نمودار در شكل ١ -
روش جهشهاي كوانتومي غيرماركوفي
ايدهي زيربنايي اين روش برآمده از اين واقعيت است كه هنگامي كه آهنگ فروافت وابسته به زمان مقاديرمنفي ميگيرد، - شكل١ - ، جهت شارش اطلاعات ميان سامانه و اتلافگر معكوس خواهد شد و بخشي از اطلاعات گمشدهي سامانه بازيابي ميشود. به بيان ديگر برهمنهيهاي از دست رفته در هنگرد بازسازي مي-شود.اين تعبير منجر بهكسب بينش نويني به مفهوم حافظه ميگردد. ماتريس چگالي در كليترين حالت عبارتست از:
كه در آن N - Nα - t وزن آماري هر يك از حالات در هنگرد است. معادلهي اصلي جايگزيدهي زماني - ٥ - را چنين بازنويسي ميكنيم :
كه در آن هاميلتوني هرميتي H - t - مسئول ديناميك همدوس سامانه است . اتلاف و واهمدوسي در قالب عملگرهاي ليندبلد جهش ميگردند . جهش از طريق كانال هاي فروافت Cj ± - t - پديدارمثبت j و منفي - j− كه به ترتيب توصيفكنندهي نشت اطلاعات از سامانه به محيط با آهنگ γ t j و ديگري از محيط به سامانهبا آهنگ γ t j − هستند- صورت ميپذيرد. هاميلتوني غيرهرميتي
تحول حالت ها مطابق روش استاندارد MCWF ،چنين است]٢[تحول قطعي حالت مفروض - ψα - t ،در اثر هاميلتوني - ٩ - ، براي بازهي زماني كوچك δt، قبل از بهنجارش عبارت است ازدر بازههاي كه آهنگ فروافتمثبت است، مطابق الگوي آشناي MCWF تحول قطعي - ١٠ - توسط وقوع يك جهش به ميشود كه احتمال آن چنين است]٢[،
براي زمانهاي بسيار كوچك، γ t ، با دامنههاي بزرگ نوسان ميكند و حتي مقادير منفي ميگيرد كه منجر به رشد موضعي جمعيت ميشود. اين بدان معنا است كه كوانتومهاي انرژي-كه در مورد سامانههاي اتمي فوتونها هسنتد-كه پيشتر از سامانه گسيل شده است، در بازههاي بسيار كوچك زماني توسط سامانه جذب – شوند، يعني به طور گذرا شاهد برگشتپذيري و بازيابي جمعيت سامانهي دوترازي هستيم. همين رفتار گذراست كه ديناميك غير ماركوفي سامانه ناميده ميشود. نوسانهاي غيرماركوفي با گذشت زمان ميرا ميشوند و فروافت شكل خالص نمايي به خود ميگيرد. ميتوان چنين نتيجهگرفت كه پساز گذشت زمان به اندازهي كافي، رفتار سامانههاي فيزيكي به سمت رفتار ماركوفي پيش ميرود.
رهيافت شبهمد
روش شبهمد بر پايهي ارتباط قوي ميان ديناميك اتم و شكل توزيع طيفي اتلافگر بنا شده است و در آن ايدهي اساسي عبارت-است از گسترش دادن ابعاد سيستم به گونهاي كه بخشي از اتلاف-گر را شامل شود. از اين رو سامانهاي تشكيل ميشود كه تقريب ماركوف در آن اعتبار دارد. شبه مد از نظر رياضي بر حسب مكان و مانده هاي قطبهاي ساده تابع چگالي طيفي در نيمهي پاييني صفحهي مختلط تعريف ميشود، به طوري كه هر قطب معادل يك مد مجازي است. در اين روش ميتوان يك معادلهي اصلي ماركوفي به شكل ليندبلد براي سامانهي بسط يافته شامل اتم و شبه
